1、课时作业A组基础巩固1在矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成角是()A30B45C60D90解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1，0)，(1，1)，平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1)，所以cos，n，所以，n120，所以PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60，所以PC与平面ABCD所成角为30，故选A.答案：A2在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60和45，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A.BC. D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，可知CB1C160，DC
2、1D145，设B1C11，CC1DD1.C1D1，则有B1(，0,0，)，C(，1，)，C1(，1,0)，D(0,1，)(0,1，)，(，0，)cos，.答案：A3已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足若AB2，ACBD1，则D到平面ABC的距离等于()A. B.C. D1解析：平面平面，且ACl，BDl，故AC平面，BD平面，依题意建立坐标系如图所示，在RtACD中，可得CD，故A(0,0,1)，B(1，0)，C(0，0,0)，D(0，0)，则(0,0,1)，(1，0)，(0，0)设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z)，则xy，z0，令y1，可得n(，1,0)，故所
3、求距离d.故选C.答案：C4.如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AA1ABAC，ABAC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为()A. B.C. D.解析：以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1ABAC2，则(2,0,1)，Q(1,1,0)，P(0,1,2)，(1,0,2)，所以0，所以QP与AM所成角为.答案：D5已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA
4、12AB2，则B(1,1,0)，C(0，1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，故(1,1,0)，(0,1,2)，(0,1,0)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y2，x2，所以平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设直线CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|，故选A.答案：A6设A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，D(1，1,1)，则直线AD与平面ABC的夹角为_解析：设平面ABC的法向量n(x，y，z)n0，n0，所以即令x1，则n(1,1,0)，cosn，n.直线AD与平面ABC的夹角.答案：7在空间中，已知平面过点(3
5、,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a0)，如果平面与平面xOy的夹角为45，则a_.解析：设平面的法向量为n1(x，y，z)，记A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0，a)(a0)，则(3,4,0)，(3,0，a)由题意知即取z3得n1(a，3)，而n2(0,0,1)是平面xOy的一个法向量，则cosn1，n2，又a0，解得a.答案：8已知矩形ABCD中，AB1，BC，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与ACD垂直则B与D之间的距离为_解析：由B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N，则可求得AM，BM，CN，DN.MN1.由于，|2()2|2|2|22(
6、)21222(000)，|.答案：9.如图所示，已知在四面体ABCD中，O为BD的中点，CACBCDBD2，ABAD，(1)求证：AO平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值解析：(1)证明：因为BODO，ABAD，所以AOBD.因为BODO，BCCD，所以COBD.在AOC中，由已知可得AO1，CO，而AC2，所以AO2CO2AC2，所以AOC90，即AOOC.因为BDOCO，所以AO平面BCD.(2)以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0，0,1)，(1,0,1)，(1，0)，所以cos，所以异面直线AB与CD所
7、成角的余弦值为.10.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABCD，ADCD1，BAD120，ACB90.(1)求证：BC平面PAC；(2)若二面角DPCA的余弦值为，求点A到平面PBC的距离解析：(1)证明：PA底面ABCD，BC平面ABCD，PABC，ACB90，BCAC，又PAACA，BC平面PAC.(2)设APh，取CD的中点E，则AECD，AEAB，又PA底面ABCD，PAAE，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0，0，h)，C，D，B(0,2,0)，(0,0，h)，求得平面PAC与平面PDC的一个法向量分别为n1(h，h,0)，n2.cosn1，n2，h
8、.又可求得平面PBC的一个法向量n3(3，2)，所以，点A到平面PBC的距离为d.B组能力提升1在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为()A B.C D.解析：建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2，2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)(2，2,0)，(0,0,2)，(2,0,1)设平面B1BD的法向量为n(x，y，z)n，n，令y1，则n(1,1,0)cosn，设直线BE与平面B1BD所成角为，则sin |cosn，|.答案：B2正方形ABCD所在平面外有一点P，PA平面ABCD.若PAAB，
9、则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为()A30 B45C60 D90解析：建系如图，设AB1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)平面PAB的法向量为n1(1,0,0)设平面PCD的法向量为n2(x，y，z)，则得令x1，则z1.n2(1,0,1)，cosn1，n2.平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为.此角的大小为45.答案：B3直线l的方向向量a(2,3,2)，平面的一个法向量n(4,0,1)，则直线l与平面所成角的正弦值为_解析：设直线l与平面所成的角是，a，n所成的角为，sin |cos |.答案：4在长方体ABCD
10、A1B1C1D1中，已知AA19，BC6，N为BC的中点，则直线D1C1与平面A1B1N的距离是_解析：C1D1平面A1B1N，所求距离等于D1到平面A1 B1N的距离，不妨令|AB|1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(6，0,9)，B1(6，1,9)，N(3，1,0)，(0,1,0)，(3，0，9)设平面A1B1N的法向量为n(x，y，z)，则即取z，则n (3,0，)，又(6，0,0)，故D1到平面A1B1N的距离为d9.答案：95.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD平面BCD，AE平面ABD，且AE.(1)求证：DEAC；(2)求DE与平面BCE所成角的正弦
11、值解析：(1)以A为坐标原点，AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则E(0,0，)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，取BD的中点F，并连接CF，AF，由题意可得CFBD且AFCF，又平面BDA平面BDC，CF平面BDA，所以C的坐标为C(1,1，)，(0，2，)，(1,1，)，(0，2，)(1,1，)0，故DEAC.(2)设平面BCE的法向量为n(x，y，z)则即令x1得n(1，1，)，又(0，2，)，设DE与平面BCE所成角为，则sin |cosn，|.6(2016高考全国卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2
12、FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60.(1)证明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值解析：(1)证明：由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)过D作DGEF，垂足为G.由(1)知DG平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60，则|DF|2，|DG|，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，)由已知得ABEF，所以AB平面E FDC.又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF.由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60.从而可得C(2,0，)所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(3,0，)设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m(0，4)则cosn，m.故二面角EBCA的余弦值为.