1、第7课时立体几何中的向量方法1.理解直线的方向向量与平面的法向量2能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)4能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题了解向量方法在研究立体几何问题中的应用对应学生用书P132【梳理自测】一、用向量证明空间中的平行或垂直1若平面、的法向量分别为n1(2，3,5)，n2(3，1，4)，则()ABC、相交但不垂直 D以上均不正确2已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，则下列结论正确的是()Aac，bc Bab，acCac，ab D以上
2、都不对3若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则()Al BlCl Dl与斜交答案：1.C2.C3.B以上题目主要考查了以下内容：(1)直线的方向向量：直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行(或共线)的向量，显然一条直线的方向向量有无数个(2)若直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量(3)用向量证明空间中的平行关系设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y使vxv1
3、yv2.设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu.设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1u2.(4)用向量证明空间中的垂直关系设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1v20.设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu.设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1u20.二、用向量计算空间角和距离1(教材改编)已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为()A45B135C45或135 D902如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a(1,0,1)，b(0,1,1)，那么，这条斜线
4、与平面所成的角是()A90 B30C45 D603如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCOABCD，AC的中点E与AB的中点F的距离为_答案：1.C2.D3.a以上题目主要考查了以下内容：空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角满足cos |cosm1，m2|.(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面所成角满足sin |cosm1，m2|.(3)求二面角的大小1如图，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，2如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的
5、大小满足cos cosn1，n2或cosn1，n23点面距的求法如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离d.【指点迷津】1两个关系(1)异面直线所成角与向量夹角的关系当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角(2)二面角与向量夹角的关系设二面角的两个面的法向量分别为n1，n2，则n1，n2或n1，n2是所求的二面角这时要借助图形来判断所求角是锐角还是钝角，确定n1，n2是所求角，还是n1，n2是所求角2三个范围(1)异面直线所成的角的范围是；(2)直线与平面所成角的范围是；(3)二面角的
6、范围是0，3三种作法：二面角的平面角的作法(1)定义法：直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角用定义法时，要认真观察图形的特征(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角(3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直对应学生用书P133考向一用向量证明垂直或求异面直线所成的角(2014湖北省八校联考)如图，直三棱柱ABCABC的侧棱长为3，ABBC，且ABBC3，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBF.(1)
7、求证：无论E在何处，总有BCCE；(2)当三棱锥BEBF的体积取得最大值时，求异面直线AF与AC所成角的余弦值【审题视点】(1)借助于线面关系证明BC面ABC，从而可证BCCE.当VBEBF为最大值确定E(F)的位置，解三角形求角的余弦值(2)以B为原点建系，用向量求解【典例精讲】(法)(1)由题意知，四边形BBCC是正方形，连接AC，BC，则BCBC.又ABBC，BBAB，AB平面BBCC.BCAB，BC平面ABC.又CE平面ABC，BCCE.(2)连接EF，BE，BF，AE，AF，设AEBFm，则三棱锥BEBF的体积为Vm(3m)，当m时取等号故当m，即点E，F分别是棱AB，BC的中点时，
8、三棱锥BEBF的体积最大，则|cosAFE|为所求EF，AFAE，AF，|cosAFE|，即异面直线AF与AC所成角的余弦值为.(法)根据题意，以B为原点，以BC、BA、BB分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B(0,0,0)，A(0,3,0)，A(0，3,3)，C(3,0,0)，C(3,0,3)，B(0,0,3)(1)设F(a,0,0)，E(0,3a,0)，(3,0,0)(0,0,3)(3,0，3)(0,3a,0)(3,0,3)(3,3a，3)(3,0，3)(3,3a，3)0，BCCE.(2)设AEBFa，则VBEBFa(3a)，当a时，取等号，F(，0,0)(，0,0)(0,3,3)(
9、，3，3)，(3，3,0)cos，.AF与AC所成角的余弦值为.【类题通法】本题可从两个不同角度求异面直线所成的角，一是几何法：作证算；二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线AC，BD的夹角的余弦值为cos .1(2014郑州第一次质检)如图，正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直，已知BC2AD4，ABC60，BFAC.(1)求证：AC平面ABF；(2)求异面直线BE与AC所成的角的余弦值解析：(1)证明：因为平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，AFAD，AF平面ADEF，所以AF平面ABCD.故A
10、FAC，又BFAC，AFBFF，所以AC平面ABF.(2)由(1)得AF，AB，AC两两垂直，则以A点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(1，2)(0,2，0)，(3，2)，cos，即异面直线BE与AC所成的角的余弦值为.考向二用向量证明平行或求二面角(2013高考浙江卷)如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.(1)证明：PQ平面BCD；(2)若二面角CBMD的大小为60，求BDC的大小【审题视点】立体几何题目一般有两种思路：传
11、统法和向量法传统法是借助立体几何中的相关定义、定理，通过逻辑推理证明来完成(1)要证明线面平行，根据判定定理可通过证明线线平行来实现；(2)求二面角要先找到或作出二面角的平面角，再通过解三角形求解向量法则是通过建立空间直角坐标系，求出相关的坐标，利用向量的计算完成证明或求解直线一般求其方向向量，平面一般求其法向量(1)只要说明直线的方向向量与对应平面的法向量垂直即可；(2)二面角的大小即为两个平面的法向量的夹角或其补角【典例精讲】方法一：(1)证明：如图(1)，图(1)取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF3FC，连接OP，OF，FQ.因为AQ3QC，所以QFAD，且QFAD.因为O，P
12、分别为BD，BM的中点，所以OP是BDM的中位线，所以OPDM，且OPDM.又点M为AD的中点，所以OPAD，且OPAD.从而OPFQ，且OPFQ，所以四边形OPQF为平行四边形，故PQOF.又PQ平面BCD，OF平面BCD，所以PQ平面BCD.(2)如图，作CGBD于点G，作GHBM于点H，连接CH.因为AD平面BCD，CG平面BCD，所以ADCG.又CGBD，ADBDD，故CG平面ABD.又BM平面ABD，所以CGBM.又GHBM，CGGHG，故BM平面CGH，所以GHBM，CHBM.所以CHG为二面角CBMD的平面角，即CHG60.设BDC，在RtBCD中，CDBDcos 2cos ，C
13、GCDsin 2cos sin ，BCBDsin 2sin ，BGBCsin 2sin2.在BGM中，HG.CG平面ABD，GH平面ABD，CGGH.在RtCHG中，tanCHG.所以tan .从而60.即BDC60.方法二：(1)证明：如图(2)，取BD的中点O，以 图(2)O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A(0，2)，B(0，0)，D(0，0)设点C的坐标为(x0，y0,0)，因为3，所以Q.因为点M为AD的中点，故M(0，1)又点P为BM的中点，故P，所以.又平面BCD的一个法向量为a(0,0,1)，故a0.又PQ平面BCD，所以PQ平
14、面BCD.(2)设m(x，y，z)为平面BMC的一个法向量由(x0，y0,1)，(0,2，1)，知取y1，得m.又平面BDM的一个法向量为n(1,0,0)，于是|cosm，n|，即23.又BCCD，所以0，故(x0，y0,0)(x0，y0,0)0，即xy2.联立，解得(舍去)或所以tanBDC.又BDC是锐角，所以BDC60.【类题通法】本题方法一采用了传统法，在第二问中要作出CBMD的平面角，这里采用了棱BM的垂面(面CGH)法，作、证、算于一体二面角的做法一直是个难点，不如建系用向量方法求简单，如方法二2(2014云南省昆明市高三调研测试)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD为平行四边形，
15、且BC平面PAB，PAAB，M为PB的中点，PAAD2.(1)求证：PD平面AMC；(2)若AB1，求二面角BACM的余弦值解析：(1)证明：连接BD，设BD与AC相交于点O，连接OM，四边形ABCD是平行四边形，点O为BD的中点M为PB的中点，OM为PBD的中位线，OMPD，OM平面AMC，PD平面AMC，PD平面AMC.(2)BC平面PAB，ADBC，AD平面PAB，PAAD，又PAAB，且ADABA，PA平面ABCD.以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，B(0,1,0)，M
16、(0，1)，(2,1,0)，(0，1)，求得平面AMC的一个法向量为n(1，2,1)，又平面ABC的一个法向量(0,0,2)，cosn，.二面角BACM的余弦值为.考向三用向量求线面角(2012高考北京卷改编)如图1，在RtABC中，C90，BC3，AC6.D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE2.将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图2.(1)求证：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小【审题视点】建立坐标系，待定平面A1BE的法向量，用向量夹角求【典例精讲】(1)证明：因为ACBC，DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DE
17、CD.所以DE平面A1DC.所以DEA1C.又因为A1CCD，所以A1C平面BCDE.(2)如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz，则A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)设平面A1BE的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.又(3,0，2)，(1,2,0)，所以令y1，则x2，z.所以n(2,1，)设CM与平面A1BE所成的角为.因为(0,1，)，所以sin |cosn，|.所以CM与平面A1BE所成角的大小为.【类题通法】直线l与平面的夹角为，直线l的方向向量l与平面的法向量n的夹角为，则(或)，故有sin |cos |.3(2
18、014东北三校模拟)如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PDDC2AD，ADDC，BCD45.(1)设PD中点为M，求证：AM平面PBC；(2)求PA与平面PBC所成角的正弦值解析：如图，建立空间直角坐标系(1)证明：设PDCD2AD2，BCa，则A(1,0,0)，B(a,2a,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，M(0,0,1)设平面PBC的一个法向量为n(x，y，z)则n(x，y，z)(a,2a，2)axy(2a)2z0，n(x，y，z)(0,2，2)2y2z0令z1，得n(1,1,1)而(1,0,1)，所以n0，即n，又AM平面PBC，故AM平面PBC.(2)(1,0，2)
19、，设PA与平面PBC所成角为，由直线与平面所成角的向量公式有sin .考向四用向量求空间距离在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示求点B到平面CMN的距离【审题视点】借助面SAC面ABC，建立坐标系，求面MNC的法向量，再求距离【典例精讲】取AC的中点O，连接OS、OB.SASC，ABBC，ACSO，ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC，又BO平面ABC，SOBO.如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(0,2，0)，C(2
20、,0,0)，S(0，0,2)，M(1，0)，N(0，)(3，0)，(1,0，)，(1，0)设n(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则，取z1，则x，y，n(，1)点B到平面CMN的距离d.【类题通法】求点到面的距离主要方法(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离(2)在三棱锥中用等体积法求解(3)向量法：d(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过A点的斜线段)4(2014天津南开调研)在直三棱柱中，AA1ABBC3，AC2，D是AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)求点B1到平面A1BD的距离解析：(1)证明：连结AB1交A1B于E，连结DE.B1C平面A1BD
21、.(2)如图建立坐标系，则B1(0,2，3)，B(0,2，0)，A1(1，0,3)，(0,2，3)，(0,2，0)，(1,0,3)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，所以所以n(3,0,1)所求距离为d.对应学生用书P135 (2013高考山东卷)如图所示，在三棱锥PABQ中，PB平面ABQ，BABPBQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：ABGH；(2)求二面角DGHE的余弦值【审题视点】(1)由线线平行线面平行，由线面平行线线平行(2)向量法，建立坐标系，求向量夹角【思维流程】证明EF面PCD.
22、EFGH.BA，BQ，BP两两垂直建系，写坐标求面EFQ和面PDC的法向量求法向量夹角的余弦值，确定二面角的余弦值【规范解答】(1)证明：如图(1)，因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EFAB，DCAB.所以EFDC.又EF平面PCD，DC平面PCD.所以EF平面PCD.又EF平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH，所以EFGH.又EFAB，所以ABGH.(2)在ABQ中，AQ2BD，ADDQ，所以ABQ90.又PB平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图(2)所示的空间直角坐标系设BABQBP2，
23、则E(1,0,1)，F(0,0,1)，Q(0,2，0)，D(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，所以(1,2，1)，(0,2，1)，(1，1，2)，(0，1,2)设平面EFQ的一个法向量为m(x1，y1，z1)，由m0，m0，得取y11，得m(0,1,2)设平面PDC的一个法向量为n(x2，y2，z2)，由n0，n0，得取z21，得n(0,2,1)所以cosm，n.因为二面角DGHE为钝角，所以二面角DGHE的余弦值为.【规范建议】(1)证明空间的线面关系，一般用几何法第一问中，得出EFGH后，不可漏掉“EFAB”，而得出ABGH.(2)建系之前，必须证明BA，BQ，BP两两垂直
24、的结论，不能靠想“天然的坐标系”(3)得出cosm，n后，需要判定m，n是否为二面角DGHE的大小1(2012高考全国大纲卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A2B.C. D1解析：选D.以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2，2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2，2)，E(0,2，)，易知AC1平面BDE.设n(x，y，z)是平面BDE的法向量则.取y1，则n(1,1，)为平面BDE的一个法向量又(2,0,0)，点A
25、到平面BDE的距离是d1.故直线AC1到平面BED的距离为1.2(2013高考浙江卷)在空间中，过点A作平面的垂线，垂足为B，记Bf(A)设，是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1ff(P)，Q2ff(P)，恒有PQ1PQ2，则()A平面与平面垂直B平面与平面所成的(锐)二面角为45C平面与平面平行D平面与平面所成的(锐)二面角为60解析：选A.根据新定义及线面垂直知识进行推理设P1f(P)，P2f(P)，则PP1，P1Q1，PP2，P2Q2.若，则P1与Q2重合、P2与Q1重合，所以PQ1PQ2，所以与相交设l，由PP1P2Q2，所以P，P1，P2，Q2四点共面同理P，P1，P2，Q1四点
26、共面所以P，P1，P2，Q1，Q2五点共面，且与的交线l垂直于此平面又因为PQ1PQ2，所以Q1，Q2重合且在l上，四边形PP1Q1P2为矩形那么P1Q1P2为二面角l的平面角，所以.3(2013高考北京卷)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为_解析：根据空间线面垂直关系求点P到直线CC1的距离的最小值如图，过点E作EE1平面A1B1C1D1，交直线B1C1于点E1，连接D1E1，DE，在平面D1DEE1内过点P作PHEE1交D1E1于点H，连接C1H，则C1H即为点P到直线CC1的距离当点P在线段D1E上运动
27、时，点P到直线CC1的距离的最小值为点C1到线段D1E1的距离，即为C1D1E1的边D1E1上的高h.C1D12，C1E11，D1E1，h.答案：4(2013高考江苏卷)如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值解析：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面AA1B的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos |，得sin .因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.
