1、3.1 数系的扩充和复数的概念31.2 复数的几何意义研题型 学方法 题型一 复平面上点的表示例1(1)(2014高考重庆卷)实部为2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)已知复数x26x5(x2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数x的取值范围是_解析：(1)实部为2，虚部为 1 的复数所对应的复平面内的点为(2，1)，位于第二象限，故选 B.(2)复数 x26x5(x2)i 在复平面内对应的点的坐标为(x26x5，x2)，因在第二象限，所以有 x26x50得1x2，故实数 x 的取值范围是 2x5.答案：(1)B(2)2x5规律方法：利用
2、复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数zabi(a，bR)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解变式训练 1已知复数 z(a21)(2a1)i，其中 aR.当复数z 在复平面内对应的点满足下列条件时，求 a 的值(或取值范围)：(1)在实轴上；(2)在第三象限；(3)在抛物线 y24x 上 解析：复数 z(a21)(2a1)i 在复平面内对应的点是(a21，2a1)(1)若 z 对应的点在实轴上，则有 2a10，解得 a12；(2)若 z 对应的点在第三象
3、限，则有a2102a10，解得1a12；(3)若 z 对应的点在抛物线 y24x 上，则有(2a1)24(a21)，即 4a24a14a24，解得 a54.题型二 复数与复平面内向量的对应关系例 2(1)设 O 是原点，向量OA，OB 对应的复数分别为 23i，32i，那么向量BA 对应的复数是()A55i B55iC55i D55i(2)(2014黄山高二检测)在复平面内，O 是原点，向量OA 对应的复数为 2i.如果 A 关于实轴的对称点为点 B，则向量OB 对应的复数是_；如果中的点 B 关于虚轴的对称点为点 C，则点 C 对应的复数是_解析：(1)向量OA，OB 对应的复数分别为 23
4、i，32i，所以复平面内点的坐标是 A(2，3)，B(3，2)，所以BA(5，5)，所以BA 对应的复数是 55i.(2)设向量OB 对应的复数为 z1x1y1i(x1，y1R)，则点 B 的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点 A 的坐标为(2，1)根据对称性可知：x12，y11，故 z12i.设点 C 对应的复数为 z2x2y2i(x2，y2R)，则点 C 的坐标为(x2，y2)，由对称性可知：x22，y21，故 z22i.答案：(1)D(2)2i，2i规律方法：复数的向量表示法是解决此类题型的依据以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移
5、前后起点、终点对应的复数要改变 变式训练 2向量OA 对应的复数为1i，OB 对应的复数为23i，BC 对应的复数为2i，则向量AC 对应的复数为_解析：依题意有OA(1，1)，OB(2，3)，BC(2，1)，所以AB OB OA(2，3)(1，1)(3，2)，所以AC AB BC(3，2)(2，1)(1，3)，即向量AC 对应的复数为 13i.答案：13i题型三复数模的计算例 3 在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模z11i；z212 32 i；z32；z422i.分析：先找出各复数在复平面内对应点的坐标：Z1(1，1)，Z212，32，Z3(2，0)，Z4(2，2)，则向量O
6、Z1，OZ2，OZ3，OZ4 为所求解析：在复平面内分别画出点 Z1(1，1)，Z212，32，Z3(2，0)，Z4(2，2)，则向量OZ1，OZ2，OZ3，OZ4 分别为复数 z1，z2，z3，z4 对应的向量，如图所示 各复数的模为：|z1|12（1）2 2，|z2|1223221，|z3|2|2，|z4|22222 2.规律方法：复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，然后利用模的计算公式进行计算复数的模是一个非负实数，可以比较大小 变式训练 3(1)已知复数 z168i 及 z212 2i，则|z1|与|z2|的大小关系为_(2)已知复数
7、 z3ai，且|z|32，|z1|z2|.(2)z3ai(aR)，|z|32a2，由已知得 32a24，a2|z2|(2)(7，7)题型四复数几何意义的应用例 4(1)复数 zx(y1)i(x，yR)，且|z|2，求点(x，y)的轨迹方程，并指出点(x，y)的轨迹图形(2)画出点集 MzC|1|z|2表示的图形解析：(1)因为 zx(y1)i(x，yR)，|z|2，所以 x2（y1）22，即 x2(y1)24，所以点(x，y)的轨迹方程是 x2(y1)24，其轨迹是以(0，1)为圆心，以 2 为半径的圆(2)设 zxyi(x，yR)，由 1|z|2 得 1 x2y22，所以 1x2y24，图形
8、如图所示 规律方法：本题的解法体现了求复数表示轨迹的两种方法：一是化为实数问题，二是直接利用复数模的几何意义 变式训练 4若复数 z 满足|z3|5，求|z(14i)|的最大值和最小值解析：复数 z 满足|z3|5，它对应的点位于以(3，0)为圆心，以 5为半径的圆上|z(14i)|表示的是复数z 对应的点到点(1，4)的距离如下图所示|z(14i)|的最大值是|14i3|5|24i|53 5.|z(14i)|的最小值是|14i3|5|24i|5 5.析疑难 提能力 对复数和平面向量的对应关系理解不到致误【典例】在复平面内，向量OA 表示的复数为 1i，将向量OA 向右平移 1 个单位长度后，再向上平移 2 个单位长度，得到向量OA，则向量OA对应的复数是_解析：向量OA 平移后得到向量OA，则OA OA，因而向量OA所对应的复数是 1i.【易错剖析】解本题时，若忽视了向量作平移变换后，两个向量仍然相等，就会有如下错解：由题意知OA(1，1)，将向量OA 向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后，得到向量OA，则OA(2，3)，从而向量OA对应的复数是 23i.