1、2010高考数学最后30天冲刺练习：概率统计例1、如图是一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是_因为正方形的面积是16，内切圆的面积是，所以豆子落入圆内的概率是例2、四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个点，则这四个点不共面的概率为 （ ）A、 B、 C、 D、ABCDEFGH图1从10个不同的点中任取4个点的不同取法共有=210种，它可分为两类：4点共面与不共面如图1，4点共面的情形有三种：取出的4点在四面体的一个面内（如图中的AHGC在面ACD内），这样的取法有种；取出的4面所在的平面与四面体的一组对棱平行（如图中的EFGH与AC、BD
2、平行），这种取法有3种（因为对棱共3组，即AC与BD、BC与AD、AB与CD）；取出的4点是一条棱上的三点及对棱中点（如图中的AEBG），这样的取法共6种综上所述，取出4个不共面的点的不同取法的种数为-（+3+6）=141种故所求的概率为，答案选D例3、在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 A B C D解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得，故C。例4、在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的
3、概率等于 A. B. C. D.解析：在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于=，选A。例5、甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么A. 甲是乙的充分但不必要条件 B. 甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立。故选 B例6、某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则xy的值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【思路】本题考查统计的基本知识，
4、样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法【正确解答】由题意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出，设x=10+t, y=10-t, ，选D例7、将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为（ ）A a=105 p= B.a=105 p= C.a=210 p= D.a=210 p=解：选A，a105，甲、乙分在同一组的方法种数有（1） 若甲、乙分在3人组，有15种（2） 若甲、乙分在2人组，有10种，故共有25种，所以P例8、从到这个数字
5、中任取个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被整除的概率为（A） （B） （C） （D）解析：从到这个数字中任取个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被整除。所有的三位数有个，将10个数字分成三组，即被3除余1的有1，4，7、被3除余2的有2，5，8，被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：三个数字均取第一组，或均取第二组，有个； 若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有个； 若三组各取一个数字，第三组中不取0，有个，若三组各取一个数字，第三组中取0，有个，这样能被3 整除的数共有228个，不能被整除的数有420个，所以概率为
6、=，选B。例9、一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是 解析：一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2。将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为=0，1，2，4，则， .例10、设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4。（1，2，3，4）。又的数学期望，则 ;解：设离散性随机变量可能取的值为，所以，即，又的数学期望，则，即，, .例11、设集合，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的所有可能值为（
7、）A3B4C2和5D3和4【答案】D【试题分析】事件的总事件数为6。只要求出当n=2,3,4,5时的基本事件个数即可。当n=2时，落在直线上的点为（1，1）；当n=3时，落在直线上的点为（1,2）、（2,1）；当n=4时，落在直线上的点为（1,3）、（2,2）；当n=5时，落在直线上的点为（2,3）；显然当n=3,4时，事件的概率最大为。例12、以表示标准正态总体在区间（）内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于 （A）（B） （C）（D）解析：以表示标准正态总体在区间（）内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率=，选B。例13、如图，三行三列的方阵有9个数（i1，2，3；j1，2
8、，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 A B C D 解析：从中任取三个数共有种取法，没有同行、同列的取法有，至少有两个数位于同行或同列的概率是，选D例14、设随机变量服从标准正态分布，已知，则=（ ）A0.025B0.050C0.950D0.975【答案】C 【解析】服从标准正态分布， 例15、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B例16、连掷两次骰子得到的点
9、数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（ ）ABCD答案：选C解析：由向量夹角的定义，图形直观可得，当点位于直线上及其下方时，满足，点的总个数为个，而位于直线上及其下方的点有个，故所求概率，选C例17、已知随机变量服从正态分布， ，则（ ）ABCD，【答案】：A【分析】：由又故选A.例18、甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）【答案】：B【分析】： 例19、从5张100元，3张200元，2张300
10、元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）A B C D【答案】：C【分析】：可从对立面考虑，即三张价格均不相同，例20、一个坛子里有编号为1，2，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）ABCD解析：从中任取两个球共有种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的取法有种取法，概率为，选D例21、已知一组抛物线，其中为2、4、6、8中任取的一个数，为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（ ）（A
11、） （B） （C） （D）解析：选B这一组抛物线共条，从中任意抽取两条，共有种不同的方法它们在与直线交点处的切线的斜率若，有两种情形，从中取出两条，有种取法；若，有三种情形，从中取出两条，有种取法；若，有四种情形，从中取出两条，有种取法；若，有三种情形，从中取出两条，有种取法；若，有两种情形，从中取出两条，有种取法由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有种，故所求概率为例22、随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若则的值是 【答案】：【分析】：成等差数列，有 联立三式得例23、已知一组抛物线，其中为2、4、6、8中任取的一个数，为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它
12、们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）解析：选B这一组抛物线共条，从中任意抽取两条，共有种不同的方法它们在与直线交点处的切线的斜率若，有两种情形，从中取出两条，有种取法；若，有三种情形，从中取出两条，有种取法；若，有四种情形，从中取出两条，有种取法；若，有三种情形，从中取出两条，有种取法；若，有两种情形，从中取出两条，有种取法由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有种，故所求概率为例24、随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若则的值是 【答案】：【分析】：成等差数列，有 联立三式得例25、在区间-1，1上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( ).A
13、. B. C. D. 【解析】:在区间-1，1上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A.ABCDEF例26、考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 （A） （B） （C） （D）解析 如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有 共12对，所以所求概率为，选D例27、在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模
14、群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 （C）丙地：中位数为2，众数为3 （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3【答案】D 【解析】根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选D.例28、某单位2
15、00名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1200编号，并按编号顺序平均分为40组（15号，610号，196200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人. 图 2【答案】37, 20【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37. 40岁以下年龄段的职工数为,则应抽取的人数为人.例29、已知离散型随机变量的分布列如右表若，则 ， 【解析】由题知，解得，.例30、某校甲、乙两个班级各有5名
16、编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表： 学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为= . 【解析】 考查统计中的平均值与方差的运算。甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差 例31、随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;(2)计算甲班的样本方差(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.解析 （1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于 之间。
17、因此乙班平均身高高于甲班; (2) 甲班的样本方差为 57 （3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A； 从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173） （181，176） （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173） (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件； ；例32、已知某人工养殖观赏鱼池塘中养殖着大量的红鲫鱼与中国金鱼为了估计池塘中这两种鱼的数量，养殖人员从水库中捕出了红鲫鱼与中国金鱼各1000只，给每只鱼作上不影响其存活的记号，然后放回池
18、塘，经过一定时间，再每次从池塘中随机地捕出1000只鱼，,分类记录下其中有记号的鱼的数目，随即将它们放回池塘中这样的记录作了10次.并将记录获取的数据做成以下的茎叶图， 红鲫鱼 中国金鱼9 8 8 6 1 6 7 9 93 2 2 2 0 0 2 0 0 1 2 3 3（1）根据茎叶图计算有记号的红鲫鱼与中国金 鱼数目的平均数，并估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数量; （2）假设随机地从池塘逐只有放回地捕出5只鱼中的红鲫鱼的数目为，求的分布列与数学期望解 （1）由茎叶图可求出10次记录下的有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数均为20，故可认为池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数目相同，设池塘中两种鱼的总
19、数是，则有，即， 所以，可估计水库中的红鲫鱼与中国金鱼的数量均为25000 （2）显然， 其分布列为012345数学期望 例33、某校有一贫困学生因病需手术治疗，但现在还差手术费1.1万元。团委计划在全校开展爱心募捐活动，为了增加活动的趣味性吸引更多学生参与，特举办“摇奖100%中奖”活动。凡捐款10元便可享受一次摇奖机会，如图是摇奖机的示意图，摇奖机的旋转盘是均匀的，扇形区域A，B，C，D，E所对应的圆心角的比值分别为1：2：3：4：5。相应区域分别设立一、二、三、四、五等奖，奖品分别为价值5元、4元、3元、2元、1元的学习用品。摇奖时，转动圆盘片刻，待停止后，固定指针指向哪个区域（边线忽略
20、不计）即可获得相应价值的学习用品（如图指针指向区域，可获得价值3元的学习用品）。 （1）预计全校捐款10元者将会达到1500人次，那么除去购买学习用品的款项后，剩余款项是否能帮助该生完成手术治疗？ （2）如果学生甲捐款20元，获得了两次摇奖机会，求他获得价值6元时的学习用品的概率。解：（1）设摇奖一次，获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为A、B、C、D、E则其概率分别为 设摇奖一次支出的学习用品相应的款项为，则的分布列为： 123455P （6分） 若捐款10元者达到1500人次，那么购买学习用品的款项为1500E=3500（元）， 除去购买学习用品的款项后，剩余款项为150010-350
21、0=11500（元）， 故剩余款项可以帮助该生完成手术治疗。 （8分） （2）记事件“学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品”为F，则 即学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品的概率为。 （12分）例34、在一个盒子中，放有标号分别为，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，设为坐标原点，点的坐标为，记()求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；()求随机变量的分布列和数学期望解:()、可能的取值为、，且当或时， 因此，随机变量的最大值为4分 有放回抽两张卡片的所有情况有种，6分 ()的所有取值为时，只有这一种情况 时，有或或或四种情况，时，有或两种情况
22、，8分 则随机变量的分布列为：因此，数学期望12分例35、旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率（2）求恰有2条线路没有被选择的概率.（3）求选择甲线路旅游团数的期望.解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1=（2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P2=（3）设选择甲线路旅游团数为，则=0，1，2，3P（=0）= P（=1）=P（=2）= P（=3）= 0123P 的分布列为： 期望E=0+1+2+3=例36、某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，
23、否则还需参加下次考核。若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率不超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为。求小李第一次参加考核就合格的概率；求小李参加考核的次数的分布列和数学期望。解：根据题意，得 ，解得或. ，即小李第一次参加考核就合格的概率为由的结论知，小李四次考核每次合格的概率依次为， 小李参加测试的次数的数学期望为例37、设计某项工程，需要等可能地从个向量、中任选两个来计算数量积，若所得数量积为随机变量，求：（）随机变量的概率；（）随机变量的分布列和期望（）：从个向量中任选两个来计算数量积有种方法：， ，分数量积的概率为）数量积可能
24、取值为，数量积的分布列为：数量积的期望例38、一商家诚邀甲、乙两名围棋高手进行一场网络围棋比赛。每比赛一局商家要向每名棋手支付200元对局费,同时从转让网络转播权及广告宣传中获利1000元。从两名棋手以往的比赛中得知: 甲每局获胜的概率为,乙每局获胜的概率为,若两名棋手约定:最多下五局,最先连胜两局者获胜,比赛结束.(1)下完五局且甲获胜的概率是多少?(2)商家从这场网络棋赛中获得的收益的数学期望是多少?解: (1)设下完五局且甲获胜为事件A,则5局的胜负依次为: 乙胜、甲胜、乙胜、甲胜、甲胜.P(A)= (2) 设表示比赛的局数,表示商家的收益.则=(1000-2200)=600,根据题意可
25、取2,3,4,5. , E=600E=.例39、设，在线段上任取两点（端点除外），将线段分成了三条线段，（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；（2）若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：；，共3种情况，其中只有三条线段为时能构成三角形，则构成三角形的概率（2）设其中两条线段长度分别为，则第三条线段长度为，则全部结果所构成的区域为: ，即为，所表示的平面区域为三角形；若三条线段，能构成三角形，则还要满足，即为，所表示的平面区域为三角形，由几何概型知，所求的概率为
26、例40、先生的鱼缸中有7条鱼,其中6条青鱼和1条黑鱼,计划从当天开始,每天中午从该鱼缸中抓出1条鱼(每条鱼被抓到的概率相同)并吃掉.若黑鱼未被抓出,则它每晚要吃掉1条青鱼(规定青鱼不吃鱼).(1)求这7条鱼中至少有5条被先生吃掉的概率.(2)以表示这7条鱼中被先生吃掉的鱼的条数,求.解.(1)先生能吃到的鱼的条数可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天先生吃掉黑鱼,其概率为 故先生至少吃掉5条鱼的概率是.(6分)(2)与(1)相仿地可得, 故,故所求期望值为5例41、某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽
27、取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。规定：至少正确完成其中2题的便可通过。已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为，且每题正确完成与否互不影响。（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算其数学期望；（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力。解：（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为、，则取值分别为1，2，3；取值分别为0，1，2，3。，。考生甲正确完成题数的概率分布列为123。=，同理：，。方法一：考生乙正确完成题数的概率分布列为：0123。方法二：考生乙正确完成题数的概率分布列为：0123考生乙做对题数服从二项分布
28、，因此，。（2），。（或）。，例42、某地机动车驾照考试规定：每位考试者在一年内最多有3次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第三次为止，如果小李决定参加驾照考试，设他一年中三次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,（）求小李在一年内领到驾照的概率；（）求在一年内小李参加驾照考试次数的分布列和的数学期望.18. (本小题满分12分)解：（）小李在一年内领到驾照的概率为: P=1-（1-0.6）(1-0.7)(1-0.8)=0.976 （）的取值分别为1，2，3， =1时， =2时，=3时，所以小李参加考试次数的分布列为：1 23P0.60
29、.280.12所以的数学期望为例43、某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.求的分布及数学期望；记“函数f(x)x23x1在区间2，上单调递增”为事件A，求事件A的概率.解：（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3
30、，2，1，0，所以的可能取值为1，3.P（=3）=P（A1A2A3）+ P（）= P（A1）P（A2）P（A3）+P（）=20.40.50.6=0.24，P（=1）=10.24=0.76.（）解法一 因为所以函数上单调递增，要使上单调递增，当且仅当从而解法二：的可能取值为1，3.当=1时，函数上单调递增，当=3时，函数上不单调递增.0所以例44、有A，B，C，D四个城市，它们都有一个著名的旅游点，依此记为a，b，c，d.把ABCD和a，b，c，d分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右两边的字母全部连接起来，构成“一一对应”，已知每连对一个得2分，连错得0分；（）求该爱好者得分
31、的分布列；（）求该爱好者得分的数期望.（I）解：设答对题的个数为y，得分为,y=0，1，2，4 =0，2，4，8 则的分布列为0248P （II）E=0+2+4+8=2答：该人得分的期望为2分例45、袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个经球的概率为p。（1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止。求恰好摸索5次停止的概率；记5次之内（含油污水处理设施次）摸到红球的次数为的分布列及数学期望。（2）若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值。（1）由题意知前4次中有两次摸到了红球，第
32、5次摸到的也是红球，所以概率为：随机变量的聚会为0 , 1 , 2 , 3 .其中，当= 3时，又分三种情况，则 0123P 随机变量的分布列是的数学期望为：E= 0 + 1 + 2 + 3 =（2）因为A、B两个袋子中的球数之比12，所以设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球由于从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p。袋子A中有m个红球，袋子B中有2mp个红球。A、B中的球装在一起后，共有红球m + 2mp 个，得p =例46、某企业规定，员工在一个月内有三项指标任务，若完成其中一项指标任务，可得奖金160元；若完成其中两项指标任务可得奖金320元；若完成三项指标任务可得
33、奖金640元；若三项指标都没有完成，则不能得奖金且在基本工资中扣80元，假设某员工每项指标是否完成是等可能的，求此员工在一个月内所得奖金数的分布列和数学期望。某企业规定，员工在一个月内有三项指标任务，若完成其中一项指标任务，可得奖金160元；若完成其中两项指标任务可得奖金320元；若完成三项指标任务可得奖金640元；若三项指标都没有完成，则不能得奖金且在基本工资中扣80元，假设某员工每项指标是否完成是等可能的，求此员工在一个月内所得奖金数的分布列和数学期望。解：设某员工在一个月内所得奖金为元，则由题意可知的可能取值为 的分布列为：数学期望为元 例47、四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、
34、2，把它们放在一个盒子，从中任意摸出两个小球，它们的标点分别为（I）求随机变量的分布列及数学期望； （II）设“函数在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率。 解：（I）随机变量的取值为2、3、4。从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为 当=2时，摸出的小球为1、1。 当=3时，摸出的小球为1A和2A、1A和2B、1B和2A、1B和2B共4种情况。 当=4时，摸出的小球为2、2。 的分布列为234P （II）在区间（2，3）上有且只有一个零点。 事件A发生的概率为例48、一个盒子中装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域均为R的函数：.（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片
35、上的函数相加得到一个新函数，求所得函数 为奇函数的概率；（2）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行。求抽取次数的分布列和数学期望.解：（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数为奇函数”共有3个奇函数，（2）的可能值为1，2，3，4, 的分布列为1234P故例49、某种彩票在一年内中奖号码的首位数字（如023的0）构成一个分布，数字0,1,2,，9出现的概率满足=f(x)=a（a为常数）,现在从这些中奖号码中任取一个，记其首位数字为.（1）求的分布列;（2）求的期望.解（1）的可取值为0,1,2,9 ，由0129pa
36、（2）令，则12分例50、某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A=a5a4 ，其中A的各位数中，出现0的概率为，出现1的概率为.记，当程序运行一次时（I）求的概率；（II）求的分布列和数学期望.解：（I）已知，只须后四位数字中出现2个0和2个1. （II）的取值可以是1，2，3，4，5，.的分布列是12345P （另解：记 .）例51、某市举行的一次数学新课程骨干培训，共邀请15名使用不同版本教材的教师，数据如下表所示： 版本人教A版人教B版性别男教师女教师男教师女教师人数6342()从这15名教师中随机选出2名，则2人恰好是教不同版本的男教师的概率是多少？()培训活动随机选出2
37、名代表发言，设发言代表中使用人教B版的女教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望解：()从15名教师中随机选出2名共种选法， 2分所以这2人恰好是教不同版本的男教师的概率是 5分()由题意得； ； 故的分布列为012所以，数学期望例52、甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击次数相同，已知两运动员射击的环数稳定在7，8，9，10环，他们的这次成绩的频率分布直方图如下：击中频率击中频率0.30.20.157 8 9 10 射击环数0.350.27 8 9 10 射击环数甲乙(1)求乙运动员击中8环的概率，并求甲、乙同时击中9环以上（包括9环）的概率。(2)求甲运动员射击环数的概率分布列及期望；若从
38、甲、乙运动员中只能挑选一名参加某大型比赛，你认为让谁参加比较合适？解：（1）记“甲运动员击中i环”为事件Ai ；“乙运动员击中i环”为事件Bi P(B8)=1- P(B7)- P(B9)- P(B10)=1-0.2-0.2-0.35=0.25 P(A9)+P(A10)=1-0.15-0.2=0.65 P(B9)+P(B10)=0.2+0.35=0.55甲、乙同时击中9环以上（包括9环）的概率：0.650.55=0.3575 （2）的可能取值：7、8、9、1078910P0.20.150.30.35 分布列： 期望E=70.2+80.15+90.3+100.35=8.8例53、某人在水池中养了1
39、0条金鱼，其中4条为白色，6条为红色，他每天随机地从水池中取出3条放入水箱中进行观察，观察后又把这3条放回水池中，连续5天的观察。（1）问一天中，他取出两种颜色鱼的概率是多少？（2）设随机变量X是取出两种颜色鱼的天数，求X的概率分布。解：（1）取出两种鱼有两种可能，即1条白色鱼，2条红色鱼；或.2条白色鱼，1条红色鱼。取出1条白色鱼，2条红色鱼的方法数为；取出2条白色鱼，1条红色鱼的方法数为。而从10条鱼中取出3条鱼的方法数为。故所求的概率为：； 5（2）X012345P可以化简为X012345P例54、现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万
40、元的概率分别为、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.(I) 求、的概率分布和数学期望、;(II) 当时,求的取值范围.【解析】(I)解法1: 的概率分布为1.21.181.17PE=1.2+1.18+1.17=1.18.由题设得,则的概率分布为 012P故的概率分布为1.31.250.2P所以的数学期望为E=+=.解法2: 的
41、概率分布为1.21.181.17PE=1.2+1.18+1.17=1.18.设表示事件”第i次调整,价格下降”(i=1,2),则P(=0)= ;P(=1)=;P(=2)=故的概率分布为1.31.250.2P所以的数学期望为E=+=.(II) 由,得: 因0p1,所以时,p的取值范围是0p0.3.【点评】本小题考查二项分布、分布列、数学期望、方差等基础知识,考查同学们运用概率知识解决实际问题的能力.例55、袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求： （1）取出的3个小球上
42、的数字互不相同的概率；(2)随机变量的概率分布和数学期望；(3)计分介于20分到40分之间的概率. 解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，则解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为，所以.（II）由题意有可能的取值为：2，3，4，5.所以随机变量的概率分布为2345因此的数学期望为（）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则例56、某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获元的赔偿
43、（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：（）获赔的概率；（）获赔金额的分布列与期望解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，由题意知，独立，且，（）该单位一年内获赔的概率为（）的所有可能值为，综上知，的分布列为求的期望有两种解法：解法一：由的分布列得（元）解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，则有分布列故同理得，综上有（元）例58、设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）（）求方程有实根的概率；（）求的分布列和数学期望；（）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实
44、根的概率【标准答案】:（I）基本事件总数为，若使方程有实根，则，即。当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，,目标事件个数为因此方程 有实根的概率为(II)由题意知，则，故的分布列为012P的数学期望(III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程 有实根” 为事件N，则，.例58、如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为2，的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，以表示落入中的点的数目（I）求的均值；（II）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概
45、率附表：解：每个点落入中的概率均为依题意知（）（）依题意所求概率为，例59、 123 10 20 30 4050参加人数活动次数某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为（II）从合唱团中任选两名学生，他
46、们参加活动次数恰好相等的概率为（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件易知；的分布列：012的数学期望：例60、为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差为。（）求n,p的值并写出的分布列； （）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率解：(1)由得,从而的分布列为0123456 (2)记”
47、需要补种沙柳”为事件A, 则 得 或 例61、 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 P1 P2 P3 P4 （1） 求q的值； （2） 求随机变量的数学期望E;（3） 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。解:（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中
48、为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25, P(B)= q,.根据分布列知: =0时=0.03,所以，q=0.8.（2）当=2时, P1= =0.75 q( )2=1.5 q( )=0.24当=3时, P2 =0.01,当=4时, P3=0.48,当=5时, P4=0.24所以随机变量的分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 随机变量的数学期望（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为;该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.【命题立意】:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力.
