1、2024年5月29日星期三学习目标 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题 重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用 难点：两个向量数量积的几何意义共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要 条件是存在实数对 使,a byx,Pxaybp,a bMabABPp知识回顾（1）两个向量的夹角的定义 0,a ba bb a 范围：在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且,2a babab 如果则称 与 互相垂直，并记作：O A B aabb知识要点（2）两个向
2、量的数量积 注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.,OAaOAaa设则有向线段的长度叫做向量 的长度或模 记作：零向量与任意向量的数量积等于零。知识要点AO,cos,cos,a ba ba ba ba ba ba ba b已知空间两个向量，则叫做向量的数量积，记作：即非零理解：（3）射影 111111,cos,AB al ellAlABlBA BABleA BABa ea e 已知向量 和轴，是 上与 同方向的单位向量。作点 在上的射影作点 在 上的射影，则叫做向量在轴上的或在 方向上的正射影，简称射影。B A leA1 B1 注意：是轴l上的正射影A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代
3、表向量 与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。ABAB11cos,|a lA BABa ll 知识要点（4)空间向量的数量积性质 注意：性质（2）是证明两向量垂直的依据；性质（3）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量 ，有：,ab2(1)cos,(2)0(3)a eaa eaba baa a 知识要点（5)空间向量的数量积满足的运算律 注意：(1)()()(2)(3()(aba ba bb aabca ba c 交换律）分配律）数量积不满足结合律)()a b ca b c（知识要点课堂练习21.2 2,2,_.2aba ba b 已知则所夹的角为222222.(10,0,0()(
4、2)()()()(3)()()(4)()a baba bcab cpqp qpqpqpq判断真假：)若则135a A O P,0,0,0,.aaPOPOaPO aOAaOA aPO OAPO OAx yPAxPOyOAPA aPO aOA aaPAaPA证明：在 上取非零向量而又又相交，得不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对使即,1,PO PAOAPAaaOAaPA 已知：分别是平面 的垂线，斜线，是在 内的射影，且求证：例典型例题例2 已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且lm，ln，求证：l分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。nmggmnll要证
5、l与g垂直，只需证lg0而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得g=xm+yn 要证lg0,只需l g=xlm+yln=0而lm0，ln0故 lg0典型例题n m g g m n l l 由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使g=xm+yn,lg=xlm+yln lm=0,ln=0 lg=0 lg证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，lg,这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l例2 已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且lm，ln，求证：l典型例题例3 已知 在空间四边形OABC中，OABC，OBAC，求证：OCABOABCOBAC证明：由已知，A B C O 0,0OA BCOB AC所以OA OCOA OBOB OOCOBA所以0OA OCOB OC所以OCAB所以典型例题()0()0OA OCOBOBOCOA即，()0OA OB OC即0BA OC两个向量的夹角两个向量的数量积空间向量数量积的运算律课后再做好复习巩固.谢谢！再见！奎屯王新敞新疆2007新疆奎屯特级教师http:/王新敞源头学子小屋