1、专题二十三 正弦定理和余弦定理【高频考点解读】 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题【热点题型】题型一 利用正、余弦定理解三角形例1、(1)(2013年高考天津卷)在ABC中，ABC，AB，BC3，则sinBAC()A.B.C. D.(2)(2013年高考福建卷)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_【提分秘籍】利用正、余弦定理解三角形的关键是合理地选择正弦或余弦定理进行边角互化，解题过程中注意隐含条件的挖掘以确定解的个数【举一反三】在ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足asinc.(1)求角A的大
2、小；(2)若ABC为锐角三角形，求sin Bsin C的取值范围 【热点题型】题型二 三角形形状的判断例2、(2013年高考陕西卷)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形 D不确定【提分秘籍】 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时
3、要注意应用ABC这个结论 注意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解【举一反三】在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且b2c2a2bc.(1)求角A的大小；(2)若sin Bsin Csin2A，试判断ABC的形状【热点题型】题型三 三角形的面积问题例3、(2013年高考湖北卷)在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S5，b5，求sin Bsin C的值【提分秘籍】三角形的面积求法最常用的是利用公式Sabsin CacsinBbcsin A去求计算时注
4、意整体运算及正、余弦定理的应用【举一反三】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2ccos2b.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若B60，b4，求ABC的面积【热点题型】题型四 解三角形 例4、(2013年高考四川卷)(本题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC).(1)求cos A的值；(2)若a4，b5，求向量在方向上的投影 (2)由cos A，0A，得sin A，7分由正弦定理，有，所以，sin B.8分【提分秘籍】 正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正
5、弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题、多以解答题形式出现【高考风向标】1（2014湖北卷）某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10costsint，t0，24)(1)求实验室这一天的最大温差(2)若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？ 故在10时至18时实验室需要降温2（2014江西卷）已知函数f(x)sin(x)acos(x2)，其中aR，.(1)当a，时，求f(x)在区间0，上的最大值与最小值；(2)若f0，f()1，求a，的值 3（2014四川卷）已知函数f
6、(x)sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若是第二象限角，fcoscos 2，求cos sin 的值 (2)由已知，得sincos(cos2sin2)，所以sin coscos sin(cos2 sin2 )， 4（2013北京卷）在ABC中，a3，b2 ，B2A.(1)求cos A的值；(2)求c的值 5（2013全国卷）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(abc)(abc)ac.(1)求B；(2)若sin Asin C，求C.【解析】(1)因为(abc)(abc)ac，所以a2c2b2ac.由余弦定理得cos B，因此B120. 6（2013浙江卷）已知R，sin
7、2cos ，则tan 2()A. B. C D 7（2013重庆卷）4cos 50tan 40()A. B.C. D2 1【随堂巩固】 1在ABC中，A，B，C为内角，且sin Acos Asin Bcos B，则ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 2在斜三角形ABC中，sin Acos Bcos C，且tan Btan C1，则角A的值为()A. B.C. D. 3在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin Bb，则角A等于()A. B.C. D. 4在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c且acos C，bcos B，ccos A
8、成等差数列，则B的值为()A. B. C. D. 5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac3，且a3bsin A，则ABC的面积等于()A. B.C1 D. 6在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sin A，sin B，sin C成等比数列，且c2a，则cos B的值为()A. B.C. D. 7ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2c22b，且sin B6cos Asin C，则b的值为_ 8在锐角ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且a2csin A.(1)求角C的度数；(2)若c，且ABC的面积为，求ab的值 9已知函数f(x)2sin xcos x2cos2x，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在锐角ABC中，若f(A)1，求ABC的面积 10在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C(cos Asin A)cos B0.(1)求角B的大小；(2)若ac1，求b的取值范围 11已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，2bcos C2ac，(1)求B；(2)若ABC的面积为，求b的取值范围 12在ABC中，角A，B，C的对边分别是a， b，c，已知向量m(cos A，cos B)，n(a,2cb)，且mn.(1)求角A的大小；(2)若a4，求ABC面积的最大值