1、24正态分布1.了解正态分布的意义2.理解正态分布曲线的性质3.掌握利用曲线的性质解决一些简单问题 学生用书P36)1正态分布与正态曲线(1)正态变量：表示随机现象的随机变量的概率分布一般近似服从正态分布服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量(2)正态变量概率密度函数正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)e，xR .其中，是参数，且0，.参数和分别为正态变量的数学期望和标准差(3)正态分布的记法：期望为、标准差为的正态分布通常记作N(，2)(4)正态曲线：正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线(5)标准正态分布：数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布2正态曲线的
2、性质(1)曲线在x轴上方，并且关于直线x对称(2)曲线在x时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；(3)当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中(4)当相同时，正态分布曲线的位置由期望值所决定设X是一个按正态分布的随机变量，则对任意的数a0及b，aXb仍是一个按正态分布的随机变量(5)3原则从理论上可以证明，正态变量在区间(，)，(2，2)，(3，3)内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%由于正态变量在(，)内取值的概率是1，容易推出，它在区间(2，2)之外取值
3、的概率是4.6%，在区间(3，3)之外取值的概率是0.3%.于是正态变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内，这就是正态分布的3原则1判断(对的打“”，错的打“”)(1)函数，(x)中参数，的意义分别是样本的均值与方差()(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数，的变化而变化的()(3)正态曲线可以关于y轴对称()答案：(1)(2)(3)2设随机变量XN(，2)，且P(XC)P(XC)，则C()A0BCD答案：D3已知随机变量X服从正态分布N(3，2)，则P(X3)()A. B.C. D.答案：D4已知正态分布密度函数为f(x)e，x(，)，则该正态分布的均值为_，标准差为_答案：0求正
4、态曲线方程学生用书P37如图所示是随机变量X的正态曲线试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差.扫一扫进入91导学网()正态分布密度曲线【解】由题意知，该正态曲线关于直线x20对称，最大值为，故解得所以概率密度函数的解析式为f(x)e，xR.总体随机变量的期望为20，方差2()22.正态密度函数解析式的求法利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x，另一是最值，这两点确定以后，相应参数，便确定了，代入便可求出相应的解析式 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 .求该正态分布的概率密度函数的解析式解：由
5、于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即0.由于，得4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是，(x)e，x(，)利用正态曲线的性质解题学生用书P38设XN(1，22)，试求：(1)P(1X3)；(2)P(3X5)【解】因为XN(1，22)，所以1，2.(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0.683.(2)因为P(3X5)P(3X1)，所以P(3X5)P(3X5)P(1X3)P(14X14)P(12X12)P(2X2)P(X)(0.9540.683)0.135 5.本例条件不变，试求P(X5)解：因为P(X5)P(X3)，所以P(X5)1P(3X5)1P(14X1
6、4)1P(2X2)(10.954)0.023.(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1；(2)正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等 设随机变量XN(2，9)，若P(Xc1)P(Xc1)(1)求c的值；(2)求P(4X8)解：(1)由XN(2，9)可知，密度函数曲线关于直线x2对称(如图所示)，又P(Xc1)P(Xc1)，故有2(c1)(c1)2，所以c2.(2)P(4X8)P(223X223)0.954 5.正态分布的应用学生用书P38一次数学考试中，某班学生的分数XN(110，202)，且知满分150分，这个班共有54人，求这个班在这次数学考试中及格(不小于
7、90分)的人数和130分以上的人数【解】因为XN(110，202)，所以110，20.由于P(11020X11020)0.683，所以X130的概率为(10.683)0.158 5.X90的概率为0.6830.158 50.841 5，所以及格的人数为540.841 545，130分以上的人数为540.158 59.本类题目主要考查正态分布在实际问题中的应用，解答此类题目的关键在于把实际问题转化到正态总体数据落在(，)，(2，2)及(3，3)三类区间内的概率，在解答过程中，要多注意应用正态曲线的对称性来转化区间 某人从某城市的A地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)XN(50
8、，102)，则他在时间段(30，70内赶到火车站的概率为_解析：因为XN(50，102)，所以50，10.所以P(30X70)P(5020X5020)0.954.答案：0.954正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值(2)P(Xa)1P(Xa)，P(Xa)P(Xa)，若b，则P(X4)()A0.158 8 B0.158 65C0.158 6 D0.158 5解析：选B.由于X服从正态分布N(3，1)，故正态分布曲线的对称轴为x3.所以P(X4)P(X4)0.158 65.3已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一
9、件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为()(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.27%，P(22)95.45%)A4.56% B13.59%C27.18% D31.74%解析：选B.由正态分布的概率公式知P(33)0.682 7，P(66)0.954 5，故P(36)0.135 913.59%，故选B.4在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A2 386 B2 718C3 414 D4 772附：若XN(，2)，则P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5.解析：选C.由P(1X
10、1)0.682 7，得P(0X1)0.341 35，则阴影部分的面积为0.341 35，故估计落入阴影部分的点的个数为10 0003 414，故选C.5已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)()A0.6 B0.4C0.3 D0.2解析：选C.如图，正态分布的密度函数图象关于直线x2对称，所以P(2)0.5，并且P(02)P(24)，则P(02)P(4)P(2)0.80.50.3.6设随机变量N(2，2)，则D()_解析：因为N(2，2)，所以D()2.所以D()D()2.答案：7设随机变量XN(4，2)，且P(4X8)0.3，则P(X0)_解析：概率密度曲线关于直
11、线x4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于在8右边的概率，即0.50.30.2.答案：0.28在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，2)(22)若在(0，1)内取值的概率为0.4，则在(0，2)内取值的概率为_解析：因为的概率密度函数曲线关于直线x1对称，所以在(0，1)内取值的概率与在(1，2)内取值的概率相等，故在(0，2)内取值的概率为0.420.8.答案：0.89在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即XN(90，100)(1)试求考试成绩X位于区间(70，110)内的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩位于区间(80，100)内的
12、考生大约有多少人？解：因为XN(90，100)，所以90，10.(1)由于随机变量在区间(2，2)内取值的概率是0.954，而在该正态分布中，29021070，290210110，于是考试成绩X位于区间(70，110)内的概率就是0.954.(2)由90，10，得80，100.由于随机变量在区间(，)内取值的概率是0.683，所以考试成绩X位于区间(80，100)内的概率是0.683.一共有2 000 名考生，所以考试成绩在(80，100)内的考生大约有2 0000.6831 366人10已知某地农民工年均收入X服从正态分布，其密度函数图象如图所示(1)写出此地农民工年均收入的密度函数的表达式
13、(2)求此地农民工年均收入在8 0008 500元之间的人数所占的百分比解：设农民工年均收入XN(，2)，结合题图可知，8 000，500.(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式为，(x)ee，x(，)(2)因为P(7 500X8 500)P(8 000500X8 000500)0.683.所以P(8 000X8 500)P(7 500X8 500)0.341 534.15%.即农民工年均收入在8 0008 500元之间的人数所占的百分比为34.15%.B能力提升11设随机变量服从正态分布N(，2)，函数f(x)x24x没有零点的概率是，则()A1 B4C2 D不能确定解析：选B.根
14、据题意，函数f(x)x24x没有零点时，1640，即4，根据正态分布密度曲线的对称性，当函数f(x)x24x没有零点的概率是时，4.12为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg小于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为_解析：依题意可知，60.5，2，故P(58.5X62.5)P(X)0.683，从而属于正常情况的人数为1 0000.683683.答案：68313从某企业生产的某种产品
15、中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用的结果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，则P(Z)0.682 7，P(2Z2)0.954 5.解：(1)抽取产品的质量指标值
16、的样本平均数x和样本方差s2分别为x1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由第一问知，ZN(200，150)，从而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.682 7.由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 7，依题意知XB(100，0.682 7)，所以E(X)1000.682 768.27.14(选做题)3D打印通常是采用数字技术材料打
17、印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如图所示(单位：m)(1)计算平均值与标准差；(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(，2)该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：m)：86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？解：(1)(979798102105107108109113114)105，2(8)2(8)2(7)2(3)202223242829236，所以6.(2)结论：需要进一步调试理由如下：如果机器正常工作，则Z服从正态分布N(105，62)，则P(3Z3)P(87Z123)0.997 3，零件内径在(87，123)之外的概率只有0.002 7，而86(87，123)，根据3原则，机器异常，需要进一步调试