1、高考资源网（） 您身边的高考专家13导数的应用13.1利用导数判断函数的单调性1.了解函数的单调性与导数的关系2.能够利用导数研究函数的单调性3会求不超过三次的多项式函数的单调区间函数的单调性判断一般地，设函数yf(x)在区间(a，b)内可导，函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f(x)0单调增函数f(x)0单调减函数f(x)0常数函数1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)在定义域上都有f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增()(2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f(x)0.()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大()答案
2、：(1)(2)(3)2函数f(x)2xsin x在(，)上是()A增函数B减函数C先增后减 D不确定答案：A3函数f(x)2x2x的单调递增区间是()A. B.C. D.答案：A判断(证明)函数的单调性证明：函数ylnxx在其定义域内为单调递增函数证明显然函数的定义域为x|x0，又f(x)(lnxx)1，当x0时，f(x)10，故ylnxx在其定义域内为单调递增函数把本例中lnx改为ex，其他条件不变，判断函数的单调性解：f(x)exx，显然定义域为R.由f(x)(exx)ex1，且当xR时，f(x)10.故函数在其定义域内是单调递增函数利用导数研究函数单调性的方法第一步：求定义域，对函数求导
3、； 第二步：解导数等于0时的方程；第三步：导数大于0的区间与定义域求交集为增区间，小于0的区间与定义域求交集为减区间，即“正增负减”下列函数中，在(0，)内为增函数的是()Aysin xByxexCyx3x Dyln xx解析：选B.B中，y(xex)exxexex(x1)0在(0，)上恒成立，所以yxex在(0，)上为增函数对于A、C、D都存在x0，使y0，解得x4或x2，所以yx39x224x的递增区间是(4，)和(，2)令3(x2)(x4)0，解得2x0，因为f(x)2x，所以令f(x)0，则x，令f(x)0，则0x0，解得x1或x1.因此，f(x)的增区间为(，1)和(1，)令3(x1
4、)(x1)0，解得1x0，解得x0.因此，f(x)的增区间为(，1)和(0，)令(ex1)(x1)0，解得1x0.因此，f(x)的减区间为(1，0)含参数的单调性问题已知函数f(x)x3ax1.若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围解f(x)3x2a.因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0，即实数a的取值范围为(，01若函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，1)上为减函数，试求a的取值范围解：由f(x)3x2a0在(1，1)上恒成立，
5、得a3x2在(1，1)上恒成立因为1x1，所以3x23，所以a3.即当a的取值范围为3，)时，f(x)在(1，1)上为减函数2若函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(1，1)，求a的值解：由本例可知，f(x)的单调递减区间为，所以1，即a3.已知函数f(x)在(a，b)内的单调性，求参数的取值范围的步骤：第一步：求导数yf(x)；第二步：转化为f(x)0(或f(x)0)对x(a，b)恒成立问题；第三步：由不等式恒成立求参数取值范围；第四步：验证等号是否成立 若函数f(x)a(x3x)的单调减区间为，则a的取值范围是_解析：由f(x)a(3x21)3a0.答案：(0，)利用导数研究函数单
6、调性时应注意的问题(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开(4)注意在某一区间内f(x)0(或f(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件(5)如果函数在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为常函数如f(x)3，则f(x)30.(6)利用导数的符号判断函数的增减性，这
7、是导数的几何意义在研究曲线变化规律上的一个应用，它充分体现了数形结合的思想1函数的单调区间是定义域的子集，利用导数求函数的单调区间，容易忽视求定义域而导致单调区间写错2含参数的函数求单调区间要注意分类讨论思想的应用1函数yx3x的递增区间是()A(0，)B(，1)C(，) D(1，)解析：选C.y3x210对于任何实数都恒成立2在区间(a，b)内，f(x)0，且f(a)0，则在区间(a，b)内有()Af(x)0 Bf(x)0，知f(x)在区间(a，b)内是增函数又f(a)0，故f(x)0.3如图所示的是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则在2，5上函数f(x)的递增区间为_解析：因为在(
8、1，2)和(4，5上f(x)0，所以f(x)在2，5上的单调递增区间为(1，2)和(4，5答案：(1，2)和(4，54函数f(x)xln x的单调递减区间为_解析：f(x)ln x1.令ln x10，所以函数f(x)xln x的单调递减区间为.答案： A基础达标1函数f(x)(a21)xb在R上()A单调递增B单调递减C有增有减 D单调性与a、b有关解析：选A.f(x)a210，所以f(x)在R上单调递增2若函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能为()解析：选C.观察题图可知：当x0，则f(x)单调递增；当0x1时，f(x)0，得x.令y0，得x.所以函数yxl
9、n x在上单调递减，在上单调递增5若函数f(x)x3ax2x6在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba1Ca1 D0a1解析：选A.因为f(x)3x22ax1，又f(x)在(0，1)内单调递减，所以不等式3x22ax10在(0，1)内恒成立，所以f(0)0，且f(1)0，所以a1.6函数f(x)(x2x1)ex(xR)的单调减区间为_解析：f(x)(2x1)ex(x2x1)exex(x23x2)ex(x1)(x2)，令f(x)0，解得2x0，可得x；令f(x)0，可得3x1时，f(x)0得解得0x.故f(x)的单调递增区间是.(2)证明：令F(x)f(x)(x1)，x(0，
10、)则F(x).当x(1，)时，F(x)1时，F(x)1时，f(x)x1.B能力提升11已知函数f(x)ln 2，则()Af()f()Bf()f()Df()，f()的大小关系无法确定解析：选C.f(x)，当x1时，f(x)0，函数f(x)单调递减因为f()故选C.12已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，)上有f(x)0，若f(1)0，则关于x的不等式xf(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(1)f(1)0，且f(x)在(，0)上单调递减，f(x)的草图如图所示，所以xf(x)0的解集为(，1)(0，1)答案：(，1)(0，1)13若函数f(x)x3ax2(
11、a1)x1在区间(1，4)内单调递减，在(6，)上单调递增，试求a的范围解：法一：如图所示，f(x)(x1)x(a1)若在(1，4)内f(x)0，在(6，)内f(x)0，且f(x)0有一根为1，则另一根在4，6上所以即所以5a7.即a的取值范围为5，7法二：f(x)x2axa1，因为f(x)在(1，4)内单调递减，所以f(x)0在(1，4)上恒成立，即a(x1)x21在(1，4)上恒成立所以ax1.因为2x17，所以a7时，f(x)0在(6，)上恒成立综上知a的取值范围为5，714(选做题)设函数f(x)xekx(k0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(1，1)内单调递增，求k的取值范围解：(1)由f(x)(1kx)ekx0，得x(k0)若k0，则当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增若k0，函数f(x)单调递增；当x时，f(x)0，则当且仅当1，即0k1时，函数f(x)在(1，1)内单调递增；若k0，则当且仅当1，即1k0时，函数f(x)在(1，1)内单调递增综上可知，函数f(x)在区间(1，1)内单调递增时，k的取值范围是1，0)(0，1高考资源网版权所有，侵权必究！