1、32复数的运算32.1复数的加法和减法1.理解复数加、减法运算法则及其几何意义2.能运用加、减运算法则及其几何意义解题复数的加法与减法(1)相反数：abi的相反数为abi；(2)复数的加法与减法复数的加法与减法运算法则两个复数相加(减)，就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)即(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(abi)(cdi)(ac)(bd)i(其中a，b，c，dR)复数加法的运算律(i)交换律：z1z2z2z1；(ii)结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)(3)复数加减法的几何意义设复数z1，z2对应的向量为，则复数z1z2是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的对角线OZ所
2、对应的复数，z2z1是连接向量和的终点并指向向量所对应的复数，如右图所示1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个虚数的和或差可能是实数()(2)若复数z1，z2满足z1z20，则z1z2.()(3)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部()(4)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形()(5)复数的减法不满足结合律，即(z1z2)z3z1(z2z3)可能不成立()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2已知复数z134i，复数z234i，那么z1z2等于()A8iB6C68i D68i答案：B3若复数z满足zi33i，则z等于()A0 B2iC6 D62i答案：D
3、复数的加法和减法运算计算：(1)(12i)(34i)(56i)；(2)5i(34i)(13i)；(3)(abi)(2a3bi)3i(a，bR)【解】(1)(12i)(34i)(56i)(42i)(56i)18i.(2)5i(34i)(13i)5i(4i)44i.(3)(abi)(2a3bi)3i(a2a)b(3b)3ia(4b3)i.解决复数加减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)已知复数z1(310i)y，
4、z2(2i)x(x、yR)，且z1z219i，求z1z2.解：z1z2(310i)y(2i)x(3y2x)(x10y)i19i.所以，解之得.所以z1310i，z22i，所以z1z2(310i)(2i)3(2)(101)i511i.复数加减运算的几何意义已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，32i，24i.(1)求表示的复数；(2)求表示的复数【解】(1)因为，所以表示的复数为(32i)，即32i.(2)因为，所以表示的复数为(32i)(24i)52i.1若本例条件不变，试求点B所对应的复数解：因为，所以表示的复数为(32i)(24i)16i.所以点B所对应的复数为16
5、i.2若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数解：由题意知，点M为OB的中点，则，由互动探究1中点B坐标为(1，6)得点M坐标为，所以点M对应的复数为3i.复数加减法几何意义的应用技巧(1)复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算(2)复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则 1.在复平面内，复数1i与13i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则|()AB2C D4解析：选B因为，所以对应的复数为(13i)(1i)2i，故|2.2复数z112i，z22i，z312i，如图，它们在复平面上对应的点分别是正方形的三个顶点A，B，C，求这个正方形的第四个顶点所对
6、应的复数解：如题图，设正方形的第四个顶点D对应的复数为xyi(x，yR)，则对应的复数是(xyi)(12i)(x1)(y2)i，对应的复数是(12i)(2i)13i.因为，即(x1)(y2)i13i，所以解得故点D对应的复数为2i.复数加减法的综合应用已知复数z满足z|z|28i，求复数z.【解】法一：设zabi(a，bR)，则|z|，代入方程得abi28i，所以解得，所以z158i.法二：原式可化为z2|z|8i，因为|z|R，所以2|z|是z的实部，于是|z|.即|z|2684|z|z|2，所以|z|17.代入z2|z|8i，得z158i.法一是复数方程的一般解法，即转化为实数方程(组)求
7、解，一般运算量较大；法二是由复数模的定义及性质来求，要求复数z，只需求出|z|. 设z1、z2C，已知|z1|z2|1，|z1z2|，求|z1z2|.解：法一：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，由题设知a2b21，c2d21，(ac)2(bd)22，又(ac)2(bd)2a22acc2b22bdd2，所以2ac2bd0.因为|z1z2|2(ac)2(bd)2a2c2b2d2(2ac2bd)2，所以|z1z2|.法二：作出z1、z2对应的向量1、2，使12，因为|z1|z2|1，又1、2不共线(若1、2共线，则|z1z2|2或0与题设矛盾)，所以平行四边形OZ1ZZ2为菱形又|z1z
8、2|，所以Z1OZ290，即OZ1ZZ2为正方形，故|z1z2|.1复数的加法的规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加两个复数的和仍然是一个复数，这一法则可以推广到多个复数相加2复数的减法可根据复数的相反数，转化为复数的加法来运算，这与实数中减法的理解相似3复数z1，z2对应的点分别为P1，P2，则|z1z2|；同理，对应复数为z1，z2，则对应复数为z2z1.1算式中若出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减2不要错用复数减法的几何意义如|z12i|表示复数z对应的点与(1，2)的距离，而不是与(1，2)的距离1计算(3i)(2i)的结果
9、为()A1BiC52i D1i解析：选A(3i)(2i)1.2若z(1i)1i，则z_解析：由z(1i)1i得z(1i)(1i)22i.答案：22i3已知z1ai，z22ai(aR)，且z1z2在复平面内对应的点在直线y2x1上，则a_解析：将z1z2(a2)(1a)i所对应的点(a2，1a)代入直线方程y2x1即可答案：4A基础达标1已知z12i，z212i，则复数zz2z1对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选Czz2z1(12i)(2i)13i.故z对应的点为(1，3)，位于第三象限2设a，bR，z12bi，z2ai，当z1z20时，复数abi为()A1i B
10、2iC3 D2i解析：选D由得所以abi2i.3在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为1i和43i，则该平行四边形的对角线AC的长度为()A B5C2 D10解析：选B依题意，对角线AC对应的复数为(43i)(1i)34i，因此AC的长度即为|34i|5.4在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3i，13i，则对应的复数是()A24i B24iC42i D42i解析：选D依题意有，而(3i)(13i)42i，即对应的复数为42i.5复数z1a4i，z23bi，若它们的和z1z2为实数，差z1z2为纯虚数，则a，b的值为()Aa3，b4 Ba3，b
11、4Ca3，b4 Da3，b4解析：选A因为z1z2(a3)(4b)i为实数，所以4b0，b4.因为z1z2(a4i)(3bi)(a3)(4b)i为纯虚数，所以a3且b4.故a3，b4.6设z34i，则复数z|z|(1i)在复平面内的对应点在第_象限解析：因为z34i，所以|z|5，所以z|z|(1i)34i5(1i)15i.答案：三7已知|z|4，且z2i是实数，则复数z_解析：因为z2i是实数，可设za2i(aR)，由|z|4得a2416，所以a212，所以a2，所以z22i.答案：22i8.如图所示，在复平面内的四个点O，A，B，C恰好构成平行四边形，其中O为原点，A，B，C所对应的复数分
12、别是zA4ai，zB68i，zCabi(a，bR)，则zAzC_.解析：因为，所以4ai(abi)68i.因为a，bR，所以所以所以zA42i，zC26i，所以zAzC(42i)(26i)24i.答案：24i9计算：(1)(i)1；(2)i；(3)(56i)(22i)(33i)解：(1)原式()i11i.(2)原式ii.(3)原式(523)6(2)3i11i.10在复平面内，A，B，C三点对应的复数为1，2i，12i.(1)求向量，对应的复数；(2)判定ABC的形状解：(1)(1，0)，(2，1)，(1，2)，所以(1，1)，对应的复数为1i，(2，2)，对应的复数为22i，(3，1)，对应的
13、复数为3i.(2)因为|AB|，|AC|，|BC|，所以|AB|2|AC|2|BC|2.所以ABC是以BC为斜边的直角三角形B能力提升11复数z11icos ，z2sin i，则|z1z2|的最大值为()A32 B1C32 D1解析：选D|z1z2|(1icos )(sin i)|1.12复数z1，z2分别对应复平面内的点M1，M2，且|z1z2|z1z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为43i，则|z1|2|z2|2_解析：根据复数加减法的几何意义，由|z1z2|z1z2|知，以，为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即M1OM2为直角，M是斜边M1M2的中点，|5，|10.|z1|2|
14、z2|2|2|2|2100.答案：10013已知z1(3xy)(y4x)i，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yR)，设zz1z2132i，求z1，z2.解：zz1z2(3xy)(y4x)i(4y2x)(5x3y)i(3xy)(4y2x)(y4x)(5x3y)i(5x3y)(x4y)i.又因为z132i，且x，yR，所以解得所以z1(321)(142)i59i，z24(1)22523(1)i87i.14(选做题)已知z022i，|zz0|.(1)求复数z在复平面内对应的点的轨迹；(2)求当z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值解：(1)设zxyi(x，yR)，由|zz0|，即|xyi(22i)|(x2)(y2)i|，解得(x2)2(y2)22，所以复数z对应的点的轨迹是以Z0(2，2)为圆心，半径为的圆(2)当z对应的Z点在OZ0的连线上时，|z|有最大值或最小值因为|OZ0|2，半径r，所以当z1i时，|z|min.