1、山东省青岛市2020届高三数学自主检测试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数（i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】先利用复数的四则运算得到，从而得到复数对应的点，故可得正确的选项.【详解】，复数z在复平面上对应的点为，该点在第二象限，故复数z在复平面上对应的点所在的象限为第二象限，故选：B.【点睛】本题考查复数的四则运算以及复数的几何意义，注意复数的除法是分子分母同乘以分母的共轭复数，本题属于基础题.
2、2.已知全集，集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简集合M，N，根据集合的交集、补集运算求解即可.【详解】,故选：A【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，考查了一元二次不等式，余弦函数，属于容易题.3.如图是一个列联表，则表中、处的值分别为（ ）总计总计A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据表格中的数据可先求出、的值，再结合总数为可分别求得和的值.【详解】由表格中的数据可得，.故选：B.【点睛】本题考查列联表的完善，考查计算能力，属于基础题.4.若直线，与平行，则下列选项中正确的（ ）A. p是q的必要非充分条件B. q是p的充
3、分非必要条件C. p是q的充分非必要条件D. q是p的非充分也非必要条件【答案】C【解析】【分析】根据与平行，得到或，再根据集合的关系判断充分性和必要性得解.【详解】因为与平行，所以或.经检验，当或时，两直线平行.设，或，因为,所以p是q的充分非必要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查两直线平行应用，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.在中，如果，那么的形状为（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形【答案】A【解析】【分析】结合以及两角和与差的余弦公式，可将原不等式化简为，即，又，所以与一正一负，故而得解.【详解】解：，即与异号，又，
4、与一正一负，为钝角三角形故选：A.【点睛】本题考查三角形形状的判断，涉及到三角形内角和、两角和与差的余弦公式，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ）A. 50种B. 60种C. 80种D. 90种【答案】C【解析】【分析】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论，求
5、出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案.【详解】解：根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论：若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法；若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法；则一共有种选法.故选：C.【点睛】本题考查分步乘法和分类加法的计数原理的应用，属于基础题.7.在三棱柱中，侧棱底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（ ）A. B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】设三棱柱的上、下底面中心分别为、
6、，则的中点为，设球的半径为，则，设，在中，根据勾股定理和基本不等式求出的最小值为，结合已知可得，从而可得侧面积.【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为、，则的中点为，设球的半径为，则，设，则，则在中，当且仅当时，等号成立，所以，所以，所以，所以该三棱柱的侧面积为.故选：B.【点睛】本题考查了球的表面积公式，基本不等式求最值，考查了求三棱柱的侧面积，属于基础题.8.已知函数，若函数有13个零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题可知，设，且恒过定点，转化为函数与函数的图象有13个交点，画出函数与函数的图象，利用数形结合法，即可求出的取值范围.【详解
7、】解：由题可知，函数有13个零点，令，有，设，可知恒过定点，画出函数，的图象，如图所示：则函数与函数的图象有13个交点，由图象可得：，则，即，解得：，.故选：D.【点睛】本题考查将函数零点的个数转化为函数图象交点问题，从而求参数的范围，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】ABC【解析】【分析】根据图象平移求
8、得函数的解析式，再利用函数的单调性列出不等式求得的取值范围，即可求解.【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则满足，解得，所以实数的可能的取值为.故选：ABC.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.10.在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩张丘建算经是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织
9、布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知匹丈，丈尺，若这一个月有天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，对于数列、，下列选项中正确的为（ ）A. B. 是等比数列C. D. 【答案】BD【解析】【分析】由题意可知，数列为等差数列，求出数列的公差，可得出数列的通项公式，利用等比数列的定义判断出数列是等比数列，然后利用数列的通项公式即可判断出各选项的正误.【详解】由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，由题意可得，解得，（非零常数），则数列等比数列，B选项正确；，A选项错误；，C选项错误
10、；，所以，D选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合问题，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.11.已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（ ）A. B. 3C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据题意，得出的导数，可令切点的横坐标为，求得切线的斜率，由题意可得关于的方程有两个不等的正根，考虑判别式大于0，且两根之和大于0，两根之积大于0，计算可得的范围，即可得答案.【详解】解：由题可知，则，可令切点的横坐标为，且，可得切线斜率，由题意，可得关于的方程有两个不等的正根，且可知，则，即，解得：，的取值可能为
11、，.故选：AC.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及根据一元二次方程根的分布求参数范围，考查转化思想和运算能力.12.在如图所示的棱长为1的正方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的为（ ）A. 若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线B. 若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆C. 若点P到直线的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆D. 若点P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线【答案】ABD【解析】【分析】A.根据平面，判断点的轨迹；B.根据平面与球相交的性质，判断选项；C.由条件可转化为，根据椭圆的定义判断；D.由条件建立坐标系，求点
12、的轨迹方程，判断轨迹是否是双曲线.【详解】A.在正方体中，平面，所以，所以平面，平面，所以，同理，所以平面，而点P在侧面所在的平面上运动，且，所以点的轨迹就是直线，故A正确；B.点的轨迹是以为球心，半径为的球面与平面的交线，即点的轨迹为小圆，设小圆的半径为，球心到平面的距离为1，则，所以小圆周长，故B正确；C. 点P到直线AB的距离就是点到点的距离，即平面内的点满足，即满足条件的点的轨迹就是线段，不是椭圆，故C不正确； D.如图，过分别做于点，于点，则平面，所以，过做，连结，所以平面，所以，如图建立平面直角坐标系，设，则，即，整理为：，则动点的轨迹是双曲线，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考
13、查立体几何中动点轨迹问题，截面的形状判断，重点考查空间想象能力，逻辑推理，计算能力，属于中档题型.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据题意，由椭圆的标准方程的特点，结合已知条件列出不等式，求解即可得出实数的取值范围.【详解】解：由题可知，方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得：，所以实数的取值范围为：.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的特点，是基础知识的考查，属于基础题.14.已知定义在的偶函数在单调递减，若，则x的取值范围_【答案】【解析】【分析】由题意结合偶函数的性质可得，再由函数的单调
14、性即可得，即可得解.【详解】因为为偶函数，所以，又在单调递减，所以，解得.所以x的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题.15.若，则（1）_；（2）_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）化简二项式为，利用通项，求得，再令，求得，即可求解；（2）令，求得，根据和（1）中，即可求解.【详解】（1）由题意，可化为，由，可得，令，即时，可得，所以.（2）令，则，则，由（1）可得，所以.【点睛】本题主要考查了二项展开式的应用，以及导数四则运算的应用，其中解答中准确赋值，以及利用导数的运算合理构造是解答的关键，
15、着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16.已知，是平面上不共线的两个向量，向量与，共面，若，与的夹角为，且，则_【答案】【解析】分析】设，由已知，可得，从而可求出，则，即可求出模长.【详解】解：设，因为与的夹角为， 所以 ，则，解得，则，故答案为: .【点睛】本题考查了向量的数量积运算，考查了平面向量基本定理，考查了向量模的求解.本题的难点是用已知表示.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在直角梯形中，点是线段的中点，将，分别沿，向上折起，使，重合于点，得到三棱锥试在三棱锥中，（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值
16、【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，得出，而，根据线面垂直的判定定理证出平面，最后利用面面垂直的判定定理，即可证明平面平面；（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，根据空间坐标的运算可得出和平面的法向量，利用空间向量法求夹角的公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值【详解】解：（1）由题知：在直角梯形中，所以在三棱锥中，所以， 又因为，所以平面， 又因为平面，所以，平面平面.（2）由（1）知：，又，以为坐标原点，以的方向分别作为轴，轴，轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，所以，设为平面的法向量，由，可得，令得：，设直线与平面所成角为，所
17、以，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直和面面垂直的判定定理，考查利用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值，考查推理证明能力和运算求解能力.18.已知为等差数列，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且，中的任何两个数都不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行第二行469第三行1287请从， 的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列存在；并在此存在的数列中，试解答下列两个问题（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)分别代入， ，结合已知条件可判断，求出数列的公差，即可求出通项公式.(2)由(1)知，当n为
18、偶数时，结合数列的求和的定义求出，由等差数列的求和公式即可求解；当n为奇数时，即可求解.【详解】解：（1）若选择条件，当第一行第一列为时，由题意知，可能的组合有，不是等差数列，不是等差数列；当第一行第二列为时，由题意知，可能的组合有，不是等差数列，不是等差数列；当第一行第三列为时，由题意知，可能的组合有，不是等差数列，不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列都不存在，若选择条件，则放在第一行第二列，结合条件可知，则公差，所以，若选择条件，当第一行第一列为时，由题意知，可能的组合有，不是等差数列，不是等差数列；当第一行第二列为时，由题意知，可能的组合有，不是等差数列，不是等差数列
19、；当第一行第三列为时，由题意知，可能的组合有，不是等差数列，不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列都不存在，综上可知：，.（2）由（1）知，所以当n为偶数时，当n为奇数时， ，【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求解，考查了等差数列的求和公式，考查了数列求和.本题的难点是第二问求和时，分情况讨论.19.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）若还同时满足下列四个条件中的三个：，的面积，请指出这三个条件，并说明理由；（2）若，求周长L的取值范围【答案】（1），理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）首先条件变形，利用两角差的正弦公式变形，求得，再判断不能同时成立，最后根
20、据判断能同时成立的第三个条件；（2）首先利用正弦定理边角互化，表示，再利用三角函数恒等变形表示周长，最后根据角的范围求周长的取值范围.【详解】解：因为所以即所以 因为A，B，所以，即，所以 （1）还同时满足条件 理由如下：若同时满足条件则由正弦定理得，这不可能 所以不能同时满足条件，所以同时满足条件所以的面积所以与矛盾所以还同时满足条件 （2）在中，由正弦定理得：因为，所以，所以 因为，所以，所以周长L的取值范围为.【点睛】本题考查三角恒等变形，正余弦定理解三角形，重点考查转化与化归的思想，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题型.20.某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表：阶梯年用气量（
21、立方米）价格（元/立方米）第一阶梯不超过228的部分3.25第二阶梯超过228而不超过348的部分3.83第三阶梯超过348的部分4.70从该市随机抽取10户（一套住宅为一户）同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：居民用气编号12345678910年用气量（立方米）95106112161210227256313325457（1）求一户居民年用气费y（元）关于年用气量x（立方米）的函数关系式；（2）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；（3）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取10户
22、，其中恰有k户年用气量不超过228立方米的概率为，求取最大值时的值【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为；（3）6【解析】【分析】（1）由表格中的数据结合题意，即可求得一户居民年用气费y（元）关于年用气量x（立方米）的函数关系式；（2）由题意知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，得到随机变量可取，利用超几何分布求得相应的概率，得到随机变量的分布列，进而求得期望； （3）由，列出不等式组由，求得的值，即可求解.【详解】（1）由题意，当时，；当时，；当时，所以年用气费y关于年用气量x的函数关系式为.（2）由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过3
23、48立方米的用户有3户，设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为，则可取，则，故随机变量的分布列为：0123P所以.（3）由题意知，由，解得，所以当时，概率最大，所以.【点睛】本题主要考查了分段函数模型的性质及其应用，以及离散型随机变量的分布列与期望的求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.21.已知函数，（其中是自然对数的底数），（1）讨论函数单调性；（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）在定义域上单调递增；（2）【解析】【分析】（1）先求得，利用导数可得恒成立，故可得的单调区间.（2）对任意的恒成立等价于对任意恒成立，就和结合的
24、单调性分类讨论可得对任意恒成立，参变分离后再次利用导数可求的取值范围.【详解】解：（1）因为，所以.令，则，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增所以，又因为，所以，在定义域上单调递增.（2）由得，即，所以，即对任意恒成立， 设，则所以，当时，函数单调递增，且当时，当时，若，则，若，因为，且在上单调递增，所以，综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立.设，则，所以在单调递增，所以，即a的取值范围为【点睛】本题考查函数的单调性以及含参数的不等式的恒成立，前者利用导数的符号来讨论，后者需等价变形把原不等式转化简单不等式的恒成立，再根据不等式的结构特征构建新函数来讨论，本题为较难题.22.已知直线过坐
25、标原点O且与圆相交于点A，B，圆M过点A，B且与直线相切（1）求圆心M的轨迹C的方程；（2）若圆心在x轴正半轴上面积等于的圆W与曲线C有且仅有1个公共点（）求出圆W标准方程；（）已知斜率等于的直线，交曲线C于E，F两点，交圆W于P，Q两点，求的最小值及此时直线的方程【答案】（1）；（2）（）；（）的最小值为，此时直线的方程为【解析】【分析】（1）设，由题意结合圆的性质可得、，代入化简即可得解；（2）（）设圆W与曲线C的公共点为，圆W的标准方程，由题意可得曲线C在T的切线l与圆W相切即，由直线垂直的性质及点在圆W上即可得解；（）设，直线，联立方程组结合弦长公式可得，由垂径定理可得，确定m的取值范
26、围后，通过换元、基本不等式即可得解.【详解】（1）由题意圆的圆心为，半径为2，直线过坐标原点O，所以坐标原点O为AB的中点，所以，设，所以，又因为圆M与直线相切，所以圆M的半径，所以，化简得M的轨迹C的方程为； （2）（）由（1）知曲线C为，设，则，设圆W与曲线C的公共点为，则曲线C在T的切线l的斜率，由题意，直线l与圆W相切于T点，设圆W的标准方程为，则圆W的的圆心为，则直线WT的斜率，因为，所以，即 ， 又因为，所以，所以 令，则，所以即，所以，所以， 从而圆W的标准方程为； （）设，直线，由得，所以，所以， 又因为圆W的圆心到直线的距离为，所以， 所以， 由于与曲线C、圆W均有两个不同的交点，解得，令，则，则，当且仅当，即，亦时取等号，当时，的最小值为，此时直线的方程为.【点睛】本题考查了动点轨迹求解与圆的方程的确定，考查了与圆、抛物线相关的公切线、弦长问题，考查了运算求解能力，属于难题.