1、_1.4全称量词与存在量词全称量词和全称命题提出问题观察下列语句：(1)2x是偶数；(2)对于任意一个xZ,2x都是偶数(3)所有的三角函数都是周期函数问题1：以上语句是命题吗？提示：(1)不是命题，(2)(3)是命题问题2：上述命题中强调的是什么？提示：(2)强调“任意一个xZ”，(3)强调“所有的三角形”导入新知全称量词和全称命题全称量词所有的、任给、每一个、对一切符号全称命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为xM，p(x)化解疑难全称命题是强调命题的一般性，是对于某一个给定集合的所有元素是否具有某种性质来说的.存在量词与特称命题提出问题观察下列语句
2、：(1)存在一个x0R，使2x0210；(2)至少有一个x0R，使x0能被5和8整除问题1：以上语句是命题吗？提示：都是命题问题2：上述命题有什么特点？提示：两命题中变量x0取值有限制，即“存在一个x0R”，“至少有一个x0R”导入新知存在量词和特称命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些符号表示特称命题含有存在量词的命题形式“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为x0M，p(x0)化解疑难特称命题是强调命题的存在性，是对于某一个给定集合的某些元素是否具有某种性质来说的含有一个量词的命题的否定提出问题观察下列命题：(1)有的函数是偶函数；(2)三角形都有外接圆问题
3、1：上述命题是全称命题还是特称命题？提示：(1)是特称命题，(2)是全称命题问题2：上述命题的量词各是什么？其量词的“反面”是什么？提示：有的；所有的所有的；存在一个导入新知含有一个量词的命题的否定化解疑难一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词全称命题与特称命题例1判断下列语句是全称命题，还是特称命题(1)凸多边形的外角和等于360；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角，都有sin2cos21；(4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则
4、这个四边形的对角线互相垂直解(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360，故为全称命题(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题类题通法判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断活学活用用全称量词或存在量词表示下列语句：(1)不等式x2x10恒成立；(2)当x为有理数时，x2x1也是有理数；(3)等式sin()sin sin 对有些角，成立；(
5、4)方程3x2y10有整数解解：(1)对任意实数x，不等式x2x10成立(2)对任意有理数x，x2x1是有理数(3)存在角，使sin()sin sin 成立(4)存在一对整数x，y，使3x2y10成立.全称命题、特称命题的真假例2指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假(1)xN,2x1是奇数；(2)存在一个x0R，使0；(3)存在一组m，n的值，使mn1；(4)至少有一个集合A，满足A1,2,3解(1)是全称命题因为对任意自然数x,2x1都是奇数，所以该命题是真命题(2)是特称命题因为不存在x0R，使0成立，所以该命题是假命题(3)是特称命题当m4，n3时，mn1成立，所以该命题
6、是真命题(4)是特称命题存在A3，使A1,2,3成立，所以该命题是真命题类题通法(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题活学活用判断下列命题的真假：(1)p：所有的单位向量都相等；(2)p：任一等比数列an的公比q0；(3)p：x0R，x2x030.解：(1)p是全称命题，是假命题若两个单位向量e1，e2方向不相同，虽然有
7、|e1|e2|1，但e1e2.(2)p是全称命题，是真命题根据等比数列的定义知，任一等比数列中，其每一项an0，所以其公比q0(n1,2,3，)(3)p是特称命题，是假命题因为对于綈p：xR，x22x30是真命题，这是因为x22x3(x1)2220恒成立.全称命题与特称命题的否定例3写出下列命题的否定，并判断其真假(1)p：xR，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：x0R，x4x060；(4)s：至少有一个实数x，使x310.解(1)綈p：x0R，xx00，假命题因为xR，x2x20恒成立 (2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题(3)綈r：xR，x24x60，真命题(4
8、)綈s：xR，x310，假命题，因为x1时，x310.类题通法(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定活学活用判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定：(1)有一个奇数不能被3整除；(2)xZ，x2与3的和不等于0；(3)有些三角形的三个内角都为60；(4)每个三角形至少有两个锐角；(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线解：(1)是特称命题
9、，否定为：每一个奇数都能被3整除(2)是全称命题，否定为：x0Z，x与3的和等于0.(3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60.(4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角(5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线全称命题与特称命题的应用例4若命题“x1，)，x22ax2a”是真命题，求实数a的取值范围解法一：由题意，x1，)，令f(x)x22ax2a恒成立，所以f(x)(xa)22a2a可转化为x1，)，f(x)mina恒成立，而x1，)，f(x)min由f(x)
10、的最小值f(x)mina，知a3,1法二：x22ax2a，即x22ax2a0，令f(x)x22ax2a，所以全称命题转化为x1，)，f(x)0恒成立，所以0或即2a1或3a2.所以3a1.综上，所求实数a的取值范围是3,1类题通法应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定
11、的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设活学活用若存在x0R，使ax2x0a0，求实数a的取值范围解：当a0时，显然存在x0R，使ax2x0a0；当a0时，需满足44a20，得1a1，故0a1.综上所述，实数a的取值范围是(，1)典例(浙江高考)命题“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是()AxR，nN*，使得nx2BxR，nN*，使得nx2CxR，nN*，使得nx2DxR，nN*，使得nx2解析由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“xR，nN*，使得nx2”的否定形式为“xR，nN*，使得nx2”答案
12、D易错防范1因只否定了一个量词，而误选B或C.2对含有量词的命题进行否定时，要明确否定的实质，不应只简单地对量词进行否定，应遵循否定的要求，同时熟练记住一些常用量词的否定形式及其规律成功破障命题“存在xR，使得2x2x12n，则綈p为()AnN，n22nBnN，n22nCnN，n22n DnN，n22n解析：选C因为“xM，p(x)”的否定是“xM，綈p(x)”，所以命题“nN，n22n”的否定是“nN，n22n”，故选C.2下列语句是真命题的是()A所有的实数x都能使x23x60成立B存在一个实数x使不等式x23x60成立C存在一条直线与两个相交平面都垂直D有一条直线和两个相交平面都垂直解析
13、：选A0，x23x60对xR恒成立，故排除B；假设存在这样的直线与两个相交平面垂直，则两个平面必平行，故排除C，D.3有下列四个命题：xR,2x23x40；x1，1,0,2x10；x0N，使xx0；x0N*，使x0为29的约数其中真命题的个数为()A1B2 C3D4解析：选C对于，这是全称命题，由于(3)24240，所以2x23x40恒成立，故为真命题；对于，这是全称命题，由于当x1时，2x10不成立，故为假命题；对于，这是特称命题，当x00或x01时，有xx0成立，故为真命题；对于，这是特称命题，当x01时，x0为29的约数成立，所以为真命题4以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A锐角
14、三角形的内角是锐角或钝角B至少有一个实数x，使x20C两个无理数的和必是无理数D存在一个负数x，使2解析：选BA中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x0时，x20，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为()0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有0，所以D是假命题5已知a0，函数f(x)ax2bxc.若x0满足关于x的方程2axb0，则下列选项的命题中为假命题的是()AxR，f(x)f(x0)BxR，f(x)f(x0)CxR，f(x)f(x0)DxR，f(x)f(x0)解析：选C由题意知：x0为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f
15、(x)f(x0)，因此xR，f(x)f(x0)是假命题二、填空题6命题“xR,3x22x10”的否定是_解析：“xM，p(x)”的否定为“x0M，綈p(x0)”，其否定为x0R,3x2x010.答案：x0R,3x2x0107下列命题中，是全称命题的是_；是特称命题的是_(填序号)正方形的四条边相等；有两个角相等的三角形是等腰三角形；正数的平方根不等于0；至少有一个正整数是偶数解析：可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；是特称命题答案：8已知命题“x0R,2x(a1)x00”是假
16、命题，则实数a的取值范围是_解析：由题意可得“对xR,2x2(a1)x0恒成立”是真命题令(a1)240，得1a3.答案：(1,3)三、解答题9用“”“”写出下列命题的否定，并判断真假：(1)二次函数的图象是抛物线；(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；(3)有些四边形存在外接圆；(4)a，bR，方程axb0无解解：(1)f(x)二次函数，f(x)的图象不是抛物线它是假命题(2)在直角坐标系中，l直线，l不是一次函数的图象它是真命题(3)x四边形，x不存在外接圆它是假命题(4)a，bR，方程axb0至少有一解它是假命题10已知命题p：“至少存在一个实数x01,2，使不等式x22ax2a0成立”为真，试求参数a的取值范围解：法一：由题意知，x22ax2a0在1,2上有解，令f(x)x22ax2a，则只需f(1)0或f(2)0，即12a2a0，或44a2a0.整理得a3或a2，即a3.故参数a的取值范围为(3，)法二：綈p：x1,2，x22ax2a0无解，令f(x)x22ax2a，则即解得a3.故命题p中，a3，即参数a的取值范围为(3，)