1、(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1下列三句话按三段论模式排列顺序正确的是()ycos x(xR)是三角函数；三角函数是周期函数；ycos x(xR)是周期函数ABC D解析：选B按三段论的模式，排列顺序正确的是.2将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：abba；(ab)ca(bc)；a(bc)abac；由abac(a0)可得bc.则正确的结论有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选B平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故正确，错误；由abac(a0)得a(bc)0，从而bc0或a(bc)，故错误3(山
2、东高考)用反证法证明命题“设a，b 为实数，则方程x3axb0 至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程 x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0 至多有两个实根D方程x3axb0 恰好有两个实根解析：选A“至少有一个实根”的否定是“没有实根”，故要做的假设是“方程x3axb0没有实根”4由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面_”()A各正三角形内一点B各正三角形的某高线上的点C各正三角形的中心D各正三角形外的某点解析：选C正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心5已知a(0，)，不等式x2，x3
3、，x4，可推广为xn1，则a的值为()A2n Bn2C22(n1) Dnn解析：选D将四个答案分别用n1,2,3检验即可，故选D.6下列四类函数中，具有性质“对任意的x0，y0，函数f(x)满足f(x)yf(xy)”的是()A指数函数 B对数函数C一次函数 D余弦函数解析：选A当函数f(x)ax(a0，a1)时，对任意的x0，y0，有f(x)y(ax)yaxyf(xy)，即指数函数f(x)ax(a0，a1)满足f(x)yf(xy)，可以检验，B、C、D选项均不满足要求7观察下列各等式：2，2，2，2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为()A.2B.2C.2D.2解析：选A观察分子中26
4、537110(2)8.8用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为()A6n2 B8n2C6n2 D8n2解析：选C归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an6n2.9设ABC的三边长分别为a，b，c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体PABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r()A. B.C. D.解析：选C将ABC的三条边长a
5、，b，c类比到四面体PABC的四个面面积S1，S2，S3，S4，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，VS1rS2rS3rS4r，r.10数列an满足a1，an11，则a2 015等于()A. B.1C2 D3解析：选Ba1，an11，a211，a312，a41，a511，a612，an3kan(nN*，kN*)，a2 015a23671a21.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11已知 2 ， 3 ， 4 ，若 6 (a，b均为实数)，则a_，b_.解析：由前面三个等式，推测归纳被
6、平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 中：a6，b62135，即a6，b35.答案：63512已知圆的方程是x2y2r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.类比上述性质，可以得到椭圆1类似的性质为_解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换故可得椭圆1类似的性质为：经过椭圆1上一点P(x0，y0)的切线方程为1.答案：经过椭圆1上一点P(x0，y0)的切线方程为113若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个
7、值x1，x2，xn，总满足f(x1)f(x2)f(xn)f，称函数f(x)为D上的凸函数现已知f(x)sin x在(0，)上是凸函数，则ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_解析：因为f(x)sin x在(0，)上是凸函数(小前提)，所以(sin Asin Bsin C)sin(结论)，即sin Asin Bsin C3sin.因此，sin Asin Bsin C的最大值是.答案：14观察下图：1234 3 4 567 4 5 678910则第_行的各数之和等于2 0152.解析：观察知，图中的第n行各数构成一个首项为n，公差为1，共2n1项的等差数列，其各项和为Sn(2n1)n
8、(2n1)n(2n1)(n1)(2n1)2，令(2n1)22 0152，得2n12 015，解得n1 008.答案：1 008三、解答题(本大题共4小题，共50分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，an有如下性质：(m，n，p，qN*)通项anam(nm)d；若mnpq，则amanapaq；若mn2p，则aman2ap；Sn，S2nSn，S3nS2n构成等差数列类比上述性质，在等比数列bn中，写出相类似的性质解：在等比数列bn中，公比为(0)，前n项和为Sn，bn有如下性质：(m，n，p，qN*)通项bnbmnm；若mn
9、pq，则bmbnbpbq；若mn2p，则bmbnb；Sn，S2nSn，S3nS2n(Sn0)构成等比数列16(本小题满分12分)(北京高考节选)已知数列an满足：a1N*，a136，且an1(n1,2，)记集合Man|nN*(1)若a16，写出集合M的所有元素；(2)若集合M存在一个元素是3 的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数解：(1)6,12,24.(2)证明：因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数由an1可归纳证明对任意nk，an是3的倍数如果k1，则M的所有元素都是3的倍数如果k1，因为ak2ak1或ak2ak136，所以2ak1是3的倍数，于是ak1是3的倍数类
10、似可得，ak2，a1都是3的倍数从而对任意n1，an是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数17(本小题满分12分)已知ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，成等差数列(1)比较 与 的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B不可能是钝角解：(1) .证明如下：要证 ，只需证.a，b，c0，只需证b2ac.，成等差数列，2 ，b2ac.又a，b，c均不相等，b2ac.故所得大小关系正确(2)证明：法一：假设角B是钝角，则cos B0.由余弦定理得，cos B0，这与cos B0矛盾，故假设不成立所以角B不可能
11、是钝角法二：假设角B是钝角，则角B的对边b为最大边，即ba，bc，所以0，0，则，这与矛盾，故假设不成立所以角B不可能是钝角18(本小题满分14分)我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？(1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义(2)若an是等积数列，且首项a12，公积为6，试写出an的通项公式及前n项和公式解：(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积(2)由于an是等积数列，且首项a12，公积为6，所以a23，a32，a43，a52，a63，即an的所有奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此an的通项公式为an其前n项和公式Sn