1、23.2双曲线的简单几何性质提出问题已知双曲线C1的方程：1.问题1：双曲线C1中的三个参数a，b，c的值分别为多少？提示：3,4,5.问题2：试画出双曲线C1的草图？提示：如图所示：问题3：观察双曲线C1的图象，曲线与x轴、y轴哪一条轴有交点？有无对称性？提示：与x轴有交点，有对称性导入新知1双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c范围xa或 xa，yRya或 ya，xR对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1
2、A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a，半虚轴长：b离心率e(1，)渐近线yxyx2等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是yx，离心率为e.化解疑难对双曲线的简单几何性质的几点认识(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程1(a0，b0)，得11，x2a2，|x|a，即xa或xa.(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然(4)对称性：由双曲线的方程1(a0，b0)，若P(x，y)是双曲线上任意一点，则P1(x，y)，P2(x，y)均在双曲线上，因P
3、与P1，P2分别关于y轴、x轴对称，因此双曲线分别关于y轴、x轴对称只不过双曲线的顶点只有两个，而椭圆有四个双曲线的几何性质例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程解双曲线的方程化为标准形式是1，a29，b24，a3，b2，c.又双曲线的焦点在x轴上，顶点坐标为(3,0)，(3,0)，焦点坐标为(，0)，(，0)，实轴长2a6，虚轴长2b4，离心率e，渐近线方程为yx.类题通法已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2a2b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质活学活用求双曲
4、线9x216y21440的实半轴长、虚半轴上长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图解：把方程9x216y21440化为标准方程为1.由此可知，实半轴长a3；虚半轴长b4；c5，焦点坐标为(0，5)，(0,5)；离心率e；渐近线方程为yxx.双曲线的草图如图 利用双曲线的几何性质求其标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为yx.解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8，双曲线的标准方程为1或1.(2)设以yx为渐近线的双曲线方程为(0)，当0时，a2
5、4，2a26.当0时，a29，2a261.双曲线的标准方程为1或1.类题通法(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得再结合c2a2b2及e列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得标准方程(2)如果已知双曲线的渐近线方程为yx，那么此双曲线方程可设为(0)活学活用分别求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)；(2)双曲线过点(3,9)，离心率e.(3)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)解：(1)设双曲线的标准方
6、程为1(a0，b0)由已知得a，c2，再由a2b2c2，得b21.故双曲线C的标准方程为y21.(2)由e2，得，设a29k(k0)，则c210k，b2c2a2k.于是，设所求双曲线方程为1，或1，把(3,9)代入，得k161与k0矛盾；把(3,9)代入，得k9，故所求双曲线的标准方程为1.(3)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k(k0)，将点(2，2)代入，得k(2)22，双曲线的标准方程为1.双曲线的离心率例3已知双曲线的渐近线方程为yx，求此双曲线的离心率解当焦点在x轴上时，其渐近线方程为yx，依题意，得，ba，ca，e；当焦点在y轴上时，其渐近线方程为yx，依题意，得，b
7、a，ca，e.此双曲线的离心率为或.类题通法求双曲线离心率的常用方法(1)依据条件求出a，c，计算e.(2)依据条件建立a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解；另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e求解活学活用已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果PF2Q90，求双曲线的离心率解：设F1(c,0)，将xc代入双曲线的方程得1，则y.由|PF2|QF2|，PF2Q90，知|PF1|F1F2|，2c，b22ac.c22aca20，2210.即e22e10.e1或e1(舍去)所以所求双曲线的离心率为1.典例(12分
8、)已知斜率为2的直线被双曲线1所截得的弦长为4，求直线l的方程解题流程 活学活用已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围(2)若直线l与双曲线C两支交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值解：(1)由消去y整理，得(1k2)x22kx20.由题意知解得k且k1.所以实数k的取值范围为(，1)(1,1)(1，)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)得x1x2，x1x2.又直线l恒过点D(0，1)，且x1x20，则SOABSOADSOBD|x1|x2|x1x2|.所以(x1x2)2(x1x2)24x1
9、x2(2)2，即28.解得k0或k，由(1)知上述k的值符合题意，所以k0或k.随堂即时演练1已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为()A.1B.1C.1 D.1解析：选A由题意知c4，焦点在x轴上， 所以21e24，所以，又由a2b24a2c216，得a24，b212.所以双曲线的方程为1.2(全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A. B.C. D2解析：选A因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由双曲线的定义得2a|MF2|M
10、F1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以离心率e.3已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为54，则双曲线的标准方程为_解析：由题意得双曲线的焦点在x轴上，且a3，焦距与虚轴长之比为54，即cb54，解得c5，b4，双曲线的标准方程为1.答案：14过双曲线x21的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为_解析：双曲线的左焦点为F1(2,0)，将直线AB的方程y(x2)代入双曲线方程，得8x24x130，显然0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x2，|AB| 3.答案：35求适合下
11、列条件的双曲线的标准方程：(1)过点(3，)，离心率e；(2)中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，)解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为1(a0，b0)因为双曲线过点(3，)，则1.又e ，故a24b2.由得a21，b2，故所求双曲线的标准方程为x21.若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为1(a0，b0)同理可得b2，不符合题意综上可知，所求双曲线的标准方程为x21.(2)由2a2b得ab，e ，所以可设双曲线方程为x2y2(0)双曲线过点P(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.双曲线的标准方程为1. 课时达标检测一、选择题1下列双
12、曲线中离心率为的是()A.1B.1C.1 D.1解析：选B由e得e2，则，即a22b2.因此可知B正确2中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x4y120上的等轴双曲线方程是()Ax2y28 Bx2y24Cy2x28 Dy2x24解析：选A令y0得，x4，等轴双曲线的一个焦点坐标为(4,0)，c4，a2c2168，故选A.3(全国乙卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3) B(1，)C(0,3) D(0，)解析：选A由题意得(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2n3m2n4，即m21，所以1n3.4
13、双曲线1的离心率e(1,2)，则k的取值范围是()A(10,0) B(12,0)C(3,0) D(60，12)解析：选B由题意知k0，a24，b2k.e21.又e(1,2)，114，12k0.5(天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()A.y21 Bx21C.1 D.1解析：选A由焦距为2，得c.因为双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，所以.又c2a2b2，解得a2，b1，所以双曲线的方程为y21.二、填空题6若双曲线1的渐近线方程为yx，则双曲线的焦点坐标是_解析：由渐近线方程为yxx，得m3，所以c.又因为焦点在x轴上，
14、所以焦点坐标为(，0)答案：(，0)7过双曲线1(a0，b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为_解析：由题意知，ac，即a2acc2a2，c2ac2a20，e2e20，解得e2或e1(舍去)答案：28双曲线1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_解析：双曲线1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为yx.不妨设直线FB的方程为y(x5)，代入双曲线方程整理，得x2(x5)29，解得x，y，所以B.所以SAFB|AF|yB|(ca)|yB|(53)
15、.答案：三、解答题9已知椭圆方程是1，双曲线E的渐近线方程是3x4y0，若双曲线E以椭圆的焦点为其顶点，求双曲线的方程解：由已知，得椭圆的焦点坐标为(，0)，顶点坐标为(，0)和(0，)因双曲线以椭圆的焦点为顶点，即双曲线过点(，0)时，可设所求的双曲线方程为9x216y2k(k0)，将点的坐标代入得k45，故所求方程是1.10已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，且.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2y25上，求m的值解：(1)由题意得解得所以b2c2a22.所以双曲线C的方程为x21.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)由得x22mxm220(判别式0)所以x0m，y0x0m2m.因为点M(x0，y0)在圆x2y25上，所以m2(2m)25.故m1.