1、天津市静海区独流中学2021届高三数学上学期第一次月考试题（含解析）一单选题(共9题，每题5分)1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出，然后再与求交集.【详解】由，则又，所以故选：C【点睛】本题考查集合的交集、并集运算，属于基础题.2. “”是“成立”的A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义分别进行证明即可【详解】由，可得或，所以“”是“或”的充分不必要条件，即“”是“成立”的充分不必要条件故选A【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的解法，是一道基础题3. 已
2、知，则的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：，即，即，即，综上可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确4. 已知平面向量，满足，若，则为（ ）A.
3、 -1B. -2C. -3D. -4【答案】C【解析】【分析】先根据条件求解出的坐标表示，然后根据向量共线对应的坐标表示形式列出关于的方程，由此求解出的值.【详解】因为，所以，所以，又因为，所以，所以，故选：C.【点睛】结论点睛：已知向量，（1）若，则有；（2）若，则有.5. 函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为，所以或，由于函数在上递减，函数在定义域内递减，根据复合函数单调性得性质可知函数的单调递增区间为，故选D.考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.6. 设函数，则下列结论中错误的是（ ）A. 的一个周期为B. 的最大值为2C. 在区间上单
4、调递减D. 的一个零点为【答案】D【解析】【分析】先利用两角和的正弦公式化简函数，再由奇偶性的定义判断；由三角函数的有界性判断；利用正弦函数的单调性判断；将代入判断.【详解】 ，周期正确；的最大值为2，正确，在上递减，正确；时，不是的零点，不正确.故选D.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.7. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走37
5、8里路，第1天健步行走，从第2天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，可求出此人每天走多少里路.”那么此人第5天走的路程为（ ）A. 48里B. 24里C. 12里D. 6里【答案】C【解析】记每天走的路程里数为an，由题意知an是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，=12（里）故选C8. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由渐近线与已知直线平行，得渐近线斜率，从而得，再由焦点到渐近线距离得值，从而可得值，得双曲线方程【详解】双曲线的一个焦
6、点为，一条渐近线方程为，由题意，又一条渐近线与直线平行，则，双曲线方程为故选：A9. 已知函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，若，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据的对称性确定出为偶函数，再利用导数分析的单调性，并借助奇偶性将自变量转变至，由此比较出的大小关系.【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以的图象关于轴对称，所以为偶函数，当时，若，此时，所以，若，此时，所以，所以时，所以在上单调递增，因为，所以，且，所以，所以，故选：D.【点睛】结论点睛：通过对称性判断函数奇偶性的常见情况：（1）若函数的图象关于直线对称，则为偶函数；（2）若函数
7、的图象关于点成中心对称，则为奇函数.二填空题(共6题，每题5分)10. 是虚数单位,若是纯虚数,则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】对复数进行化简计算，再根据纯虚数的定义，得到的值.【详解】因为复数为纯虚数，所以，得.故答案为：.【点睛】本题考查复数的计算，根据复数类型求参数的值，属于简单题.11. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有40名，高二年级有50名现用分层抽样的方法在这90名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了8名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 .【答案】10【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意可知：抽样比为，所以在高二年级的学生中应抽取的人数为 .考点
8、：分层抽样.12. 若展开式中各项系数的和等于64,则展开式中的系数是_.【答案】【解析】分析】先由各项系数的和，求出，再由二项展开式的通项公式，即可求出结果.【详解】因为展开式中各项系数的和等于64，所以，解得；所以展开式的通项为，令，得的系数为.故答案为【点睛】本题主要考查二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.13. 已知直线为圆的切线，则_【答案】【解析】【分析】由于直线与圆相切，利用圆心到直线的距离公式求出圆到直线的距离等于半径，即可求出结果.【详解】因为直线为圆的切线，所以圆心到直线的距离为，又，所以，故填.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离
9、公式的运用，属于基础题14. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围_.【答案】【解析】【分析】由基本不等式求得的最小值，然后解相应的不等式可得的范围【详解】，且，当且仅当，即时等号成立，的最小值为8，由解得，故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题第一步是利用基本不等式求得的最小值，第二步是解不等式15. 在梯形中，分别为线段和上的动点，且，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算，求的解析式，根据题意求出的取值范围，再根据对勾函数的性质求最大值【详解】解：梯形中，则，解得；设，则在上单调递增；时取得最大值，故答案为：【点睛】本题主要考查了平
10、面向量的线性运算以及平面向量的数量积的运算问题，同时也考查了函数的最值问题，其中解答中根据向量的线性运算和数量积的运算，求得的解析式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题.三解答题16. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinA=3csinB，a=6，cosB=（）求b；（）求cos（2B+）【答案】（I） ； （II）.【解析】【分析】（I）利用正弦定理,余弦定理即可得出（II）利用倍角公式,和差公式即可得出【详解】（）在中，可得，又由，可得，又因，故由，则 ，可得 （）由，可得，进而得，所以【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值、倍角
11、公式和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17. 某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望【答案】【解析】【分析】（）利用古典概型的概率求解方法求出概率即可；（）求出随机变量X的所有可能取值，求出相应的概率，得到X的分布列，然后求解数学期望【详解】由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件“恰有1位女棋手”，则
12、，所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为随机变量X的所有可能取值为0，2，其中，所以，随机变量X分布列为X024P随机变量X的数学期望【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，在上，且，侧棱平面.（1）求证：平面平面；（2）若为等腰直角三角形.（i）求直线与平面所成角的正弦值；（ii）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）（i）；（ii）【解析】【分析】由，平面，分别以轴建立空间直角坐标系，（1）利用向量证明，即可证平面，从而得面面垂直；（2）（i）再写
13、出点坐标，由平面的法向量与夹角的余弦值的绝对值求得线面角的正弦值；（ii）再求出平面的一个法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值【详解】因为，平面，故分别以轴建立空间直角坐标系，则，（1），即，而平面，平面，又，平面，平面，平面平面；（2）为等腰直角三角形.，由，（i），由（1）是平面的一个法向量，直线与平面所成角的正弦值为；（ii）设平面的一个法向量为，则，取，则，二面角为锐二面角，其余弦值为【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，求线面角和二面角，解题方法是空间向量法解题关键是建立空间直线坐标系，由向量的数量积为0证明直线垂直，从而可得线面垂直，面面垂直，利用平面的法向量求线面角的正
14、弦和二面角的余弦这种方法用计算代替几何证明，便于学生思考求解19. 设数列是等比数列，公比大于0，其前项和为，是等差数列，且，是和的等差中项.（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设出的公比，的公差，根据条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则和的通项公式可求出；（2）先表示出，然后采用错位相减法进行求和.【详解】（1）设公比为，的公差为，因为，是和的等差中项，当时，所以，所以，所以，此时不是和的等差中项，所以不满足；当时，所以，所以，所以；（2）因为，设的前项和为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以的前项和为.【点睛】思路点睛：满
15、足等差乘以等比形式数列的前项和的求解步骤（错位相减法）：（1）先根据数列的通项公式写出数列的一般形式：；（2）将（1）中的关于等式的左右两边同时乘以等比数列的公比；（3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第2项，依次类推，得到结果；（4）利用等比数列的前项和公式以及相关计算求解出.20. 已知函数，（1）当1时，求曲线在点处的切线方程；（2）当0时，求的单调区间；（3）证明：对任意的在区间（0，1）内均存在零点.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）当1时，求出函数，利用导数的几何意义求出x0处的切线的斜率，利用点斜式求出切线
16、方程；（2）根据0，解得x或x，讨论的正负，在函数的定义域内解不等式0和0求出单调区间即可；（3）根据函数的单调性分两种情况讨论，当1与当01时，研究函数的单调性，然后根据区间端点的符号进行判定对任意（0，2），在区间（0，1）内均存在零点从而得到结论【详解】（1）当1时，4x3+3x26x，f（0）012x2+6x6，6，所以曲线y在点（0，f（0）处的切线方程为（2）12x2+6tx6t2，0，解得x或x.0，以下分两种情况讨论：若0，则，（x）的单调增区间是（，），（，+）；（x）的单调减区间是（，）若0，则，的单调增区间是（，），（，+）；的单调减区间是（，）（3）由（2）可知，当0时
17、，在（0，）内单调递减，在（，+）内单调递增，以下分两种情况讨论：当1，即2时，在（0，1）内单调递减（0）10，（1）6t2+4t+3130所以对于任意2，+），在区间（0，1）内均存在零点当01，即02时，（0，）内单调递减，在（，1）内单调递增，若（0，1，（）+t10，（1）6t2+4t+32t+30所以在（，1）内存在零点若（1，2），（）+t1+10，（0）t10，在（0，）内存在零点所以，对任意（0，2），在区间（0，1）内均存在零点综上，对于任意（0，+），在区间（0，1）内均存在零点【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想，属于中档题
