1、天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题（含解析）第卷一、选择题（共10题，每题5分，共50分）1. 已知向量，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据坐标形式下空间向量加法和数乘运算求解出的坐标表示.【详解】因为，所以，故选：D.【点睛】本题考查坐标形式下空间向量的加法和数乘运算，考查学生对坐标形式下空间向量的加法和数乘的公式运用，难度较易.2. 已知向量和的夹角为，且，则等于（ ）A. 12B. C. 4D. 13【答案】D【解析】【分析】将展开，根据向量的模长和夹角并结合数量积公式完成计算.【详解】因为，所以，故选：D.【点睛】本
2、题考查向量的数量积计算，主要考查学生对数量积计算公式的运用，难度较易.3. 已知向量，则与的夹角为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据两个向量的数量积的定义求出两个向量数量积的值，从而求得与的夹角详解】（0，2，1）（1，1，2）0（1）+21+1（2）0，与的夹角：，故选C【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量数量积公式的应用，向量垂直的充要条件，属于中档题4. 已知空间向量，且，则（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】先根据题意建立方程，再求参数即可.【详解】解：因为，所以，又因为空间向量，所以，解得故选：C【点睛】本题考查根据空间
3、向量垂直求参数、空间向量数量积的坐标表示，是基础题.5. 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，B1E1A1B1，则等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据空面向量运算法则，利用 ，即可得出【详解】由题，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1， 则 故选C【点睛】本题考查了向量共线定理、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6. 直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求直线的斜率，再根据斜率求倾斜角.【详解】解：因为直线方程为，所以所以直线的倾斜角，满足，所以直线的倾斜角为故选：B【点睛】本题
4、考查根据直线的方程求直线的倾斜角，是基础题.7. 若经过两点、直线的倾斜角为，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由直线的倾斜角得知直线的斜率为，再利用斜率公式可求出的值.【详解】由于直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，由斜率公式得，解得，故选D.【点睛】本题考查利用斜率公式求参数，同时也涉及了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.8. 已知，满足，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的共线可得答案.【详解】因为，,因为，所以，即，得， . 故选：B.【点睛】本题考查空间向量平行的坐标表示，属于基础题.9. 在棱长
5、为的正方体中，是底面的中点，分别是，的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，分别用坐标表示出，然后计算出向量夹角的余弦值，由此可求解出异面直线和所成的角的余弦值.【详解】建立空间直角坐标系如图所示：所以，所以，所以异面直线和所成的角的余弦值为，故选：B.【点睛】本题考查利用向量方法求解异面直线所成角的余弦值，难度一般.异面直线所成角的向量求解方法：根据直线方向向量夹角的余弦值求解出异面直线所成角的余弦值，从而异面直线所成角可求.10. 已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（ ）A. B. C. D. 4【答案】
6、A【解析】【分析】先根据题意求出，再求出，最后求即可.【详解】解：因为，均为单位向量，它们的夹角为，所以，所以故选：A【点睛】本题考查根据数量积的运算求模、数量积的运算，是基础题.二、填空题（共7题，每题5分，共35分）11. 若向量，则_.【答案】【解析】【分析】根据坐标运算先求解出，再利用坐标形式下空间向量的数量积计算公式求解出的值.【详解】因为，所以，故答案为：.【点睛】本题考查空间向量的数量积计算，主要考查学生对空间向量的数量积计算公式的运用，难度较易.已知，则.12. 若已知，且，则向量与的夹角为_.【答案】【解析】【分析】根据数量积的计算公式求解出的值，从而可求.【详解】因为，且，
7、所以，所以，故答案为：.【点睛】本题考查求解向量夹角，主要考查学生对数量积计算公式的运用，难度较易.13. 经过点，两点的直线的斜率为_.【答案】【解析】【分析】根据两点对应的斜率的计算公式求解出直线的斜率.【详解】因为，所以，故答案为：.【点睛】本题考查根据两点的坐标求直线的斜率，难度容易.已知，则.14. 已知平面和平面的法向量分别为，且，则_.【答案】【解析】【分析】根据平面垂直对应的法向量也垂直，从而法向量的数量积为，由此求解出的值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，故答案为：.【点睛】本题考查根据向量垂直求解参数值，难度较易.平面互相垂直，则两个平面的法向量也互相垂直；若平面互相
8、平行，则两个平面的法向量共线.15. 过点倾斜角为的直线方程为_.【答案】【解析】分析】根据条件求解出直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后将其转化为一般式方程.【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，所以直线的方程为：，即，故答案为：.【点睛】本题考查直线方程求解，难度较易.已知直线上一点和直线的斜率可求解出直线的点斜式方程.16. 棱长为1的正方体中，直线与平面所成角为_.【答案】【解析】【分析】取中点，利用垂直关系证明即为所求角，并求解出角的大小.【详解】如图所示，取中点，连接，因为四边形为正方形，所以，又因为平面，所以，且，所以平面，所以直线与平面所成角即为，且，故答案为：.【
9、点睛】本题考查求解线面角的大小，解答问题的关键是通过垂直关系找到线面角是哪一个角，难度一般.本例还可以根据线面角的向量求法进行求解：通过直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值求得线面角的正弦值，从而线面角可求.17. 棱长为1的正方体中，是的中点，则的长为_.【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出的坐标，利用空间中两点间的距离公式求解出的长度.【详解】建立空间直角坐标系如图所示：所以，所以，故答案为：.【点睛】本题考查空间中距离公式的运用，难度较易.已知，则.三、解答题18. 根据条件，求出下列直线的方程：（1）经过点倾斜角为；（2）经过点，.【答案】（1）；（2）.【解析】
10、【分析】（1）先求解出直线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出直线的方程；（2）直接假设直线的截距式方程求解出直线的方程.【详解】（1）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，所以直线的方程为：，即；（2）设直线的方程为，因为直线过点，所以，所以直线方程为.【点睛】本题考查根据条件求解直线的方程，难度较易.求解直线方程时，要注意根据条件判断选用哪一种直线的方程去求解更容易.19. 如图，在三棱柱中，且，底面，为中点，点为上一点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接 与交于点O，连接OE，得到，再利用线面平行的判定定理证明即可
11、；（2）根据，底面，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，再根据底面，得到平面一个法向量，然后由求解.【详解】（1）如图所示：连接 与交于点O，连接OE，所以，又平面，平面，所以平面；（2）由，底面，建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，设平面的一个法向量为：，则，即，令，则，因为底面，所以平面一个法向量，所以，由图知二面角为钝角，所以平面与平面夹角的余弦值为.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间向量法求二面角问题，还考查了转化化归思想和逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.20. 如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点.（1）证明（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若为棱上一
12、点，满足，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明过程见详解；（2）：（3）.【解析】【分析】（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明；（2）向量法：先求平面的法向量，然后利用公式求直线与平面所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面和平面的法向量，再利用公式来求二面角的余弦值【详解】依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，由点为棱的中点，得（1）向量，故 （2）向量，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量于是有，直线与平面所成角的正弦值为（3）， 由点在棱上，故，由，得，解得，即设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量取平面的法向量，则易知二面角是锐角，其余弦值为【点睛】本题考查利用空间向量证明线线垂直、利用空间向量求线面所成的角、利用空间向量求面面所成的角.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.是中档题
