1、选修4-4 坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系【知识梳理】1.平面直角坐标轴中的伸缩变换 在平面直角坐标系中进行伸缩变换,即改变_或_的单位长度,将会对图形产生影响.x轴 y轴 2.极坐标系的概念(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个_O,叫作极点,从O点引一条_Ox,叫作极轴,选定一个_和_的正方向(通常取_方向),这样就确定了一个平面极坐标系,简称为极坐标系.定点 射线 单位长度 角 逆时针(2)极坐标:对于平面内任意一点M,用 表示_,表示以Ox为始边、OM为终边的_,叫作点M的极径,叫作点M的极角,有序实数对 _叫作点M的极坐标,记作_.当点M在极点时,它的极径=_,极角 可以取_
2、.线段OM的长 角度(,)M(,)0 任意值(3)极坐标与直角坐标的互相转化:设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(,),互化的前提条件互化公式_与原点重合 _与x轴非负半轴重合 取相同的单位长度极点 极轴 3.直线的极坐标方程(1)特殊位置的直线的极坐标方程:直线 极坐标方程 图形 过极点,倾斜角为 =_(R)或 =_(R)(=_和=_(0)+直线 极坐标方程 图形 过点(a,0),与极轴垂直 _=a 过点与极轴平行 _=a(0 )(a)2，()22 sin cos (2)一般位置的直线的极坐标方程:若直线l经过点M(0,0),且 极轴到此直线的角为,直线l的极坐标方程为:sin(-)
3、=_.0sin(-0)4.半径为r的圆的极坐标方程(1)特殊位置的圆的极坐标方程:圆心 极坐标方程 图形(0,0)=_(0 2)(r,0)=_ ()22 r 2rcos 圆心 极坐标方程 图形 =2rsin (0 )(r,)=-2rcos =-2rsin (2)3()22(r,)23(r,)2(2)一般位置的圆的极坐标方程:若圆心为M(0,0),半径为r,则圆 的极坐标方程是 2-2 0 cos(-0)+-r2=0.20【小题快练】(本部分为教师用书独具)1.(2015九江模拟)若原点与极点重合,x轴正半轴与极轴重合,则点(-5,-5 )的极坐标是()34A.(10,)B.(10,)3322C
4、.(10,)D.(10,)33【解析】选B.设点(-5,-5 )的极坐标为(,),则tan=因为xr=2,所以直线与圆相离.所以圆上的点到直线距离的最大值为d+r=2 +2.答案:2 +2 cos()3 242220262 2222考点1 极坐标与直角坐标的相互转化【典例1】(2014广东高考改编)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2 cos2=sin 与 cos=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,求曲线C1与C2交点的直角坐标.【解题提示】将极坐标方程化为直角坐标方程再求交点坐标.【规范解答】由2cos2=sin,得22cos2=sin,由 得2x
5、2=y.由cos=1,得x=1,代入2x2=y,解得x=1,y=2.所以曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2).xcos,ysin 【规律方法】1.极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件(1)取直角坐标系的原点为极点.(2)以x轴的非负半轴为极轴.(3)两种坐标系规定相同的长度单位.2.直角坐标化为极坐标的关注点(1)根据终边相同的角的意义,角 的表示方法具有周期性,故点M的极坐标(,)的形式不唯一,即一个点的极坐标有无穷多个.当限定 0,0,2)时,除极点外,点M的极坐标是唯一的.(2)当把点的直角坐标化为极坐标时,求极角 应注意判断点M所在的象限(即角 的终边的位置),以便正确地求出角
6、0,2)的值.【变式训练】(2014上海高考改编)已知曲线C的极坐标方程为 (3cos-4sin)=1,求C与极轴的交点到极点的距离.【解析】将极坐标方程(3cos-4sin)=1化为直角坐标方程为 3x-4y=1,则C与极轴的交点即为直线与x轴的交点 ,极点即为 原点,故所求的距离为 .1(,0)313【加固训练】1.极坐标系中,求直角坐标为(-1,)的点的极径和 极角.【解析】直角坐标为(-1,)的点到极点的距离为=2,又tan=-,且点在第二象限,得=2k+,kZ.于是点(-1,)的极坐标为(2，2k+)(kZ)，所以此点的极径为2,极角为2k+(kZ).3322xy323323232.
7、(2014苏州模拟)在极坐标系中，求点 关于直线=的对称点N的极坐标，并求MN的长【解析】点 的直角坐标为(,1)，直线=的直角坐标 方程为tan=1，即x-y=0，点M(,1)关于直线x-y=0的对称 点N的坐标为(1,)，化为极坐标得 由于点M(,1)到直线x-y=0的距离 所以MN的长为|MN|=2d=M(2,)64M(2,)634yx33(2,)3，331d2，62考点2 直线与圆的极坐标方程的应用【典例2】在极坐标系中,已知曲线C1与C2的极坐标方程分别为=2sin 与 cos=-1(0 2),求:(1)两曲线(含直线)的公共点P的极坐标.(2)过点P被曲线C1截得弦长为 的直线的极
8、坐标方程.2【解题提示】(1)利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求点的极坐标.(2)利用数形结合思想,转化为几何性质解决.【规范解答】(1)由公式 得曲线C1：=2sin与C2：cos=-1(0r 相切 一个 d=r 相交 两个 dr(2)若直线与圆相交于点A,B,则弦长公式为|AB|=222 rd.【变式训练】(2014广州模拟)在极坐标系(,)(0 2)中,求直线=被圆=2sin 截得的弦长.【解析】在极坐标系(,)(02)中,直线=的直角坐标 方程为x-y=0,圆=2sin的直角坐标方程为x2+y2=2y,即x2+(y-1)2=1,圆心(0,1)到直线的距离为d=,所以弦长为 441
9、2222 rd2.【加固训练】1.已知极坐标系中,圆C1:=2cos 与圆C2:=2asin(a0).(1)将两圆的极坐标方程分别化为直角坐标方程.(2)若两圆的圆心距为3,求a的值.【解析】(1)由圆C1:=2cos,得2=2cos,化为直角坐标方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.圆C2:=2asin(a0)即2=2asin,化为直角坐标方程为x2+y2=2ay,即x2+(y-a)2=a2.(2)由于两圆的圆心距为3,得 =3,解得a=2 .21 a22.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为=4cos,=-sin.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)求经过圆O1,圆O2的两个交点的直线的直角坐标方程.【解析】以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,两 坐标系中取相同的长度单位.(1)由x=cos,y=sin,=4cos,得2=4cos,所以x2+y2=4x.即x2+y2-4x=0为圆O1的直角坐标方程.同理x2+y2+y=0为圆O2的直角坐标方程.(2)由 相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x+y=0.2222xy4x0,xyy0