1、31 导数在研究函数中的应用33.1 函数的单调性与导数题型一 求函数的单调区间例 1 求下列函数的单调区间：(1)yxln x；(2)y 12x.解析：(1)函数的定义域为(0，)，y11x，由 y0，得 x1；由 y0，得 0 x1，函数 yxln x 的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0，1)(2)函数的定义域为x|x0，y 12x2，当 x0 时，y12x20 恒成立，函数 y 12x的单调减区间为(，0)，(0，)，没有单调增区间 方法总结：求函数的单调区间的步骤，见基础梳理 2、3.变式迁移1求下列函数的单调区间(1)f(x)x33x1；(2)f(x)ln xx.解析：(1)函
2、数的定义域为 R，f(x)3x233(x1)(x1)，令 f(x)0 得，x1，或 x1，令 f(x)0 得，1x1，函数 f(x)的增区间是(，1)(1，)，减区间(1，1)(2)函数的定义域为(0，)，f(x)1xxln xx21ln xx2，令 f(x)0，1ln x0，0 xe，令 f(x)0，得 xe，函数 f(x)的递增区间是(0，e)，递减区间是(e，)题型二 判断或证明函数的单调性例 2 证明函数 f(x)ln xx 在区间(0，2)上是单调递增函数证明：由于 f(x)ln xx，所以 f(x)1xxln xx21ln xx2，由于 0 x2，所以 ln xln 21，故 f(
3、x)1ln xx20，即函数在区间(0，2)上是单调递增函数 方法总结：利用导数证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是证明不等式 f(x)0 或 f(x)0 恒成立，这时一般是先将函数的导数求出来，然后对其进行整理、化简、变形，根据不等式的相关知识，在给定区间上判断导数的正负，从而得证 变式迁移2已知 a0，且 a1，证明函数 f(x)axxln a 在(，0)内是减函数证明：f(x)ax ln aln aln a(ax1)，x0.当 a1 时，ln a0，ax1，f(x)0，即 f(x)在(，0)内是减函数；当 0a1 时，ln a0，ax1，f(x)0，即 f(x)在(，0)内是减函
4、数；综上，函数 f(x)axx ln a 在(，0)内是减函数题型三 已知函数的单调性求参数范围例 3 已知函数 f(x)x2ax(x0，常数 aR)若函数 f(x)在 x2，)上是单调递增的，求 a 的取值范围解析：f(x)2xax22x3ax2，要使 f(x)在2，)上单调递增，则 f(x)0 在 x2，)时恒成立，即2x3ax20，在 x2，)时恒成立，x20，2x3a0，a2x3 在 x2，)时恒成立，a(2x3)min16，当 a16 时，f(x)2x3ax20(x2，)有且只有 f(2)0.a 的取值范围是(，16方法总结：(1)一般地，已知函数的单调性，求参数的取值范围的方法如下
5、：函数在区间a，b上单调递增（减）f（x）0（f（x）0）在区间a，b上恒成立 利用分离参数法或函数性质求解恒成立问题对等号单独验证 (2)注意事项：一般地，最后要检验参数的取值能否使 f(x)恒等于 0.若 f(x)恒等于 0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有 f(x)0，则由 f(x)0(或 f(x)0)恒成立解出的参数取值范围为最后解 变式训练3已知函数 f(x)2ax1x2，x(0，1若 f(x)在 x(0，1上是增函数，求 a 的取值范围解析：由已知得 f(x)2a2x3.f(x)在(0，1上单调递增，f(x)0，即 a1x3在 x(0，1上恒成立 而 g(x)1x3在(0，
6、1上单调递增，g(x)maxg(1)1，a1.实数 a 的取值范围是1，)题型四 谈论含参数的单调性例 4 设函数 f(x)x1xaln x(aR)，讨论 f(x)的单调性解析：f(x)的定义域为(0，)f(x)11x2axx2ax1x2，令 g(x)x2ax1，其判别式a24.(1)当|a|2 时，0，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增(2)当 a2 时，0，g(x)0 的两根都小于 0，在(0，)上，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增(3)当 a2 时，0，g(x)0 的两根为 x1a a242，x2a a242，当 0 xx1 时，f(x)0，当 x1xx2 时，f(
7、x)0；当 xx2 时，f(x)0；故 f(x)分别在(0，x1)，(x2，)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减 方法总结：讨论含参数的函数的单调性，关键是对参数进行讨论，特别是求导后为二次函数的，实质是解含参数的一元二次不等式，往往要对“”和“根的大小”进行讨论变式训练4设 a0，讨论函数 f(x)ln xax22x 的单调性解析：f(x)的定义域为(0，)，f(x)1x2ax22ax22x1x，方程 2ax22x10 的判别式48a，(1)当0，即 a12时，令 2ax22x10 得 x1 12a2a，当1 12a2ax1 12a2时，f(x)0，f(x)在1 12a2a，1 12a2a上是减函数 当 x1 12a2a或 x1 12a2a时，f(x)0，f(x)在1 12a2a，和0，1 12a2a上是增函数(2)当0，即 a12时，2ax22x10，f(x)0，f(x)在(0，)上是增函数