1、12任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数第一课时三角函数的定义任意角的三角函数的定义提出问题使锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PMx轴于M，设P(x，y)，|OP|r.问题1：角的正弦、余弦、正切分别等于什么？提示：sin ，cos ，tan .问题2：对于确定的角，sin ，cos ，tan 是否随P点在终边上的位置的改变而改变？提示：否问题3：若|OP|1，则P点的轨迹是什么？这样表示sin ，cos ，tan 有何优点？提示：P点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的单位圆，即P点是单位圆与角终边的交点，在单位圆中定义sin ，cos ，tan
2、更简便导入新知1任意角三角函数的定义(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆(2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin ，即sin y；x叫做的余弦，记作cos ，即cos x；叫做的正切，记作tan ，即tan (x0). 2三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数化解疑难对三角函数定义的理解(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应(2)三角函数是用比值来定义的
3、，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围(3)三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关.三角函数值的符号提出问题问题1：若角是第二象限角，则它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？提示：若角为第二象限角，则x0，y0, sin 0，cos 0，tan 0.问题2：当角是第四象限角时，它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？提示：sin 0，cos 0，tan 0.问题3：取角分别为30，390，330，它们的三角函数值是什么关系？为什么？提示：相等因为它们的终边重合问题4：取90，90时，它们的正切值存在
4、吗？提示：不存在导入新知1三角函数的定义域三角函数定义域sin Rcos Rtan 2三角函数值的符号化解疑难巧记三角函数值的符号三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”即第一象限各三角函数值均为正，第二象限只有正弦值为正，第三象限只有正切值为正，第四象限只有余弦值为正.诱导公式一提出问题问题：若角与的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sin 与sin ，cos 与cos ，tan 与tan 之间有什么关系？提示：sin sin ，cos cos ，tan tan .导入新知终边相同的角的同一三角函数的值(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等(2)公式：sin(k
5、2)sin_，cos(k2)cos_，tan(k2)tan_，其中kZ.化解疑难诱导公式一的结构特点(1)其结构特点是函数名相同，左边角为k2，右边角为.(2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现(3)此公式也可以记为：sin(k360)sin ，cos(k360)cos ，tan(k360)tan ，其中kZ.三角函数的定义及应用例1(1)若角的终边经过点P(5，12)，则sin _，cos _，tan _.(2)已知角的终边落在直线xy0上，求sin ，cos ，tan 的值解(1)(2)直线xy0，即yx，经过第二、四象限，在第二
6、象限取直线上的点(1，)，则r2，所以sin ，cos ，tan ；在第四象限取直线上的点(1，)，则r2，所以sin ，cos ，tan .类题通法利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sin ，余弦值cos ，正切值tan .(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论活学活用已知角终边上一点P的坐标为(4a，3a)(a
7、0)，求2sin cos 的值答案：2sin cos 三角函数值符号的运用例2(1)若sin tan 0，且0，cos 2300.于是sin 105cos 2300.3，3是第二象限角，cos 30，cos 3tan0，cos 0或sin 0，tan 0或cos 0，tan 0，反之也成立；(2)当角为第二象限角时，sin 0，cos 0，tan 0或cos 0，tan 0，反之也成立；(3)当角为第三象限角时，sin 0，cos 0或sin 0或cos 0，反之也成立；(4)当角为第四象限角时，sin 0或sin 0，tan 0，tan 0时，|OP|m|m，(4分)则sin ，cos ，t
8、an .(7分)(2)当m0还是m0，tan 都是. 活学活用已知角的终边上一点P(，y)(y0)，且sin y，求cos ，tan 的值解：当y时，cos ，tan ；当y时，cos ，tan .随堂即时演练1已知角的终边经过点(4,3)，则cos ()A.B.CD答案：D2若三角形的两内角，满足sin cos 0，且sin xcos x0，那么角x是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案：A二、填空题6是第二象限角，P(x, )是其终边上一点，且cos x，则x的值为_答案：7计算：tan 405sin 450cos 750_.答案：8若角的终边落在直线xy0上，则_
9、.答案：0三、解答题9如果角的终边经过点M(1，)，试写出角的集合A，并求集合A中最大的负角和绝对值最小的角解：在0360范围内，tan 且终边在第一象限内，可求得60.A|60k360，kZ所以k1时，300为最大的负角；k0时，60为绝对值最小的角10已知直线yx与圆x2y21交于A，B两点，点A在x轴的上方，O是坐标原点(1)求以射线OA为终边的角的正弦值和余弦值；(2)求以射线OB为终边的角的正切值解：由得或点A在x轴上方，点A，B的坐标分别为，.(1)sin ，cos .(2)tan 1.11已知，且lg(cos )有意义(1)试判断角所在的象限；(2)若角的终边上一点是M，且|OM|1(O为坐标原点)，求m的值及sin 的值解：(1)由，可知sin 0，所以角是第四象限角(2)|OM|1，2m21，解得m.又是第四象限角，故m0，从而m.由正弦函数的定义可知sin .