1、双曲线及其标准方程问题 已知 A是圆1F 上一动点,圆内任取不同于圆心的一点2F，连接1AF与2AF 的垂直平分线交于点 M，随着点 A在圆上运动，点 M 轨迹是什么？1.双曲线的定义:平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于21FF)的点的轨迹叫做双曲线.两焦点的距离叫做双曲线的焦距.21,FF叫做双曲线的焦点 剖析特征，提炼双曲线定义双曲线及其标准方程1F2FM2.如何建立双曲线的方程?建系 设点 列式 化简 方程 曲线 类比椭圆，推导标准方程双曲线及其标准方程F2F1MxOy（1）建系:以过焦点21FF，所在的直线为 x 轴，线段21FF的垂直平分线为 y 轴奎屯王
2、新敞新疆建立直角坐标系.(2)设点：),(yxM，双曲线焦距为)02cc（，则)0,()0,(21cFcF，.推导标准方程双曲线及其标准方程F1F2MxyOaycxycx22222则有：22222ycxaycx移项得0222bcab令012222222222babyaxbayaxb即则有22222244ycxcxaaycx两边平方得cxaycxa222移项化简得22242222xccxaaycxa两边平方22222222caayaxca化简得椭圆22222222()()caxa ya ca222bca令22221(0,0)xyababaycxycx2-2222则有：F2F1MxOyaMFMF2
3、2122222ycxaycx222-acxycxa推导标准方程双曲线及其标准方程1-22222 acyaxaMFMF221F(c,0)12222 byaxOxyF212222 bxayF(0,c)xF2F1MOyF1M(x,y)1,122222222bxaybyax双曲线方程的特征（1）方程的左边是含22,yx的二次式，右边是 1；（2）22,yx项的系数异号；（3）方程中有两个量ba，有222bac（c 最大）；（4）2x 项的系数为正，焦点在 x 轴上，否则焦点在 y 轴上.推导标准方程双曲线及其标准方程例 1 已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动 点 M 满 足621 MFMF,
4、求动点 M 的轨迹方程.解：621 MFMF焦点为12(5,0),(5,0)FF 可设所求方程为:22221xyab (a0,b0).2a=6,2c=10,a=3,c=5.点 M 的轨迹方程为221916xy.1021FF6,由双曲线的定义可知，点M 的轨迹是一条双曲线,b2=5232=16.数学应用双曲线及其标准方程2.若动点 M 满足1021 MFMF,则动点 M 的轨迹方程？0(55)yxx或.点 M 的轨迹是两条射线：思考 1.若动点 M 满足621 MFMF,则动点 M 的轨迹方程？4.若动点 M 满足021 MFMF,则动点 M 的轨迹？3.若动点 M 满足1121 MFMF,则动
5、点M 的轨迹？数学应用双曲线及其标准方程)0(116922xyx点 M 的轨迹不存在.点 M 在21FF的垂直平分线上.例 1 已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点 M 满足621 MFMF,求动点 M 的轨迹方程.解：设双曲线的方程为：22221yxab 则 116812519322222baba 思考：去掉“焦点在 y 轴上”，如何求双曲线的标准方程？方法 1:分焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情形讨论.所以双曲线的方程为：191622 xy.解得:9,1622ba方法 2:设方程为0122mnnymx.例 2求焦点在 y 轴上且过)24,3(1P,)5,49(2P两点的双
6、曲线的标准方程.注:若解22,ba则方程组是由两个分式方程构成，较复杂；若解221,1ba则方程组为二元一次方程组，比较简单！数学应用双曲线及其标准方程巩固练习，深化所学知识双曲线及其标准方程1.已知方程13222mymx表示焦点在 x 轴上的双曲线，则 m 的取值范围是 解：0302mm2 m0302mm3 m20)3)(2(mmm或3m0302mm m变式（1）以上方程表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 m 的取值范围是 （2）若以上方程表示双曲线，则 m 的取值范围是 （3）若以上方程表示椭圆，则 m 的取值范围是 _4)3()3(.22222化简后的结果是方程xyxy巩固练习，深化所学知
7、识双曲线及其标准方程15422 xy)0(y本节课你有哪些收获和感悟？课堂总结，整理所学知识双曲线及其标准方程已知)0,5(),0,5(21FF，动圆 P 过2F 且 与以1F 为圆心半径为 6 的圆外切，求点 P 的轨迹方程.思考 1：若相切，P 点的轨迹方程如何？思考：思考 2：若半径为 12，P 点的轨迹方程？思考应用双曲线及其标准方程谢谢大家！问题1 准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点 F，将纸片折起，使圆周过点 F，然后将纸展开，就得到一条折痕 L，这样继续折下去，得到若干折痕.这些折痕的轮廓形成什么曲线？拓展探究，培养学生知识双曲线及其标准方程问题2 将 F 点移到圆外，这些折痕的轮廓形成什么曲线？