1、 椭圆及其标准方程 一、引入结论：平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆。常数必须大于两定点的距离1、椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距|F1F2|=2c。1F2FM几点说明：1、椭圆定义式：|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|=2c.则M点的轨迹是椭圆.2、若|MF1|+|MF2|=2a=|F1F2|=2c，则M点的轨迹是线段F1F2.3、若|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F
2、2|=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2)。(3)因|MF1|+|MF2|=32c)的动点M的轨迹方程。解：以F1F2所在直线为X轴，线段F1F2 的垂直平分线为Y轴，建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y)设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，则:|MF1|+|MF2|=2a 且2a2caycxycx2)()(:2222即2、椭圆标准方程及其推导 求曲线轨迹方程的步骤：1、建系 2、设标 3、列式 4、化简 5、检验（可省略不写）OXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2
3、x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因为2a2c，即ac，所以a2-c20，令a2-c2=b2，其中b0，代入上式可得：12222 byax2222)(2)(ycxaycx所以2222222)()(44)(:ycxycxaaycx两边平方得222)(:ycxacxa即b2x2+a2y2=a2b2两边同时除以a2b2得：(ab0)这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。acbOXYF1F2M(-c,0)(c,0)OXYF1F2M(0,-c)(0,c)0(12222babyax)0(12222babxay椭圆的标准方程的几点说
4、明：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）椭圆的标准方程中：x2与y2的分母哪一个大，则焦点在 哪一条轴上，大分母为a2，小分母为b2.椭圆的标准方程2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上12-,0,0，FcF c120,-0,，FcFc标准方程相 同 点 焦点位置的判断不 同 点 图形焦点坐标定义a、b、c 的关系a2-c2=b23、椭圆的标准方程小结|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)12yoFFMxyxoF2F1M1、动点P到两定点F1(-
5、4,0)，F2(4,0)的距离之和为8，则动点P的轨迹为（）A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.不能确定 B2、椭圆 上一点P到一个焦点的距离等于3，则它到另一个焦点的距离是（）A.5 B.7 C.8 D.2 2212516xyB3、动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是7，则动点P的轨迹为（）A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹 D对定义再认识例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点 ,求它的标准方程.)23,25(解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为).0(12222babyax由椭圆的定义知
6、102)23()225()23()225(22222a所以.10a又因为 ,所以 2c.6410222cab因此,所求椭圆的标准方程为.161022 yx例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点 ,求它的标准方程.)23,25(解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为).0(12222babyax)0,2(),0,2(焦点的坐标分别是又2c422ba1)()(22232225ba又由已知联立,61022ba，解得因此,所求椭圆的标准方程为.161022 yx求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；（3）用待定系数法确定
7、a、b的值，写出椭圆的标准方程.例3、（1）求椭圆的标准方程：经过点P（-，2），Q（，-）3215（2）已知一椭圆的焦距为2 ，且经过点（2，2），求椭圆的标准方程。2填空：(1)已知椭圆的方程为：，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦，则F2CD的周长为_课前练习 1162522 yx543(3,0)、(-3,0)60F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a15422 yx(2)已知椭圆的方程为：,则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_，焦距等于_;若曲线上一点P到焦点F1的距离为3，
8、则点P到另一个焦点F2的距离等于_，则F1PF2的周长为_21(0,-1)、(0,1)252 532 52PF1F2|PF1|+|PF2|=2a课后练习：1 化简方程：10)3()3(2222yxyx2 椭圆mx2+ny2=-mn(mn0)的焦点坐标是 3 方程 表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围为1162522mymx4.5mD4.5m16-254.5B25m16-CmA4 设F1，F2为定点,|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则动点的轨迹是（）（A）椭圆 （B）直线 （C）线段 （D）圆 5 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是_ 0k1 6 已知B、C是两个定点，BC=6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程