1、_2.2直接证明与间接证明22.1综合法和分析法综合法提出问题阅读下面证明过程，回答问题求证：是函数f(x)sin的一个周期证明：因为f(x)sinsinsinf(x)，所以由周期函数的定义可知，是函数f(x)sin的一个周期问题1：本题的条件和结论各是什么？提示：条件：f(x)sin；结论：是f(x)的一个周期问题2：本题的证明顺序是什么？提示：从已知利用诱导公式到待证结论导入新知1综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法2综合法的框图表示(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)
2、化解疑难综合法的特点(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明.分析法提出问题阅读下面证明过程，回答问题求证：2.证明：要证原不等式成立，只需证()2(2)2，即证22，该式显然成立，因此原不等式成立问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始问题2：证明思路是什么？提示：寻求每一步成立的充分条件导入新知1分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种
3、证明方法叫做分析法2分析法的框图表示化解疑难分析法的特点(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等综合法的应用例1已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc.证明a，b，c是正数，b2c22bc，a(b2c2)2abc.同理，b(c2a2)2abc，c(a2b2)2abc.a，b，c不全相等，b2c22bc，c2a22ca，a2b22ab三式中不能同时取到“”式相加得a(b2c2)b(c2a2)c(a2
4、b2)6abc.类题通法综合法的证明步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程活学活用已知a0，b0，且ab1，求证：9.证明：a0，b0，ab1，41552 549.当且仅当，即a2b时“”成立.分析法的应用例2设a，b为实数，求证 (ab)证明当ab0时，0，(ab)成立当ab0时，用分析法证明如下：要证(ab)，只需证()22，即证a2b2(a2b22ab)，即证a2b22ab.a2b22ab对一切实数恒成立，(ab)成立综上所述，不等
5、式得证类题通法分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可(2)书写形式：要证，只需证，即证，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立活学活用在锐角ABC中，求证：tan Atan B1.证明：要证tan Atan B1，只需证1.A，B均为锐角，cos A0，cos B0.即证sin Asin Bcos Acos B，即cos Acos Bsin Asin B0，只需证cos(AB)0.ABC为锐角三角形，90AB180，cos(AB)0，因此tan Atan B1.综合法和分析法的综合应用例3已知
6、ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(ab)1(bc)13(abc)1.证明法一：(分析法)要证(ab)1(bc)13(abc)1，即证，只需证3，化简，得1，即c(bc)(ab)a(ab)(bc)，所以只需证c2a2b2ac.因为ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B60，所以cos B，即a2c2b2ac成立(ab)1(bc)13(abc)1成立法二：(综合法)因为ABC的三内角A，B，C成等差数列，所以B60.由余弦定理，有b2c2a22accos 60，所以c2a2acb2，两边加abbc，得c(bc)a(ab)(ab)(bc)，两边
7、同时除以(ab)(bc)，得1，所以3，即，所以(ab)1(bc)13(abc)1.类题通法综合法与分析法的适用范围(1)综合法适用的范围定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型(2)分析法适用的范围分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题活学活用设a，b(0，)，且ab.求证：a3b3a2bab2.证明：法一：(分析法)要证a3b3a2bab2成立，即需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立又因ab0，故只需证a2abb2ab成立，即需证a22abb20成立，即
8、需证(ab)20成立而依题设ab，则(ab)20显然成立由此命题得证法二：(综合法)abab0(ab)20a22abb20a2abb2ab.a0，b0，ab0，(ab)(a2abb2)ab(ab)a3b3a2bab2.典例(12分)设f(x)ax2bxc(a0)，若函数yf(x1)的图象与f(x)的图象关于y轴对称求证：f为偶函数解题流程规范解答法一：要证f为偶函数，只需证明其对称轴为直线x0，(2分)即只需证0，只需证ab，(4分)由已知，抛物线f(x1)的对称轴x1与f(x)的对称轴x关于y轴对称，(8分)1，ab，(10分)f为偶函数(12分)法二：要证f为偶函数，只需证ff.(2分)令
9、xt，则xt，只需证f(t)f(t1)，(6分)即证f(x)f(x1)因为函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，所以函数yf(x)上任一点(x，f(x)，关于y轴的对称点(x，f(x)在yf(x1)上，即f(x1)f(x)，(10分)所以f为偶函数(12分) 名师批注用分析法证明，将问题转化为证明ab.此处易找错对称轴而导致解题错误利用综合法，将函数图象的对称问题转化为两条轴关于y轴对称此处易出现找不到此关系式而导致问题无法证明的情况由偶函数的定义可知，若f为偶函数，则有ff成立此处易误认为ff成立而导致错误以上是用分析法证明的以下是用综合法证明的此处易发生不会利用f(x1)与f(x)的
10、图象关于y轴对称这一条件，而造成问题无法证明 活学活用已知a，b，ab1，求证：2.证明：要证2，只需证2(ab)228.因为ab1，即证2.因为a，b，所以2a10,2b10，所以2，即2成立，因此原不等式成立随堂即时演练1“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与aB是sin Asin B的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选C若AB，则ab，又，sin Asin B；若sin Asin B，则由正弦定理得ab，AB.5已知f(x)ax1,0a1，若x1，x2R，且x1x2，则()A.fB.fC.fD.f解
11、析：选D因为x1x2，所以 a1f，所以f.二、填空题6命题“函数f(x)xxln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)xxln x取导得f(x)ln x，当x(0,1)时，f(x)ln x0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了_的证明方法解析：该证明过程符合综合法的特点答案：综合法7如果abab，则实数a，b应满足的条件是_解析：ababaabba()b()(ab)()0()()20，故只需ab且a，b都不小于零即可答案：a0，b0且ab8已知sin cos 且，则cos 2_.解析：因为sin cos ，所以1sin 2，所以sin 2.因为，所以2.所以
12、cos 2.答案：三、解答题9求证：2cos().证明：要证原等式成立，只需证：2cos()sin sin(2)sin ，左边2cos()sin sin()2cos()sin sin()cos cos()sin cos()sin sin()cos sin 右边所以原等式成立10(天津高考)已知an是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的nN*，bn是an和an1的等比中项(1)设cnbb，nN*，求证：数列cn是等差数列；(2)设a1d，Tn(1)kb，nN*，求证：.证明：(1)由题意得banan1，cnbban1an2anan12dan1.因此cn1cn2d(an2an1)2d2，所以cn是等差数列(2)Tn(bb)(bb)(bb)2d(a2a4a2n)2d2d2n(n1)所以.