1、课时活页作业（四十八）基础训练组1已知抛物线 C 与双曲线 x2y21 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C 的方程是()Ay22 2x By22xCy24xDy24 2x解析 因为双曲线的焦点为(2，0)，(2，0)设抛物线方程为 y22px(p0)，则p2 2，所以 p2 2，所以抛物线方程为 y24 2x.答案 D2(2015高考陕西卷)已知抛物线 y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A(1,0)B(1,0)C(0，1)D(0,1)解析 由于抛物线 y22px(p0)的准线方程为 xp2，由题意得p21，p2，焦点坐标为(1,0)，故选 B.答案 B3已
2、知等边ABF 的顶点 F 是抛物线 C：y22px(p0)的焦点，顶点 B 在抛物线的准线l 上，且 ABl，则顶点 A()A在 C 内部B在 C 上C在 C 外部D与 p 值无关解析 设 Bp2，m，由题意得 AB 中点的横坐标为p2，则 A3p2，m，等边ABF 的边长是 2p，则|AF|32pp22m22p，p2m24p2，m 3p.A32p，3p，顶点 A 在抛物线上，故选 B.答案 B4已知抛物线 C：y24x，顶点为 O，动直线 l：yk(x1)与抛物线 C 交于 A，B 两点，则OA OB 的值为()A5 B5 C4 D4解析 设 Ay214，y1，By224，y2，由已知得直线
3、 l 过定点 E(1,0)，因为 E，A，B 三点共线，所以EAEB，则y2141 y2y2241 y1，即y1y24(y1y2)y1y2，因为 y1y2，所以 y1y24，所以OA OB y1y2216 y1y25.答案 A5(2016长春第二次调研)已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线 y24x上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是()A.3 55 B2 C.115 D3解析 由题可知 l2：x1 是抛物线 y24x 的准线，设抛物线的焦点(1,0)为 F，则动点P 到 l2 的距离等于|PF|，则动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和
4、的最小值即为焦点 F 到直线 l1：4x3y60 的距离，所以最小值是|406|52.答案 B6(2016厦门质检)已知点 P 在抛物线 y24x 上，且点 P 到 y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点 P 到 x 轴的距离为_解析 设点 P 的坐标为(xp，yp)，抛物线 y24x 的准线方程为 x1，根据抛物线的定义，点 P 到焦点的距离等于点 P 到准线的距离，故xpxp112，解得 xp1，y2p4，|yp|2.答案 27已知抛物线形拱桥的顶点距离水面 2 米时，测量水面宽为 8 米，当水面上升12米后，水面的宽度是_米解析 建立平面直角坐标系如图，设开始时水面与抛物线的一个交
5、点为 A，由题意可知 A(4，2)，故可求得抛物线的方程为 y18x2，水面上升后交点为 B，则点 B 的纵坐标为32，代入抛物线方程 y18x2 可求出点 B 的横坐标为 2 3，所以水面宽为 4 3米答案 4 38已知过点 P(4,0)的直线与抛物线 y24x 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 y21y22的最小值是_解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为 x4，代入 y24x，得交点为(4,4)，(4，4)，y21y22161632；当直线的斜率存在时，设直线方程为 yk(x4)，与 y24x 联立，消去 x 得 ky24y16k0，由题意，知 k0，则 y1y24k，
6、y1y216.y21y22(y1y2)22y1y216k23232.综上知，(y21y22)min32.答案 329抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，它与圆 x2y29 相交，公共弦 MN 的长为 2 5，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程解析 由题意，抛物线方程为 x22ay(a0)设公共弦 MN 交 y 轴于 A，则 MAAN，而 AN 5.ON3，OA32 522，N(5，2)N 点在抛物线上，52a(2)，即 2a52，故抛物线的方程为 x252y 或 x252y.抛物线 x252y 的焦点坐标为0，58，准线方程为 y58.10已知抛物线 y22px(p0)的焦点为
7、F，A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于 5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B，OB 的中点为 M.(1)求抛物线的方程；(2)若过 M 作 MNFA，垂足为 N，求点 N 的坐标解析(1)抛物线 y22px 的准线为 xp2，于是 4p25，p2，抛物线方程为 y24x.(2)点 A 的坐标是(4,4)，由题意得 B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，kFA43.MNFA，kMN34.又 FA 的方程为 y43(x1)，故 MN 的方程为 y234x，解方程组得 x85，y45，N的坐标为85，45.能力提升组11如图，过抛物线 y2
8、2px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29xBy26xCy23xDy2 3x解析 如图，分别过 A，B 作 AA1l 于点 A1，BB1l 于点 B1，由抛物线的定义知：|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130，AFx60，连接 A1F，则AA1F 为等边三角形，过点 F 作 FF1AA1 于点 F1，则F1 为 AA1 的中点，设 l 交 x 轴于点 K，则|KF|A1F1|12|AA1|12|AF|，即p32，抛物线方程为 y23x，故选
9、C.答案 C12(2016南昌二模)抛物线 C：x28y 与直线 y2x2 相交于 A，B 两点，点 P 是抛物线 C 上不同于 A，B 的一点，若直线 PA，PB 分别与直线 y2 相交于点 Q，R，O 为坐标原点，则OR OQ 的值是()A20 B16C12 D与点 P 位置有关的一个实数解析 设点 Px0，x208，Ax1，x218，Bx2，x228，Q(a,2)，R(b,2)由x28y，y2x2 得 x216x160，x1x216.由 P，A，Q 共线得2x218ax1x208x218x0 x1x0 x18，ax0 x116x0 x1 x0 x1x1x2x0 x1 x1x0 x2x0
10、x1，同理 bx2x0 x1x0 x2，abx1x0 x2x0 x1 x2x0 x1x0 x2 x1x216，OP OQ ab420，故选 A.答案 A13(2014高考湖南卷)如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a，b(a0)经过 C，F 两点，则ba_.解析 由正方形的定义可知 BCCD，结合抛物线的定义得点 D 为抛物线的焦点，所以|AD|pa，D(p2，0)，F(p2b，b)，将点 F 的坐标代入抛物线的方程得 b22p(p2b)a22ab，变形得(ba)22ba 10，解得ba12或ba1 2(舍去)，所以ba1 2.答案 1 214(2016绵阳诊断)已知 A
11、 是抛物线 y24x 上一点，F 是抛物线的焦点，直线 FA 交抛物线的准线于点 B(点 B 在 x 轴上方)，若|AB|2|AF|，则点 A 的坐标为_解析 依题意，若点 A 位于 x 轴上方，过点 A 作抛物线的准线的垂线，垂足记为 A1，则有|AB|2|AF|2|AA1|，BAA160，直线 AF 的倾斜角为 120.又点 F(1,0)，因此直线 AF 的方程为 y 3(x1)由y 3x1，y24xy0，得x13，y2 33.此时点 A 的坐标是13，2 33.若点 A 位于 x 轴下方，则此时点 F(1,0)是线段 AB 的中点，又点 B 的横坐标是1，故点 A 的横坐标是 21(1)
12、3，相应的纵坐标是 y432 3，点 A 的坐标是()3，2 3.综上所述，点 A 的坐标是()3，2 3 或13，2 33.答案()3，2 3 或13，2 3315(2015高考福建卷)已知点 F 为抛物线 Ey22px(p0)的焦点，点 A(2，m)在抛物线 E 上，且|AF|3.()求抛物线 E 的方程；()已知点 G(1,0)，延长 AF 交抛物线 E 于点 B，证明：以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆，必与直线 GB 相切解()由抛物线的定义得|AF|2p2.因为|AF|3,即 2p23，解得 p2，所以抛物线 E 的方程为 y24x.()因为点 A(2，m)在抛物线 Ey24x 上，所以 m2 2，由抛物线的对称性，不妨设 A(2,2 2)所以 A(2,2 2)，F(1,0)，可得直线 AF的方程 y2 2(x1)由y2 2x1，y24x，得 2x25x20，解得 x2 或 x12，从而 B12，2.又 G(1,0)所以 kGA 2 20212 23，kGB 201212 23，所以 kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点 F 到直线 GA，GB 的距离相等，故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆与直线GB 相切