1、课例1： 椭圆及其标准方程教材选择：人教A版选修2-12.2.1椭圆及其标准方程作课：奋飞中学 一、内容和内容解析（一）内容椭圆及其标准方程（二）内容解析解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。本节课是普通高中课程标准实验教科书数学（人民教育出版社，课程教材研究所和中学数学课程教材研究开发中心编著）A版选修2-1第二章第二节椭圆及其标准方程第一课时。在选修2-1第二章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法，然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标
2、准方程”起到了承上启下的重要作用。本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。基于以上分析，确定本节课的教学重点是：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想。二、学生学情分析这节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念以及用坐标法研究几何问题的方法有了一些了解和认识，基本能运用求曲线方程的一般方法求曲线方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线的第一课，具有巩固旧知、熟练方法、拓展新知的承上启下作用，可为研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。三、目标和目标解析（一
3、）目标1.理解椭圆的定义；2.理解椭圆的标准方程的推导，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力；3.掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。（二）目标解析1经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力；通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风；充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识；2.巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程；重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学
4、习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣；通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美；3.对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识。利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心。四、教学问题诊断分析（一）教学的第一个问题可能是椭圆是怎样画出的。教学中通过椭圆与圆的关系，让学生观察与操作，利用平面截圆锥的动态演示及利用细绳画椭圆，建立直观的概念，要鼓励学生大胆操作。问题解决方案：两定点距离、绳长与图形的关系，通过操作完善定义。（二）教学的第二个问题是椭圆标准方程的推导与化简
5、中含有两个根式的等式化简。 问题解决方案：由于用两边同时平方法化简较为繁琐，有些学生完成可能的有困难，老师要及时加以指导。（三）教学的第三个问题可能是焦点在轴椭圆方程的得出。问题解决方案：可以利用类比“化归”的思想，类比焦点在轴的推导过程，发现与互换的特点，从而利用焦点在轴上椭圆的标准方程得到焦点在轴上椭圆的标准方程，避免繁琐、重复的推导过程。基于以上分析，确定本节课的教学难点是：椭圆标准方程的推导与化简。五、教学策略分析本节课的设计力图体现“教师为主导，学生为主体”的教学设想，在教学过程中始终本着“教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者”的原则，让学生通过实验、观察、分析、推理、交流、合作、
6、小结、反思等过程建构新知识，并初步学会从数学角度去观察事物和思考问题，激发学生学习数学的热情和兴趣。六、教学支持条件分析根据本节内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用一个平面截圆锥，圆的画法，椭圆的作图过程，天体的运行轨道等用动态演示，为学生的数学探究与数学思维提供支持。七、教学过程分析（一）创设情境、导入新课师：大家有没有注意到我们课本的封面，请看一下，上面显示了用一个平面截圆锥的情况，(动画演示)，如果用一个垂直于圆锥轴线的平面截圆锥，截口曲线是圆，若改变平面与圆锥轴线的夹角，会得到什么图形呢？两千多年前古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现，当平面
7、与圆锥轴线的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆，双曲线，抛物线，我们通常把圆、椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线。而把圆锥曲线作为课本的封面，足以说明圆锥曲线在本册书乃至整个高中数学的内容中，占重要地位。师：圆我们已经系统研究过了，圆是怎么定义的呢？怎么画一个圆呢？（动态演示）生：圆的定义是：“在平面上与定点的距离等于定长的点的轨迹”。可以固定线段的一端，另一端绕其旋转即可。设计意图：激活学生已有的认知结构，为本科推导椭圆方程提供方法与策略，引出课题。（二）突出认知、建构概念师：那么椭圆怎么画呢？下面大家合作一起来做个实验，取一条细绳，把它的两端固定在画板上的和两点，用铅笔尖把
8、细绳拉紧，使铅笔尖在图板上缓慢移动，仔细观察，画出的是一个什么样的图形呢?师：（展示学生画的模型）美不美？ 生：美。（不太情愿）师：百度中输入椭圆型脸会出现这样一段文字，椭圆形脸是最均匀理想的脸型，我选了这样两张图片，美吗？（展示学生熟悉的钟汉良、刘诗诗型脸）生：笑声中大声答“美”！师：椭圆很美，用心体会，数学也很美！师：很多天体的运行轨道就是椭圆，这种形状的物体，生活中你见过吗？有什么？生：踊跃答出自己在生活中常见的椭圆形例子。师：这种形状生活中很常见（展示椭圆形状的一些精美图片）。像鸟巢建筑、宝石、手表、镜子、汽车标志、盘子等都有椭圆的身影。设计意图：1在动手实验中，培养学生观察、辨析、归
9、纳问题的能力；2.在此展现人物图象，调节课堂气氛，同时让学生感知数学与生活息息相关，体会数学的美，激发学生学习兴趣。（三）注重本质、理解概念师：椭圆这么美，这么常见，下面我们就来用数学方法好好研究它！师：研究椭圆，我们应该先考虑什么？生：定义！什么是椭圆。师：非常好！那椭圆的定义是什么？应该从哪里考虑？生：沉默.思考了一会，有学生提出，应该从刚才的实验考虑。师：很好，（动画演示）根据刚才画椭圆的实验，你觉得应该怎么给椭圆下定义？你能类比圆的定义给出椭圆定义吗？生：思考，讨论。师：提问，总结。数学的定义是很严谨的，指导学生看课本定义。1.椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的
10、轨迹叫椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距。师：仔细的阅读一下定义？你觉得椭圆的定义中要注意什么？生：平面内、距离和、大于（课件演示等于和小于的情况）。师：一定要仔细琢磨数学概念的定义，它是数学中最本质的内容。设计意图：数学概念、定理是数学的灵魂，只有准确把握好数学概念、定理的教学，让学生充分、深入地理解数学概念、定理，才能真正理解问题的本质，灵活应用。在概念的理解上，突出关键字的解读，让学生体会数学的严谨性。（四）深化研究、构建方程师：知道了椭圆方程的数学定义，为了更深入地研究椭圆，我们希望知道椭圆的什么？生：椭圆的标准方程。师：接下来我们一起来推导椭圆方程是什么？师：前
11、面的课，同学们学过了“曲线与方程”，现在请同学们回忆一下，求曲线方程的一般步骤是什么？生：回答出求曲线方程的五个步骤。师：求曲线方程的一般步骤通常可以归纳为：“建，设，限，代，化”。同学们思考一下，求曲线方程的目的是什么？生：沉默（不会回答）。师：求曲线方程的目的是为了用代数的方法深入研究几何问题！师：结合椭圆的几何特征，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程简单？我们来类比圆的标准方程。生：圆心在，半径R的圆的标准方程为圆心在原点，半径R的圆的标准方程为。师：哪个方程形式更简单？为什么？生：第二个，把坐标原点建在圆的中心处方程比较简单。师：根据这一特点，你认为椭圆怎么建系？（提问）生：以直线为
12、轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系。师：理论上，怎么建系都能得出椭圆方程，但建系一般以“简洁、对称”为好，这样得到的方程形式会更简单。还有没有别的方式？生：焦点在轴。师：我们先研究焦点在轴的情况。哪位同学来说一下？（提问）M生：1.建立适当的直角坐标系：以直线为轴，线段的垂直平分线为y轴，建立如图所示坐标系；2.设点：设是椭圆上的任意一点， ；3.根据条件，得；师：如何化简？ 生：两边同平方。师：对，根式化简的基本思路就是去根号，化简这个等式的方法就是两边同平方！请大家在学案上完成方程的化简。（一位同学在黑板上板演）（化简去根号是个难点，学生可能会出现两种方法，一类直接平方，另一类是移项后
13、再平方，不妨让学生试着按自己的思路去化简。）师：有的直接平方，得到 ，再往下化简就要继续平方，虽然也能化简，但是较为繁琐；有些同学先移项，使两边各有一个根号再平方，哪种方法更简单？生：移项后再平方更简单。4.化简：先移项，再两边平方，化简整理得，师：至此方程已经化简完毕，而椭圆是个很美的图形，这个方程看起来并不美观，能否美化结论的形象？引导学生观察等式两边的特点，发现都有，令 则：师：虽然b是我们在化简方程的过程中，为了使方程形式更加简洁而引入的，但它在椭圆中也具有特殊的几何意义，在后续研究椭圆的几何性质时你就会知道了。师：还可以怎么化简？生：两边同除椭圆方程为：。师：这个形式是不是似曾相识？
14、生：类似直线的截距式，左边两个分式相加，右边为1。不过直线是两个一次式，椭圆是两个二次式。5.检验：从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程，以方程的解为坐标的点到椭圆的两个焦点的距离之和为，即以方程的解为坐标的点都在椭圆上，（这一点只要验证以上推导步骤每一步都可逆，有兴趣的同学可以课后去分析一下），由此，根据曲线与方程的关系可知，方程就是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程它的焦点在x轴上，两个焦点坐标分别是，这里。设计意图：1.这是本节的教学难点，学生独立完成时间花费较多，这里教师与学生合作完成，突破难点，提高课堂效益.通过设问如何化简带根号的等式，学生思考，突破难点；2.进一
15、步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神，感受数学的简洁美、对称美。思考：如果把椭圆的焦点放在y轴上建系，椭圆的方程是什么？学生可能不假思索地回答：“按方案一建系再推一遍”。师：分析，如果椭圆的焦点在y轴上，其焦点坐标为，师：启发 “除了平方，还有别的方法吗？”把两个坐标式放到一起让学生观察：生：经过观察思考发现，只要把x、y对换即可得到，从而得到了焦点在y轴上的椭圆的标准方程：师：这个方程也是椭圆的标准方程。师：注意，椭圆的标准方程是一个专用名称，只有这两种形式的方程才是椭圆的标准方程；为了区分，通常我们把焦点在轴上的椭圆称为是“型椭
16、圆”，焦点在轴上的椭圆称为是“型椭圆”。型椭圆” 和“型椭圆”如何区分？生：看焦点位置，而焦点位置又是根据分母的大小确定，哪个分母大，焦点就在哪个轴上。设计意图：通过椭圆的焦点在y轴上椭圆标准方程的推导，养成学生扎实严谨的科学态度；体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复劳动。（五）多向分析 提高辨识师：观察椭圆的标准方程思考，的几何意义是什么？教师根据学生回答，提出虽然是我们在化简方程的过程中，为了使方程形式更加简单而引入的，但它在椭圆中也具有特殊的几何意义。 设计意图：强调三个基本量几何意义的重要性。 （六）应用拓展、提高能力师：有了这些知识，下面我们就来试试身手！练习：下列方程哪些表
17、示的是椭圆？如果是椭圆，请写出它的焦点坐标。 师：总结提升：1.判断一个方程是否为椭圆方程，就是要抓住椭圆方程特点，根据椭圆方程的形式判定；2.焦点坐标的求解，应“先定型再定量”，即应该先确定是“型椭圆” 还是“型椭圆”，再根据的大小写出焦点坐标。设计意图：明确椭圆两种标准方程的形式和特征，进一步理解椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系，加深椭圆方程的理解。例1：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，并且经过点，求椭圆的标准方程。生：提出两种思路解题。（定义法，待定系数法）师：总结提升：椭圆中涉及到焦点的有关问题，常根据定义求解，本题的定义法求椭圆方程就是此思路从另一个角度考虑，求椭圆标准方程只需要求
18、出即可，因此，只需要列出两个方程即可，本题的待定系数法求方程就是这思路不管是定义法求椭圆方程，还是待定系数法求椭圆方程，求椭圆方程的一般步骤是：“先定型再定量”。设计意图：进一步提升学生对椭圆定义的理解；掌握求椭圆方程的两种求法，（定义法和待定系数法）。（七）回顾反思、提升经验师：现在请同学们从知识上、思想意识上思考，这节课有什么收获？生：议论、合作、回答。师：总结提升：1.从知识上看，这节课主要内容就是标题，即“椭圆及其标准方程”，同学们应该仔细体会椭圆概念，及其椭圆标准方程的特点，即“一个概念，两个方程”；并且通过例1体会了求椭圆标准方程的“两个方法”，定义法和待定系数法。2.从思想意识上
19、看，同学们可体会到数形结合的思想和坐标法的思想，还有类比意识、求美意识和求简意识，即“两个思想，三个意识”。设计意图：让学生自己先总结本节的知识和方法，以提高学生自我获知知识的能力，为学生的长期发展打下基础. 教师根据的信息适时地归纳与提炼,帮助学生提升学习经验。（八）作业布置、巩固新知1必做题：教材49页习题A组第2题；2选做题：求与圆外切，且与圆内切的动圆圆心的轨迹方程。3课后探索：方程什么时候表示椭圆？什么时候表示焦点在x轴上的椭圆？什么时候表示焦点在y轴上的椭圆？能表示圆吗？设计意图：分必做题，选做题和课后探索题，必做题进一步加深学生对于椭圆定义及标准方程的理解，同时为下一节探究椭圆的几何性质做铺垫，选做题和课后探索题供学有余力的学生做，提升学生的思维空间，渗透解析几何的基本思想。八、板书设计：设计意图：好的板书是课堂内容最精华的体现，根据本节课的特点，我设计了这个板书，做到简明，概括。2.2.1椭圆及其标准方程1.定义 2.标准方程焦点在x轴:焦点在y轴：椭圆标准方程的推导过程（或例1板演）屏幕