1、21.1 合情推理研题型 学方法 题型一 数，式中的归纳推理 根据下列条件，写出数列中的前 4 项，并归纳猜想它的通项公式(1)a13，an12an1；(2)a1a，an112an.解析：(1)由已知有 a13221，a22a112317231，a32a2127115241，a42a31215131251.猜测出 an2n11，nN*.(2)由已知有 a1a，a212a1 12a，a312a2 2a32a，a412a332a43a.猜测出 an（n1）（n2）an（n1）a，nN*.规律方法：进行数、式中的归纳推理的一般规律(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法 要特别注意所给几个等式(或不
2、等式)中项数和次数等方面的变化规律；要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；提炼出等式(或不等式)的综合特点；运用归纳推理得出一般结论(2)数列中的归纳推理 在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和 通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式变式训练 1试根据以下给出的几个不等式：112 11212，112 122 112 12323，112 122 132 112 123 13434，写出一个具有一般性结论的不等式，并证明 解析：通过观察已经给出的 3 个式子，可以发
3、现这些式子中蕴涵了一个基本规律，这个基本规律可用如下式子来表示，即：112 122132 1n2 nn1(nN*)证明如下：112 122 132 1n21121231341n（n1）112 1213 1314 1n 1n1 11n1nn1.题型二 几何中的归纳推理根据下图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为_解析：分别求出前4个图形中线段的数目，并加以归纳，发现规律，得出猜想图形中线段的条数分别为1，5，13，29.因为143223，583233，13163243，29323253.因此可以猜想第8个图形中线段的条数应为2813509.答案：509规律方法：图形中归纳推理的特点及
4、思路(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化 变式训练 2在平面内观察：凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，凸六边形有 9 条对角线，.由此猜想凸 n(n4 且 nN*)边形有几条对角线？解析：凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，比凸四边形多 3 条，凸六边形有 9 条对角线，比凸五边形多 4 条，于是猜想凸 n 边形比凸(n1)边形多(n2)条对角线因此凸 n 边形的对角线条数为：2345(n2)12n(n3)(n4 且 nN*)答案：12n(n3)(
5、n4 且 nN*)题型三 类比推理已知等差数列an的公差为d，前n项和Sn有如下性质：(1)通项公式anam(nm)d；(2)若mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)；(3)若mn2p(m，n，pN*)，则aman2ap；(4)Sn，S2nSn，S3nS2n构成等差数列类比上述性质，在等比数列bn中，写出相类似的性质分析：事物的各个性质间不是孤立的，而是相互联系、相互制约的等差数列与等比数列之间有着很多类似的性质，利用类比可得等比数列的性质解析：在等比数列bn中，公比为q，前n项和Sn.(1)通项公式bnbmqnm；(2)若mnpq，则bmbnbpbq(m，n，p，qN*)；(3)
6、若mn2p(m，n，pN*)，则am an a；(4)Sn，S2nSn，S3nS2n构成等比数列规律方法：类比推理的一般步骤：(1)找相似：找出两类对象可以确切表达的相似特征；(2)提猜想：用一类对象的已知特征，去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想；(3)验结论：检验这个猜想是否正确变式训练 3对于命题：若 O 是线段 AB 上一点，则|OB|OA|OA|OB0，将它类比到平面的情形是：若 O 是ABC 内一点，则 SOBCOASOCAOB SOBAOC 0，将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体 ABCD 内一点，则_解析：根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，由线段类比到平面，
7、平面类比到空间，由线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为 V0BCDOA V0ACDOB V0ABDOCV0ABCOD 0.答案：V0BCDOA V0ACDOB V0ABDOC V0ABCOD 0题型四 合情推理的应用设f(n)n2n41(nN*)，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(10)的值，同时作出归纳推理，并判断是否对所有nN*都成立分析：求出f(1)，f(2)，f(3)，f(10)的值后寻找它们的共同特征解析：f(1)1214143，f(2)2224147，f(3)3234153，f(4)4244161，f(5)5254171，f(6)6264183，f(7)7
8、274197，f(8)82841113，f(9)92941131，f(10)1021041151.从中知f(1)，f(2)，f(3)，f(10)的值都为质数，所以归纳得出猜想：f(n)n2n41的值为质数 因为f(40)40240414141为合数，所以猜想f(n)n2n41的值为质数是错误的规律方法：归纳推理和类比推理的共同点：可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、推理、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理 通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理变式训练 4.观察下列等式：(11)21，(21)(22)2213，(31)(32)(
9、33)23135，照此规律，第n个等式可为_解析：从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)答案：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)析疑难 提能力 类比不当致误.【典例】如图所示，在ABC中，射影定理可表示为abcos Cccos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想解析：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为SS1cos S2cos S3cos【易错剖析】三角形中的内角类比到空间中可以是线面角，也可以是面面角，这里面面角应该合理些；三角形中的射影定理等式右边是边长与角的余弦值相乘，类比到空间中，应该是面积与面面角的余弦值相乘，而不是棱长与角的余弦值相乘这些类比的不确定性，要根据实际情况认真分析