1、2024年5月29日星期三 掌握空间向量运算的坐标表示方法；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题学习目标空间直角坐标系则设),(),(321321bbbbaaaa;ab;ab;a;a b/;.ab;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 1223 3a ba ba b112233,()ab ab abR112222/ababab1 1223 30a ba ba b向量的直角坐标运算2222123|aa aaaa2222123|bb bbbb1.距离公式（1）向量的长度（模）公式 注意：此公式的几何意义是表
2、示长方体的对角线的长度。（2）空间两点间的距离公式在空间直角坐标系中，已知 、，则111(,)A xyz222(,)B xyz222,212121()()()A Bdxxyyzz距离与夹角例1 求下列两点间的距离：(1)(1,1,0),(1,1,1);AB(2)(3,1,5),(0,2,3).CD(1)(1,1,0),(1,1,1)|(1,1,1)(1,1,0)|解：ABAB(2)(3,1,5),(0,2,3)|(0,2,3)(3,1,5)|CDCD222|(0,0,1)|0011222|(3,3,2)|3(-3)(2)22 求距离范例cos,|a ba bab1 1223 322222212
3、3123;a ba ba baaabbb2.两个向量夹角公式 注意：（1）当 时，同向；（2）当 时，反向；（3）当 时，。cos,1a b与 abcos,1 a b与 abcos,0a bab思考：当 及 时，两向量的夹角在什么范围内？1cos,0a b,10cos a b距离与夹角例2 求下列两个向量的夹角的余弦：(2,3,3),(1,0,0);ab(2,3,3),(1,0,0)(2,3,3)(1,0,0)2解：aba b21cos,4 12|a ba ba b222|(2,3,3)|2(3)(3)4|(1,0,0)|1 ab求夹角范例例3 已知 、，求：（1）线段 的中点坐标和长度；(3
4、,3,1)A(1,0,5)BAB解：设 是 的中点，则(,)M x y zAB113()(3,3,1)1,0,52,3,222 OMOAOB点 的坐标是 .M32,32222,(13)(03)(5 1)29.A BdOABM距离与夹角应用举例（2）到 两点距离相等的点 的坐标 满足的条件.、AB(,)P x y z,x y z解：点 到 的距离相等，则(,)P x y z、AB222222(3)(3)(1)(1)(0)(5),xyzxyz化简整理，得 46870 xyz即到 两点距离相等的点的坐标 满足的条件是、AB(,)x y z46870 xyz(AB线段的中垂面)(方程的系数向量(4,6
5、,-8)恰好与平行)(3,3,1)A(1,0,5)B(2,3,4)ABn例3ABPn距离与夹角应用举例例4 如图，在正方体 中，求 与 所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D11 B E11114 A BD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系 ，则 Oxyz13(1,1,0),1,1,4BE11(0,0,0),0,1.4，DF1311,1(1,1,0)0,1,44BE距离与夹角应用举例例4 如图，在正方体 中，求 与 所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D11 B E11114 A BD F1BE1DFF1E
6、1C1B1A1D1DABCxyzO1110,1(0,0,0)0,1.44，DF1111150 01 1,4416 BE DF111717|,|.44BEDF111111151516cos,.17|171744BE DFBEDFBEDF1311,1(1,1,0)0,1,44BE距离与夹角应用举例例5 在正方体ABCDABCD中E，F分别是BB，BD的中点，求证：EFDA。距离与夹角应用举例解：不妨设正方体的棱长为1；以D为原点O建立空间直角坐标系O-XYZXyzO(1,0,1)DA)1,21,21(),21,1,1(FE)21,21,21(EF(1,0,1),(0,0,0)AD111()1()010222EF DA 所以EFDA1.基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式.2.思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明.222,212121()()()A Bdxxyyzzcos,|a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb课堂小结课后再做好复习巩固.谢谢！再见！奎屯王新敞新疆2007新疆奎屯特级教师http:/王新敞源头学子小屋