1、2024年5月29日星期三用空间向量解决立体几何问题的步骤：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD解：如图1，设BADADAAAB，116011DAABAA化为向量问题依据向量的加法法则
2、，11AAADABAC进行向量运算2121)(AAADABAC)(2112122AAADAAABADABAAADAB)60cos60cos60(cos21116所以6|1 AC回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。1AC6思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD11BBBCBABD6012011BCBABBABC，其中分析:分析:1111DAABAABADxAAADABaAC，设11AAADABAC则由)(2112122
3、21AAADAAABADABAAADABAC)cos3(23222xxa即axcos631 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？设AB=1（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH分析：面面距离点面距离.11HACHAA于点平面点作过解：.1的距离为所求相对两个面之间则HA111AAADABBADADAABA且由.上在 ACH3360cos211)(22ACBCABAC.160cos60cos)(1111BCAAABAABCABAAACAA31|cos111ACAAACAAACA36sin1ACA36si
4、n111ACAAAHA 所求的距离是。36问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？向量法求点到平面的距离：PAn如图，已知点P（x0,y0,z0）,在平面内任意取一点A（x1,y1,z1），一个法向量 ncosAPnAPnAP,n其中,APcosAPnn AP cosP的绝对值就是点 到平面 的距离。|AP|ndn也就是AP在法向量n上的投影的绝对值 已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。DABCGFExyz:,CD CB CGxyz分析 以的方向为 轴轴轴的正方向建立空间坐标系,则(0,2,0),(0,4,0)
5、,(4,4,0),(4,0,0),(2,4,0),(4,2,0).(2,2,0),(2,4,2),B(2,0,0)GBADEFEFEGE(,1),:EFGnx y设平面的法向量为则有DABCGFExyz2-20-2-4201 1(,1)3 3nEF nEGxyxyn，|BE|2 1111ndn:,|AOO eAdAO e评注若平面 的斜线交 于点是单位法向量,则 到平面 的距离为 甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为,AB的长为 求库底与水坝所成二面角的余弦值。labcd解：如图，.dABcCDbBDaA
6、C，化为向量问题根据向量的加法法则DBCDACAB进行向量运算222)(DBCDACABd)(2222DBCDDBACCDACBDCDABDBACbca2222DBCAbca2222于是，得22222dcbaDBCA设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。CADB 因此.cos22222dcbaabABCD所以.2cos2222abdcba回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222abdcba123123500,60200.kgF F FFFFkg 如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是，且这块钢板在这些力的
7、作用下将会怎样运动？这三个力最小为多少时，才能提起这块钢板？F1 F2 F3 ACBO500kgF1 F2 F3 ACBO500kgzxy,3 1(0,0,0),(0,1,0),(,0).22AABCxAyAByAByAxyzABC 解：如图，以点 为原点，平面为坐标平面，方向为 轴正方向，为 轴的单位长度建立空间直角坐标系则正三角形的顶点坐标分别为11(,),601cos60(,)(0,1,0),2Fx y zFAB ACx y z设力方向上的单位向量坐标为由于与的夹角均为，利用向量的数量积运算，得131cos 60(,)(,0),222x y z.21,121yx解得12311211212
8、200(,)(,)(,0,)12 23122333200(0,0,6)FFF 它们的合力F1 F2 F3 ACBO500kgzxy32,1222zzyx因此又因为)32,21,121(2001F所以2311212200(,)200(,0,)122333FF类似地所以钢板仍静止不动。由于作用点为大小为的合力方向向上，这说明，作用在钢板上,5006200.,6200Okg 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)求证：PA/平面EDB(2)求证：PB平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDP E
9、 F 1 1(1,0,0),(0,0,1),(0,)2 2APE依题意得ABCDP E F XYZG解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG)021,21(，的坐标为故点是此正方形的中心，所以点是正方形，因为底面GGABCD)21,0,21(),1,0,1(EGPA且EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA 平面所以，/ABCDP E F XYZG)1,1,1(),0,1,1(2PBB）证明：依题意得（1 1(0,),2 2110022DEPB DE又故DEPB 所以,EDEEFPBEF且由已知E
10、FDPB平面所以ABCDP E F XYZG的平面角。是二面角故）可知由（）解：已知（DPBCEFDDFPBEFPB,2,3)1,(),(zyxPFzyxF则的坐标为设点PBkPF 因为(,1)(1,1,1)(,)x y zkk kk所以kzkykx1,即0PB DF因为(1,1,1)(,1)1310k kkkkkk 所以31k所以)323131(，的坐标为点F)21,21,0(的坐标为又点E)61,61,31(FE所以cos1 111121(,)(,)13 6633361266363FE FDEFDFE FD 因为.60,60的大小为即二面角所以DPBCEFD向量的模用空间向量解决立体几何问题的步骤：面面距离 回归图形点面距离 二面角 平面角 向量的夹角 回归图形课后再做好复习巩固.谢谢！再见！奎屯王新敞新疆2007新疆奎屯特级教师http:/王新敞源头学子小屋