1、江苏省启东市2021届高三数学上学期期中试题(考试时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 已知集合，若，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为（ ）A B C D2 “”是“”的（ ）条件A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要3函数的单调减区间是（ ）A B C D4 九章算术中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马设是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A8 B16 C24 D285 设是等比数列的
2、前项和，已知，则（ ）A512 B8 C2 D16若实数a，b，c满足，则（ ）A B C D7 已知角的终边经过点，则（ ）A B C D8 设是定义在R上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A B C D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9 对于任意向量a，b，c，下列命题正确的是（ ）A若ab，bc，则ac B若abbc，则acC若ab，bc，则ac D若|ab|ab|，则ab010设正实数满足，则下列说法正确的是（ ）A的最小值为4 B的最大
3、值为C的最小值为 D的最小值为11北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ）A函数的最小正周期为 B函数的图象关于点对称C对任意xR，都有 D函数的最小值为312已知正方体的棱长为4，点M，N分别是棱A1D1，CD的中点，点P在四边形ABCD内，点Q在线段BN上，若，则（ ）A点P的轨迹的长度为2 B线段MP的轨迹与平面的交线为圆弧CPQ
4、长度的最小值为 DPQ长度的最大值为22三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。13已知函数，则 14在我国古代数学名著九章算术中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，则这个“堑堵”的外接球的表面积为 15已知圆内接四边形ABCD中，则 16已知函数f(x)(x2x)(x2mxn)的图象关于直线x2对称，则mn ；f(x)的最小值为 （本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(本小题满分10分) 在；这三个条件中任选
5、一个，回答下列问题，已知等差数列满足 （如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和，以及使得取得最大值时的值18(本小题满分12分)DBAC(第18题)如图，在ABC中，CDAB于D，且（1）若，求角A的大小；（2）若，求的值19(本小题满分12分)如图，在正三棱柱中，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点.（1）证明：EF平面ABC；（2）求直线C1B与平面BDE所成角的正弦值.BB1C1DFEA1CA(第19题)20(本小题满分12分)如图所示的某种容器的体积为18 dm3，它是由半球和圆柱两部分连接而成，半球的半径与圆柱的底面半径都为
6、r dm，圆柱的高为h dm已知顶部半球面的造价为，圆柱的侧面造价为，圆柱底面的造价为（1）将圆柱的高h表示为底面半径r的函数，并求出定义域；(第20题)（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r为多少？21(本小题满分12分)已知函数的图象在处的切线方程为xy30（1）求和的值；（2）对，成立，求实数的取值范围22(本小题满分12分)已知函数，其中是自然对数的底数（1）求的最值；（2）设函数有且只有2个不同的零点，求实数的取值范围20202021学年第一学期期中考试高三数学试题及评分建议(考试时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四
7、个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 已知集合，若，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为（ ）A B C D【答案】D2 “”是“”的（ ）条件A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要【答案】B3函数的单调减区间是（ ）A B C D【答案】A4 九章算术中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马设是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A8 B16 C24 D28【答案】C5 设是等比数列的前项和，已知，则（ ）A512 B8 C2 D1【答案】B6若实数a，b，c满足，则（ ）A B C D【答案】
8、D7 已知角的终边经过点，则（ ）A B C D【答案】A8 设是定义在R上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A BC D【答案】C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9 对于任意向量a，b，c，下列命题正确的是（ ）A若ab，bc，则ac B若abbc，则acC若ab，bc，则ac D若|ab|ab|，则ab0【答案】CD10设正实数满足，则下列说法正确的是（ ）A的最小值为4 B的最大值为C的最小值为 D的最小值为【答案】ABD11北斗卫星导航系
9、统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ）A函数的最小正周期为 B函数的图象关于点对称C对任意xR，都有 D函数的最小值为3【答案】BCD12已知正方体的棱长为4，点M，N分别是棱A1D1，CD的中点，点P在四边形ABCD内，点Q在线段BN上，若，则（ ）A点P的轨迹的长度为2 B线段MP的轨迹与平面的交线为圆弧CPQ长度的最小值为 DPQ长度的最大值
10、为22【答案】AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。13已知函数，则 【答案】14在我国古代数学名著九章算术中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，则这个“堑堵”的外接球的表面积为 【答案】915已知圆内接四边形ABCD中，则 【答案】16已知函数f(x)(x2x)(x2mxn)的图象关于直线x2对称，则mn ；f(x)的最小值为 （本题第一空2分，第二空3分）【答案】5；四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(本小题满分10分) 在；
11、这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列满足 （如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和，以及使得取得最大值时的值【解】（1）选条件因为数列是等差数列，设公差为，得，3分所以5分选条件因为数列是等差数列，设公差为，由得，得，3分以下同.选条件因为数列是等差数列，设首项为，公差为，由得，解得，3分以下同（2）由（1）知=，7分当时，当时，所以当时，最大10分18(本小题满分12分)如图，在ABC中，CDAB于D，且（1）若，求角A的大小；（2）若，求的值DBAC【解】（1）设，则，因为,又因为，所以，3分即，所以，因为，所以，所以.6分（2
12、）因为，所以，8分又因为，所以，所以，10分又因为，所以12分19(本小题满分12分)如图，在正三棱柱中，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点.（1）证明：EF平面ABC；（2）求直线C1B与平面BDE所成角的正弦值.BB1C1DFEA1CAGDFECBA【解】（1）如图，取的中点G，连结，在BCC1中，因为F为的中点，所以2分在三棱柱中，且E为的中点，所以.所以四边形是平行四边形.所以.4分因为平面，平面，所以平面6分（2）以D为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，因为所以zyxDFECBA所以所以，8分设平面的的一个法向量为，则，即取，则，所以，10分所以，直线与平面所成角为，
13、则与或它的补角互余，所以.12分20(本小题满分12分)如图所示的某种容器的体积为18 dm3，它是由半球和圆柱两部分连接而成，半球的半径与圆柱的底面半径都为r dm，圆柱的高为h dm已知顶部半球面的造价为，圆柱的侧面造价为，圆柱底面的造价为（1）将圆柱的高h表示为底面半径r的函数，并求出定义域；（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r为多少？【解】（1）因为半球的半径与圆柱底面半径都为，所以半球体积为圆柱的体积为2分因为所以所以.4分因为所以.因此.所以，定义域为6分（2）半球的表面积，圆柱的侧面积，圆柱底面积为容器总造价为8分令，则，令，得，当时，在上为单调减函数；当时，在上为单调增函数
14、10分因此，当且仅当时，有最小值27，有最小值元.所以，总造价最低时，圆柱的底面半径为12分21(本小题满分12分)已知函数的图象在处的切线方程为xy30（1）求和的值；（2）对，成立，求实数的取值范围【解】（1）因为，所以，由函数的图象在处的切线方程为xy30，知，得.3分（2）因为对，成立，所以恒成立，令则，5分设，则，从而，7分因为，所以，因为的图象在上是不间断的，所以$，满足，9分当时， 单调递增；当时，单调递减从而在时取得最大值，所以的取值范围为12分法二：因为对，成立，所以恒成立，即恒成立，5分记，则，当时，单调递增；当时，单调递减从而在时取得最大值，9分记，则，所以，因为的图象在
15、上是不间断的，所以$，满足，即$，使成立所以有最大值3，从而12分22(本小题满分12分)已知函数，其中是自然对数的底数（1）求的最值；（2）设函数有且只有2个不同的零点，求实数的取值范围【解】（1）因为，令，即，所以，列表如下：x1极小值2分所以在递减，在递增，所以当时，有最小值，无最大值. 4分（2），注意到，则，当时，单调递增，不合题意；5分当时，设，则在上恒成立，所以在上单调递增因为，又注意到，所以，从而，所以，根据零点存在性定理知，存在，使得，7分当时，递减；当时，递增注意到，当时，只有一个零点，这时，即；8分当时，则，又因为在递减，递增，所以，又因为，所以，因为，因为，所以，所以在上有一个零点，另一个零点为1，所以当时，有两个零点. 10分当时，所以存在使得，又因为在递增，注意到，所以，又因为，而，可知所以在上有一个零点，另一个零点为1，所以当时，有两个零点综上可知，实数k的取值范围是12分
