1、专题二十三 正弦定理和余弦定理的应用【高频考点解读】 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 【热点题型】题型一 考查测量距离例1、如图所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：AEF，AFE，CEF，CFE，AEC.请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果 【提分秘籍】求距离问题时要注意(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知
2、则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解；(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理【举一反三】隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，同时，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离 【热点题型】题型二 考查高度问题例2、如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30，测得湖中之影的俯角为45，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)()A2.7 mB17.3 mC37.3 m D373 m【提分秘籍】求解高度问题首先应分清(1)在测量高度时，要理解仰角
3、、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用【举一反三】如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_米【热点题型】题型三 考查方位角 例3、如图，我国的海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B处里一外国船只，且D岛位于海监船正东14海里处 (1)求此时该外国船只与D岛的距
4、离；(2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值(参考数据：sin 36520.6，sin 53080.8)故海监船的航向为北偏东约9036525308，速度的最小值为每小时20海里【提分秘籍】解决方位角问题其关键是弄清方位角概念结合图形恰当选择正、余弦定理解三角形，同时注意平面图形的几何性质的应用【举一反三】如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进m km后在B处测量该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该
5、船继续东行，当与满足条件_时，该船没有触礁危险【热点题型】题型四 考查函数思想在解三角形中的应用 例4、如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？ 【提分秘籍】函数思想在解三角形中常与余弦定理应用及函数最值求法相综合，此类问题综合性较强，能力要求较高，要求考生要有一定的分析问题解决问题的能力解答本题利用了函数思想
6、，求解时把速度表示为时间的函数，利用函数最值求法完成解答，注意函数中以为整体构造二次函数，求最值【举一反三】如图所示，已知树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，某人在离地面米的C处看此树，则该人离此树_米时，看A，B的视角最大【高考风向标】1(2014江苏卷) 如图16所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tanBCO.(1)求新桥BC的长(
7、2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？图162(2014全国新课标卷 如图13，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45，以及MAC75，从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.图133(2014四川卷) 如图13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于()图13A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m4(2013福建卷) 如图16，在等腰直角OPQ中，POQ90，OP2 ，点M在线段PQ上(1)若OM，求P
8、M的长；(2)若点N在线段MQ上，且MON30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值图16 5(2013江苏卷) 如图14，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲
9、的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？图14 【随堂巩固】 1有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30，则坡底要延长()A5 mB10 mC10 m D10 m2一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为()A.海里/小时 B34海里/小时C.海里/小时 D34海里/小时3甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北
10、偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()A.分钟 B.小时C21.5分钟 D2.15小时4.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点间的距离为()A50 m B50 mC25 m D. m5地上画了一个角BDA60，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为()A14米B15米C 16米D17米6已知等腰三角形的面积为，顶角的正弦值是底角的正弦值的倍，
11、则该三角形的一腰长为()A. B. C2 D.7.如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从A点出发沿正北方向行进x m到达B处发现生命迹象，然后向右转105，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135回到出发点，那么x_.8一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_km.9一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱
12、的高度是_ m.10如图，在某平原地区一条河的彼岸有一建筑物，现在需要测量其高度AB.由于雨季河宽水急不能涉水，只能在此岸测量现有的测量器材只有测角仪和皮尺现在选定了一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一条直线上请你设计一种测量方法测出建筑物的高度，并说明理由(测角仪的高为h)11.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里的C处的乙船(1)求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向向成角，求f(x)sin2sin xcos2cos x(xR)的值域12A，B，C是一条直线上的三个点，ABBC1 km，从这三点分别遥望一座电视塔P，A处看塔，塔在东北方向，B处看塔，塔在正东方向，C处看塔，塔在南偏东60方向求塔到直线AC的距离13.某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，设计一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示为充分利用现有材料，边BC，CD用一根长为5米的材料弯折而成，边BA，AD用一根长为9米的材料弯折而成，要求A和C互补，且ABBC.(1)设ABx米，cos Af(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；(2)求四边形ABCD面积的最大值