1、课时规范练37利用空间向量求空间角和距离基础巩固组1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为()A.12B.23C.33D.222.(2020山西大同第一中学高三3月月考)已知圆锥的底面圆心为O,SA,SB为圆锥的两条母线,且SA与圆锥底面所成的角为30,AOB=60,则SB与平面SOA所成的角的正弦值为()A.34B.34C.12D.323.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,E,F,G分别为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()A.35B.56C.3310D.36104.(多选)设
2、三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为,直线PB与平面ABC所成的角为,二面角P-AC-B的平面角为,则,大小关系正确的是()A.B.=C.D.5.(多选)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,ACB=90,D,E,F分别为AC,AA1,AB的中点.则下列结论正确的是()A.AC1与EF相交B.B1C1平面DEFC.EF与AC1所成的角为90D.点B1到平面DEF的距离为3226.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,二面角B-AA1-C1的大小为60,点B到平面ACC1A1的距离为3,点C
3、到平面ABB1A1的距离为23,则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为.7.(2020四川三模)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=3,AA1=7,BAD=3,BAA1=DAA1=4,则AC1的长为.8.(2020广西壮族自治区高三模拟)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,ACB=90,AA1=2AC,P是侧棱CC1上的点.(1)若APB=60,证明:P是CC1的中点;(2)若CP=3PC1,求二面角B-AP-C的余弦值.9.(2020辽宁辽河油田第二高级中学高三月考(理)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面AA1C1C平面ABC
4、,ABC=90,BAC=30,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.(1)证明:EFBC;(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.10.(2020湖北高三模考)如图所示,多面体是由底面为ABCD的直四棱柱被截面AEFG所截而得到的,该直四棱柱的底面为菱形,其中AB=2,CF=5,BE=1,BAD=60.(1)求BG的长;(2)求平面AEFG与底面ABCD的夹角的余弦值.综合提升组11.(2020河北高三联考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱B1C1的中点,点F是线段CD1上的一个动点.有以下三个命题:异面直线AC1与B1F所成的角是定值;三棱锥B-A1EF
5、的体积是定值;直线A1F与平面B1CD1所成的角是定值.其中真命题的个数是()A.3B.2C.1D.012.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B.56C.55D.2213.(2020辽宁高三三模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,DAB=60,PD平面ABCD,点F为棱PD的中点.(1)在棱BC上是否存在一点E,使得CF平面PAE,并说明理由;(2)当二面角D-FC-B的余弦值为66时,求直线AF与平面BCF所成的角的正弦值.创新应用组14.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯
6、形,ADBC,ABBC,AB=3,BC=2AD=2,E为CD的中点,PBAE.(1)证明:平面PBD平面ABCD;(2)若PB=PD,PC与平面ABCD所成的角为4,试问“在侧面PCD内是否存在一点N,使得BN平面PCD?”若存在,求出点N到平面ABCD的距离;若不存在,请说明理由.参考答案课时规范练37利用空间向量求空间角和距离1.B以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设棱长为1,则A1(0,0,1),E1,0,12,D(0,1,0),A1D=(0,1,-1),A1E=1,0,-12,设平面A1ED的一个法向量为n1=(x,y,z),则n1A1D=0,n1A1E=0,即y-
7、z=0,x-12z=0,令x=1,则x=1,y=2,z=2,n1=(1,2,2).又平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),cos=231=23.即平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为23.故选B.2.B如图所示,C为AO中点,连接BC,SC,设底面圆的半径为r,SA与圆锥底面所成的角为SAO=30,故SO=33r,SB=233r,因为AOB=60,故OAB为等边三角形,BC=32r,BCAO,易知SOBC,故BC平面SOA,故BSC为SB与平面SOA所成的角,sinBSC=BCSB=32r233r=34.故选B.3.A设正三棱柱的棱长为2,取AC的中点D,连接DG,DB,分别以D
8、A,DB,DG所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B1(0,3,2),F(1,0,1),E12,32,0,G(0,0,2),B1F=(1,-3,-1),EF=12,-32,1,GF=(1,0,-1).设平面GEF的法向量n=(x,y,z),则EFn=0,GFn=0,即12x-32y+z=0,x-z=0,取x=1,则z=1,y=3,故n=(1,3,1)为平面GEF的一个法向量,所以cos=1-3-155=-35,所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为35,故选A.4.AC过点B作直线lAC,过点P作底面ABC的垂线PD,D为垂足,过点D作DFAB于点F,作DEl于点E,连
9、接AD,BD,PF,PE.由题意可知,二面角P-AC-B的大小与二面角P-AB-C的大小相等,结合空间角的定义知PBE=,PBD=,PFD=,在RtPEB与RtPDB中,由PEPD,得sinsin,(,均为锐角).故A正确,B错误;在RtPDB与RtPDF中,由PBPF,得sin(,均为锐角).故C正确;由于不存在PB=PF的可能,故D错误,故选AC.5.BCD对选项A,由图知AC1平面ACC1A1,EF平面ACC1A1=E,且EAC1.由异面直线的定义可知AC1与EF异面,故A错误;对于选项B,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1BC.D,F分别是AC,AB的中点,FDBC,B1C1F
10、D.又B1C1平面DEF,DF平面DEF,B1C1平面DEF.故B正确;对于选项C,由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2),D(1,0,0),E(2,0,1),F(1,1,0).EF=(-1,1,-1),AC1=(-2,0,2).EFAC1=2+0-2=0,EFAC1,EF与AC1所成的角为90.故C正确;对于选项D,设向量n=(x,y,z)是平面DEF的一个法向量.DE=(1,0,1),DF=(0,1,0),nDE=0,nDF=0,得x+z=0,y=0.取x=1,则z=-1,n=(1,0,-1).设点B1到平面DEF的距离为d.又DB
11、1=(-1,2,2),d=|DB1n|n|=|-1+0-2|2=322,点B1到平面DEF的距离为322,故D正确.故选BCD.6.7由题意可知,BAC=60,点B到平面ACC1A1的距离为3,点C到平面ABB1A1的距离为23,由于侧面和底面垂直,由面面垂直的性质定理可得,B到AC的距离为3,C到AB的距离为23,所以在三角形ABC中,AB=2,AC=4,BC=23,ABC=90,则AB1BC1=(BB1-BA)(BB1+BC)=4,|AB1|=22,|BC1|=4,cos=AB1BC1|AB1|BC1|=4224=24,sin=1-242=144.故tan=7.7.98+562平行六面体A
12、BCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=3,AA1=7,BAD=3,BAA1=DAA1=4,AC1=AB+BC+CC1,则|AC1|2=AC12=(AB+BC+CC1)2=|AB|2+|BC|2+|CC1|2+2|AB|BC|cos3+2|BC|CC1|cos4+2|AB|CC1|cos4=25+9+49+25312+23722+25722=98+562.|AC1|=|AC1|=98+562.8.(1)证明由直三棱柱ABC-A1B1C1得C1C平面ABC,AC,BC在平面ABC中,C1CAC,C1CBC.ABC为等腰直角三角形,ACB=90,AC=BC,且AB=2AC,由勾股定理得AP=A
13、C2+PC2=BC2+PC2=BP,APB=60,ABP是等边三角形,则AP=AB=2AC,由勾股定理得PC=AP2-AC2=AC=12AA1=12CC1,P为CC1的中点.(2)解易知CA,CB,CC1两两垂直,以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,设AC=2,则A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,3),AB=(-2,2,0),AP=(-2,0,3),设平面ABP的法向量为n=(x,y,z),由nAB=0,nAP=0,得-2x+2y=0,-2x+3z=0,令x=3,得y=3,z=2,n=(3,3,2),又平面AC
14、P的法向量为m=(0,1,0),cos=mn|m|n|=3122=32222,由图形可知,二面角B-AP-C为锐角,二面角B-AP-C的余弦值为32222.9.(1)证明如图所示,连接A1E,B1E,在等边三角形AA1C中,AE=EC,则A1EAC,平面ABC平面A1ACC1,且平面ABC平面A1ACC1=AC,A1E平面ABC,故A1EBC.由三棱柱的性质可知A1B1AB,而ABBC,故A1B1BC,且A1B1A1E=A1,BC平面A1B1E,EF平面A1B1E,EFBC.(2)解在底面ABC内作EHAC,交AB于点H,以点E为坐标原点,EH,EC,EA1方向分别为x轴,y轴,z轴正方向建立
15、空间直角坐标系E-xyz.设EH=1,则AE=EC=3,AA1=CA1=23,BC=3,AB=A1E=3,则A(0,-3,0),B32,32,0,A1(0,0,3),C(0,3,0),A1B=32,32,-3,BC=-32,32,0.由AB=A1B1可得点B1的坐标为B132,332,3,利用中点坐标公式可得F34,334,3,由于E(0,0,0),故直线EF的方向向量为EF=34,334,3,设平面A1BC的法向量为m=(x,y,z),则mA1B=0,mBC=0,所以32x+32y-3z=0,-32x+32y=0,取x=1,则y=3,z=1,则平面A1BC的一个法向量为m=(1,3,1),所
16、以cos=EFm|EF|m|=65352=45,设直线EF与平面A1BC所成角为,则sin=|cos|=45,故cos=35.10.解(1)因为多面体是由底面为ABCD的直四棱柱被截面AEFG所截而得到的,所以平面ADG平面BCFE,又因为平面ADG平面AEFG=AG,平面BCFE平面AEFG=EF,所以AGEF,同理AEGF,所以四边形AEFG是平行四边形.连接AC,BD交于点O,以O为原点,OB,OC所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(0,-3,0),B(1,0,0),E(1,0,1),F(0,3,5),所以AG=EF=(-1,3,4),AB=(1,3,0
17、),所以BG=AG-AB=(-2,0,4),所以|BG|=(-2)2+0+42=25,所以BG的长为25.(2)根据题意可取平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),由(1)知AG=(-1,3,4),AE=(1,3,1),设平面AEFG的法向量为n=(x,y,z),则由nAE=0,nAG=0,得x+3y+z=0,-x+3y+4z=0,令z=23,则x=33,y=-5,所以n=(33,-5,23),所以cos=mn|m|n|=23127+25+12=34,所以平面AEFG与底面ABCD的夹角的余弦值为34.11.B以A点为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标
18、系,设正方体棱长为1,可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),设F(t,1,1-t)(0t1),可得AC1=(1,1,1),B1F=(t-1,1,-t),可得AC1B1F=0,故异面直线AC1与B1F所成的角是定值,故正确;三棱锥B-A1EF的底面A1BE面积为定值,且CD1BA1,点F是线段CD1上的一个动点,可得点F到底面A1BE的距离为定值,故三棱锥B-A1EF的体积是定值,故正确;A1F=(t,1,-t),B1C=(0,1,-1),B1D1=(-1,1,0),可得平面B1
19、CD1的一个法向量为n=(1,1,1),可得cos不为定值,故错误.故选B.12.C以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,3),B1(1,1,3),所以AD1=(-1,0,3),DB1=(1,1,3),设异面直线AD1与DB1所成的角为,则cos=|cos|=-1+31+31+1+3=55.13.解(1)在棱BC上存在点E,使得CF平面PAE,点E为棱BC的中点.取PA的中点Q,连接EQ,FQ,由题意,FQAD,且FQ=12AD,CEAD,且CE=12AD,故CEFQ,且CE=FQ.四边形CEQF为平
20、行四边形.CFEQ,又CF平面PAE,EQ平面PAE,CF平面PAE.(2)取AB中点M,PD平面ABCD,PDDM,PDDC,又易知DMDC,以D为坐标原点,分别以DM,DC,DP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设FD=a,则D(0,0,0),F(0,0,a),C(0,2,0),B(3,1,0),A(3,-1,0).则FC=(0,2,-a),CB=(3,-1,0).设平面FBC的一个法向量为m=(x,y,z).由mFC=2y-az=0,mCB=3x-y=0,取x=1,得m=1,3,23a;取平面DFC的一个法向量为n=(1,0,0).由题意,66=|cos|=11+3+12a2
21、,解得a=6.m=(1,3,2),AF=(-3,1,6).设直线AF与平面BCF所成的角为,则sin=|cos|=|mAF|m|AF|=23610=55.即直线AF与平面BCF所成的角的正弦值为55.14.(1)证明由四边形ABCD是直角梯形,AB=3,BC=2AD=2,ABBC,可得DC=2,BCD=3,从而BCD是等边三角形,BD=2,BD平分ADC.E为CD的中点,DE=AD=1,BDAE,又PBAE,PBBD=B,AE平面PBD.又AE平面ABCD,平面PBD平面ABCD.(2)解存在.在平面PBD内作POBD于点O,连接OC,又平面PBD平面ABCD,平面PBD平面ABCD=BD,P
22、O平面ABCD.PCO为PC与平面ABCD所成的角,则PCO=4,PB=PD,POBD,O为BD的中点,OCBD,OP=OC=3.以OB,OC,OP所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(0,3,0),D(-1,0,0),P(0,0,3),假设在侧面PCD内存在点N,使得BN平面PCD成立,设PN=PD+PC(0,0,+1),由题意得N(-,3,-3(+-1),BN=(-1,3,-3(+-1),PC=(0,3,-3),PD=(-1,0,-3),由BNPC=0,BNPD=0得3+3(+-1)=0,+1+3(+-1)=0,解得=15,=25,满足题意,N点到平面ABCD的距离为-3(+-1)=235.