1、专题十五 导数与函数的最值及在实际生活中的应用【高频考点解读】1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)2.会利用导数解决某些实际问题【热点题型】题型一 函数的最值与导数例1、已知aR，函数f(x)ln x1.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求f(x)在区间(0，e上的最小值 【提分秘籍】 1.极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值2. 求给定区间上的函数的最值关键是判断函数在此区间上的单调性，但要注意极值点不一定是最值点，还要
2、与端点值比较，对于含参数的函数最值，要注意分类讨论【举一反三】已知函数f(x)ax3ln x，其中a为常数(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围； 【热点题型】题型二 生活中的优化问题例2、某商场根据调查，估计家电商品从年初(1月)开始的x个月内累计的需求量p(x)(单位：百件)满足p(x)(39x2x241)(1x12且xN*)(1)求第x个月的需求量f(x)的表达式；(2)若第x个月的销售量满足g(x) (单位：百件)，每件利润q(x)100ex6元，求该商场销售该商品，第几个
3、月的月利润达到最大值，最大是多少？(e6取值为403)【提分秘籍】 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)，根据实际意义确定定义域；(2)求函数yf(x)的导数f(x)，解方程f(x)0得出定义域内的实根，确定极值点；(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；(4)还原到原实际问题中作答【举一反三】某玩具厂生产一种儿童智力玩具，每个玩具的材料成本为20元，加工费为t元(t为常数，且2t5)，出厂价为x元(25x40)根据市场调查知，日销售量q(单位：个)与ex成反比
4、，且当每个玩具的出厂价为30元时，日销售量为100个(1)求该玩具厂的日利润y元与每个玩具的出厂价x元之间的函数关系式；(2)若t5，则每个玩具的出厂价x为多少元时，该工厂的日利润y最大？并求最大值解析：(1)设日销量q(k0)，则100，k100e30，日销量q，y(25x40)【热点题型】题型三 不等式的证明问题例3、已知函数f(x)ln xmx2(mR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若m0，A(a，f(a)、B(b，f(b)是函数f(x)图象上不同的两点，且ab0，f(x)为f(x)的导函数，求 证：ff(b)； (2)易知原不等式等价于，要证，只需证ln1，即证ln tt10，
5、令g(t)ln tt1，则g(t)10，因此g(t)g(1)0，得证【提分秘籍】 1要证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义，可知对任意的x(a，b)，有F(x)0，即证明了f(x)0)(1)当x0时，求证：f(x)1a；(2)在区间(1，e)上f(x)x恒成立，求实数a的范围；(3)当a时，求证：f(2)f(3)f(n1)2(n1)(nN*) 【热点题型】题型四 由不等式恒成立求参数范围例4、设函数f(x)ln xax2bx.(1)当ab时，求函数f(x)的最大值；(2)令F
6、(x)f(x)ax2bx(00，若对任意的x10，)总存在x20，使得g(x1)f(x2)成立，求m的取值范围 【提分秘籍】 1对于任意x1D1存在x2D2使得g(x1)f(x2)成立其解决方法是：(1)求出g(x)在D1的最大值(2)求出f(x)在D2的最小值(3)转化g(x)大f(x)小，求出参数范围2若存在成立的不等式中参数可得如MF(x)，则只需求出F(x)的最小值可解决问题【举一反三】已知函数f(x)xln x，g(x)x3x2x1.(1)如果存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M，求满足该不等式的最大整数M；(2)如果对任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取
7、值范围 【高考风向标】1（2014四川卷）已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0，1上的最小值；(2)若f(1)0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围【解析】解：(1)由f(x)exax2bx1，得g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a. 因此x1(0，ln(2a)，x2(ln(2a)，1)，必有g(0)1b0，g(1)e2ab0.由f(1)0得abe10，g(1)1a0，解得e2a0，所以x10，当a4时，x21.由(1)知，f(x)在0，1上单调递增，所以
8、f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值当0a4时，x21.由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2，1上单调递减，所以f(x)在xx2处取得最大值又f(0)1，f(1)a，所以当0a1时，f(x)在x1处取得最小值；当a1时，f(x)在x0和x1处同时取得最小值；当1a4时，f(x)在x0处取得最小值3（2014北京卷）已知函数f(x)xcos xsin x，x.(1)求证：f(x)0；(2)若ag(0)0.进一步，“g(x)0对任意x恒成立”当且仅当g1c0，即00对任意x恒成立；当且仅当c1时，g(x)0对任意x恒成立所以，若a0时，x2ex；(3)证明：对任意给定的正数c，
9、总存在x0，使得当x(x0，)时，恒有x20，即0xe时，函数f(x)单调递增；当f(x)e时，函数f(x)单调递减故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，) 即这6个数从小到大的顺序为3e，e3，e，e，3，3.6（2014湖南卷）已知常数a0，函数f(x)ln(1ax).(1)讨论f(x)在区间(0，)上的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且f(x1)f(x2)0，求a的取值范围 令2a1x.由0a1且a知，当0a时，1x0；当a1时，0x1.记g(x)ln x22. 7（2014江西卷）已知函数f(x)(x2bxb)(bR)(1)当b4时，求f(x)
10、的极值；(2)若f(x)在区间上单调递增，求b的取值范围 8（2014辽宁卷）当x2，1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A5，3 B. C6，2 D4，3【答案】C【解析】当2x0时，不等式转化为a，令f(x)(2x0)，则f(x)，故f(x)在2，1上单调递减，在(1，0)上单调递增，此时有a2.当x0时，g(x)恒成立当0x1时，a，令个g(x)(01)(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a11，an1ln(an1)，证明：ln，ak1ln(ak1)ln，即当nk1时，有 0，则a的取值范围是()A(2，) B(1，)C(，2) D(，1) 11（2014新课标
11、全国卷）设函数f(x)aexln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)1. 12（2014新课标全国卷）已知函数f(x)exex2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)f(2x)4bf(x)，当x0时，g(x)0，求b的最大值；(3)已知1.414 21.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001) 13（2014山东卷）设函数f(x)k(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)(1)当k0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k的取值范围 当且仅当解得ek，l
12、n 3ln 2，ln(n1)ln n，上述各式相加可得ln(n1)，结论得证结论得证15（2014天津卷）设f(x)xaex(aR)，xR.已知函数yf(x)有两个零点x1，x2，且x10；存在s1(，ln a)，满足f(s1)0；存在s2(ln a，)，满足f(s2)0，即ln a10，解得0ae1.而此时，取s10，满足s1(，ln a)，且f(s1)a0；取s2ln，满足s2(ln a，)，且f(s2)0.故a的取值范围是(0，e1) 16（2014浙江卷）已知函数f(x)x33|xa|(aR)(1)若f(x)在1，1上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)m(a)；(2
13、)设bR，若f(x)b24对x1，1恒成立，求3ab的取值范围 所以由(1)知，(i)当a1时，h(x)在(1，1)上是增函数，h(x)在1，1上的最大值是h(1)43ab，最小值是h(1)43ab，则43ab2且43ab2，矛盾 17（2014重庆卷）已知函数f(x)ae2xbe2xcx(a，b，cR)的导函数f(x)为偶函数，且曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为4c.(1)确定a，b的值；(2)若c3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围 当x1xx2时，f(x)x2时，f(x)0.从而f(x)在xx2处取得极小值综上，若f(x)有极值，则c的取值范围
14、为(4，)18（2013安徽卷）设函数fn(x)1x(xR，nN*)证明：(1)对每个nN*，存在唯一的xn，1，满足fn(xn)0；(2)对任意pN*，由(1)中xn构成的数列xn满足0xnxnp0，区间Ix|f(x)0(1)求I的长度(注：区间(，)的长度定义为)；(2)给定常数k(0，1)，当1ka1k时，求I长度的最小值 20（2013安徽卷）若函数f(x)x3ax2bxc有极值点x1，x2，且f(x1)x1，则关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同实根个数是()A3 B4C5 D6 21（2013福建卷）已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在
15、点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值 22（2013湖北卷）设n是正整数，r为正有理数(1)求函数f(x)(1x)r1(r1)x1(x1)的最小值；(2)证明：nr；(3)设xR，记x为不小于x的最小整数，例如22，4，1.令S，求S的值(参数数据：80344.7，81350.5，124618.3，126631.7) 23（2013湖北卷）已知a为常数，函数f(x)x(ln xax)有两个极值点x1，x2(x10，f(x2)Bf(x1)0，f(x2)0，f(x2)Df(x1)【解析】D【解析】f(x)ln x(2ax1)0ln x2ax1，函数yln x与函数y2ax1的
16、图像有两个交点，令y1ln x，y22ax1，在同一坐标系中作出这两个函数的图像，显然a0时，两个函数图像只有一个公共点，故a0，此时当直线的斜率逐渐变大直到直线y2ax1与曲线yln x相切时，两函数图像均有两个不同的公共点，y1，故曲线yln x上的点(x0，ln x0)处的切线方程是yln x0(xx0)，该直线过点(0，1)，则1ln x01，解得x01，故过点(0，1)的曲线yln x的切线斜率是1，故2a1，即a，所以a的取值范围是0，.因为0x110，f(x)递增，f(1)a，f(x1)f(1)af(1)a，选D.24（2013江西卷）已知函数f(x)a，a为常数且a0.(1)证
17、明：函数f(x)的图像关于直线x对称；(2)若x0满足f(f(x0)x0，但f(x0)x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点如果f(x)有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；(3)对于(2)中的x1，x2和a，设x3为函数 f(f(x)的最大值点，A(x1，f(f(x1)，B(x2，f(f(x2)，C(x3，0)记ABC的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性当a时，有f(f(x)所以f(f(x)x有四个解0，又f(0)0，f，f，f，故只有，是f(x)的二阶周期点综上所述，所求a的取值范围为a. 25（2013北京卷）设L为曲线C：y在点(1，0)处的切线(1)求L的方程；(2)证
18、明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方【解析】解：(1)设f(x)，则f(x).所以f(1)1.所以L的方程为yx1.(2)令g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)0(x0，x1)g(x)满足g(1)0，且 26（2013辽宁卷）已知函数f(x)(1x)e2x，g(x)ax12xcos x当x0，1时，(1)求证：1xf(x)；(2)若f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围 从而当x(0，1)时，G(x)G(0)0，故G(x)在0，1上是减函数于是G(x)G(0)2.从而a1G(x)a3，所以，当a3时，f(x)g(x)在0，1上恒成立下面证明，当a
19、3时，f(x)g(x)在0，1上不恒成立f(x)g(x)1ax2xcos xax2xcos xx.记I(x)a2cos xaG(x)，则I(x)G(x)当x(0，1)时，I(x)0.故I(x)在0，1上是减函数，于是I(x)在0，1上的值域为a12cos 1，a3因为当a3时，a30，所以存在x0(0，1)，使得I(x0)0，此时f(x0)g(x0)，即f(x)g(x)在0，1上不恒成立综上，实数a的取值范围是(，3 下面证明，当a3时，f(x)g(x)在0，1上不恒成立因为 27（2013辽宁卷）设函数f(x)满足x2f(x)2xf(x)，f(2)，则x0时，f(x)()A有极大值，无极小值
20、B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值 28（2013全国卷）已知函数f(x)ln(1x).(1)若x0时f(x)0，求的最小值；(2)设数列an的通项an1，证明：a2nanln 2. 29（2013全国卷）若函数f(x)x2ax在是增函数，则a的取值范围是()A1，0 B1，)C0，3 D3，) 30（2013山东卷）设函数f(x)c(e2.718 28是自然对数的底数，cR)(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x的方程|ln x|f(x)根的个数 综上所述，当ce2时，关于x的方程|lnx|f(x)根的个数为2.31（2013陕西卷）已知函数f(x
21、)ex，xR.(1)若直线ykx1与f(x)的反函数的图像相切，求实数k的值；(2)设x0，讨论曲线yf(x)与曲线ymx2(m0)公共点的个数；(3)设a0时，若0m，曲线yf(x)与ymx2有两个公共点当x0时，u(x)u(0)0.令xba，则得(ba)eba(ba)2eba20，0，因此，.32（2013四川卷 已知函数f(x)其中a是实数设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)为该函数图像上的两点，且x1x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f (x)的图像在点A，B处的切线互相垂直，且x22x11，故g(x)0.综上，g(x)在x0，1上恒大于0，所以g(x)在0，
22、1上为增函数，值域为1，e，从而a的取值范围是1，e34（2013四川卷）函数y的图像大致是()图15 35（2013天津卷）已知函数f(x)x2ln x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)证明：对任意的t0，存在唯一的s，使tf(s)；(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为sg(t)证明：当te2时，有. (2)证明：当00，令h(x)f(x)t，x1，)由(1)知，h(x)在区间(1，)内单调递增h(1)t0.故存在唯一的s(1，)，使得tf(s)成立 36（2013天津卷）已知函数f(x)x(1a|x|)，设关于x的不等式f(xa)f(x)的解集为A，若，A，则实数a的取值范围是(
23、)A.，0B.，0C.，00，D，在x0时，f(x)ax2x，f(xa)a(xa)2xa，令f(x)f(xa)，则x，令，可得a2a10，故aa0，则函数g(x)f(x)f(x)的定义域为()Aa，b Bb，aCb，b Da，a 4过点(0，1)且与曲线y在点(3，2)处的切线垂直的直线的方程为()A2xy10 B2xy10Cx2y20 Dx2y20 5设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是()A(0，1) B(1，)C(，0) D(0，)【答案】A【解析】 依题意得，g(x)x2f(x1)所以g(x)的递减区间为(0，1)故选A.6定义域为R的函数f(x)满足f(1
24、)1，且f(x)的导函数f(x)，则满足2f(x)x1的x的集合为()Ax|1x1 Bx|x1Cx|x1 Dx|x1 7设f(x)x(ax2bxc)(a0)在x1和x1处有极值，则下列点中一定在x轴上的是()A(a，b) B(a，c)C(b，c) D(ab，c) 8设曲线yxn1(nN*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点横坐标为xn，则log2 012x1log2 012x2log2 012x2011的值为()Alog2 0122 011 B1 C1log2 0122 011 D1 9函数f(x)x3ax(xR)在x1处有极值，则曲线yf(x)在原点处的切线方程是_【答案】3xy0【解析】
25、因为函数f(x)x3ax(xR)在x1处有极值，则f(1)312a0，a3，所求切线的斜率为ka3，因此所求切线方程为y3x.10曲线yx(3lnx1)在点(1，1)处的切线方程为_【答案】y4x3【解析】 y3lnx1x3lnx4，故y|x14.故所求切线方程为y14(x1)，即4xy30.11设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0，讨论f(x)的单调性；(2)设a1，证明：对任意x1，x20，1，都有|f(x1)f(x2)|2. (2)证明：因为a1，由(1)，f(x)ex(x2)(x1)，所以f(x)在0，1上单调递增，故f(x)在0，1的最大值为f(1)e，最小值为f(0)1.从而对任意x1，x20，1，有|f(x1)f(x2)|e11时，判断方程f(x)0实根的个数
