1、第二课时古典概型的综合问题1基本事件有哪些特征？ 2如何判断一个试验是否是古典概型？ 3古典概型的概率公式是什么？ 有序和无序型问题例1从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率解(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品总的事件个数
2、为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A.因为事件A由4个基本事件组成，所以P(A).(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个基本事件组成由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)事件B由4个基本事件组成，因而P(B).类题通法解决有序和无序问题应注意两点(1)关于不放回抽样，计算
3、基本事件个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个基本事件解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的活学活用一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm2的概率解：
4、(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个，因此所求事件的概率为P.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个又满足条件nm2的有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个所以，满足条
5、件nm2的事件的概率为P1，故满足条件nm2的事件的概率为1P11.数字型问题例2某城市的电话号码是8位数，如果从电话号码本中任取一个电话号码，求：(1)头两位数字都是8的概率；(2)头两位数字都不超过8的概率解电话号码每位上的数字都可以由0,1,2，9这十个数字中的任意一个数字组成，故试验基本事件总数为n108.(1)记“头两位数字都是8”为事件A，则若事件A发生，头两位数码都只有一种选法，即只能选8，后六位各有10种选法，故事件A包含的基本事件数为m1106.所以由古典概型概率公式，得P(A)0.01.(2)记“头两位数字都不超过8”为事件B，则事件B的头两位数码都有9种选法，即从08这9
6、个数字中任选一个，后六位各有10种选法，故事件B所包含的基本事件数为m281106.所以由古典概型概率公式，得P(B)0.81.类题通法解决数字型问题(1)电话号码及密码问题中，每个数字在各个位置出现的机会是相等的，且首位也可以为0.(2)由于此类问题的基本事件数目较大，且很难一一列举，常借助整数的有关性质求解活学活用储蓄卡的密码是一种六位数字号码，每位上的数字可以从0到9这10个数字中任取(1)如果某人拾到储蓄卡一张，随意按下六位号码正好按对密码的概率是多少？(2)若某人未记准储蓄卡密码的后两位数字，随机按下两位数字正好按对密码的概率是多少？解：(1)由储蓄卡的密码是六位数字号码，且每位上的
7、数字都有从0到9共10种取法，故这种号码共有106个由于随意按下一个六位号码，无论按下哪个号码的可能性都是均等的，故正好按对密码的概率P.(2)按六位号码的后两位数字共有1010100种按法，随意按下后两位数字，每一种按法机会均等，故按对的概率为P.概率与统计的综合问题例3某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，列出所有可能的抽取结果；求抽取的2所学校均为小学的概率解(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1
8、.(2)在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种所以P(B).类题通法使用古典概型的概率公式的两个关键点(1)审读题干：对于实际问题要认真读题，深
9、入理解题意，计算基本事件总数要做到不重不漏，这是解决古典概型问题的关键(关键词：不重不漏)(2)编号：分析实际问题时，往往对要研究的对象进行编号或用字母代替，使复杂的实际意义变为简单的数字和字母，方便寻找对象间的关系，可以使问题得以简单地表示，这是解决古典概型问题时主要的解题技巧(关键词：简单的数字和字母)活学活用某iPhone手机专卖店对某市市民进行iPhone手机认可度的调查，在已购买iPhone手机的1 000名市民中，随机抽取100名，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：分组(岁)频数25,30)530,35)x35,40)3540,45)y45,50)10合计
10、100(1)求频数分布表中x，y的值，并补全频率分布直方图；(2)在抽取的这100名市民中，从年龄在25,30)、30,35)内的市民中用分层抽样的方法抽取5人参加iPhone手机宣传活动，现从这5人中随机选取2人各赠送一部iPhone 7手机，求这2人中恰有1人的年龄在30,35)内的概率解：(1)由频数分布表和频率分布直方图可知，解得频率分布直方图中年龄在40,45)内的人数为30，对应的为0.06，所以补全的频率分布直方图如下：(2)由频数分布表知，在抽取的5人中，年龄在25,30)内的市民的人数为51，记为A1，年龄在30,35)内的市民的人数为54，分别记为B1，B2，B3，B4.从
11、这5人中任选2人的所有基本事件为：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A1，B4，B1，B2，B1，B3，B1，B4，B2，B3，B2，B4，B3，B4，共10个记“恰有1人的年龄在30,35)内”为事件M，则M所包含的基本事件有4个：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A1，B4所以这2人中恰有1人的年龄在30,35)内的概率为P(M).典例设集合A，B，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线xyn上”为事件Cn(2n5，nN)，求使事件Cn的概率最大的n的所有可能取值解题指导点P的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2
12、,1)，(2,2)，(2,3)若点P(a，b)落在直线xyn(2n5)上，则：当n2时，点P只能是(1,1)；当n3时，点P可能是(1,2)，(2,1)；当n4时，点P可能是(1,3)，(2,2)；当n5时，点P只能是(2,3)故事件C3，C4的概率最大，所以n可取3或4.多维探究古典概型是高考考查的重点和热点之一，考查的主要内容是事件发生的概率的求解，且常与其他相关知识交汇命题，如本例就是将古典概型与解析几何进行的交汇命题，而本课时例3是古典概型与统计的交汇问题另外，古典概型还常与函数、方程等问题相结合命题角度一古典概型与方程相结合问题设关于x的一元二次方程x22axb20，若a是从0,1,
13、2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率解：设事件A为“方程x22axb20有实根”当a0，b0时，方程x22axb20有实根意味着(2a)24b20，即ab.基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12个其中第1个数表示a的取值，第2个数表示b的取值而事件A包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A).角度二古典概型与函数相结合问题袋里装有五个球，号码依次为1,2,3,4,5，设号码为x的球重(x25x30)克，这些球以同等的机
14、会(不受质量的影响)从袋里取出若同时从袋内任意取出两球，则它们质量相等的概率是多少？解：设质量相等的两球的号码分别是m，n，mn，则有m25m30n25n30，解得mn5.而五个球中任意取两球的基本事件共有10种，符合题意的只有2种，即两球的号码分别是或，所以P.角度三古典概型与新定义相结合问题“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2 578)，在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是多少？解：十位是1的“渐升数”有8个，十位是2的“渐升数”有7个，十位是8的“渐升数”有1个；所以二位的“渐升数”有8765432136个，以3为十位比37大的“渐升数”为2个，分别以4、5、6、
15、7、8为十位的“渐升数”均比37大，且共有5432115个，所以比37大的“渐升数”共有21517个，故在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是.随堂即时演练1先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy1的概率为()A. BC. D解析：选C由log2xy1，得2xy，其中x，y1,2,3,4,5,6，所以或或共3种情况，所以P.2甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b，若ab或ab1，就称甲、乙“心有灵犀”，现在任意找两人玩这个游戏，
16、则他们“心有灵犀”的概率为()A. B C. D解析：选C由于甲、乙各记一个数，则基本事件总数为6636个，而满足ab或ab1的共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)11个概率P.3从集合A3，2，1,2中随机选取一个数记为k，从集合B2,1,2中随机选取一个数记为b，则直线ykxb不经过第四象限的概率为_解析：根据题意可知，总的基本事件(k，b)共有4312个，直线ykxb不经过第四象限，则k0，b0，包含的基本事件有(2,1)，(2,2)，共2个，根据古典概型的概率计算公式可知直线ykxb不经过
17、第四象限的概率P.答案：4如图所示，a，b，c，d，e是处于断开状态的开关，任意闭合其中的两个，则电路接通的概率是_解析：“任意闭合其中的两个开关”所包含的基本事件总数是10，“电路接通”包含6个基本事件，所以电路接通的概率P.答案：5(天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛用所给编号列出所有可能的结果；设A为事件“编号为A5和A6的两名
18、运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共15种编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为A1，A5，A1，A6，A2，A5，A2，A6，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共9种因此，事件A发生的概率P(A). 课时达标检测一、选择题1从分
19、别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的概率为()A.BC. D答案：B2从分别写有数字1,2,3，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数之积是完全平方数的概率为()A. BC. D答案：A3袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则是下列哪个事件的概率()A颜色全同 B颜色不全同C颜色全不同 D无红球答案：B4古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为()A. BC. D答案：C5电子钟
20、一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为()A. BC. D答案：C二、填空题6如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个学习小组各4名同学在某次考试中的数学成绩，乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，在图中用m表示，假设数字具有随机性，则乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率为_甲组乙组798531910m解析：由(87899193)(85909190m)，得m4，即m4时，甲、乙两个小组的平均成绩相等设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，m的取值有0,1,2，9，共10种可能，其中，当m5,6，9时，乙组平均成绩超过甲组平均
21、成绩，故所求概率为.答案：7甲、乙、丙三名同学上台领奖，从左到右按甲、乙、丙的顺序排列，则三人全都站错位置的概率是_解析：甲，乙，丙三人随意站队排列，共有6种顺序，即(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，而“三人全都站错位置”包括(乙，丙，甲)和(丙，甲，乙)2个基本事件，故所求概率P.答案：8设集合P，Q，PQ，x，y.在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对(x，y)所表示的点中任取一个，其落在圆x2y2r2内的概率恰为，则r2的一个可能整数值是_(只需要写出一个即可)解析：满足条件的点有(2,3)，(2,4)，(2,5)，
22、(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(7,7)，(8,8)，(9,9)，共14个欲使其点落在x2y2r2内的概率为，则这14个点中有4个点在圆内，所以只需29r232，故r230或31或32.答案：30(或31或32)三、解答题9设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求方程x2bxc0有实根的概率解：设事件A为“方程x2bxc0有实根”，则A.而(b，c)共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,
23、3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36组其中，可使事件A成立的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共19组故事件A的概率为P(A).10从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取
24、了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组40,50)；第二组50,60)；第六组90,100，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图(1)求成绩在区间80,90)内的学生人数；(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间90,100内的概率解：(1)因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间80,90)内的频率为1(0.00520.0150.0200.045)100.1，所以选取的40名学生中成绩在区间80,90)内的学生人数为400.14.(2)设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名
25、，至少有1名学生的成绩在区间90,100内”，由(1)可知成绩在区间80,90)内的学生有4人，记这4名学生分别为a，b，c，d，成绩在区间90,100内的学生有0.00510402(人)，记这2名学生分别为e，f，则选取2名学生的所有可能结果为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15种，事件“至少有1名学生的成绩在区间90,100内”的可能结果为(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f
26、)，共9种，所以P(A).11某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78米以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率解：(1)从身高低于1.80米的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种由于每
27、个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的2人身高都在1.78米以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种因此选到的2人身高都在1.78米以下的概率为P.易出现所有事件包含的事件数列举不全或重复而致误的情况(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在18.5，23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，
28、E)，共3种因此选到的2人身高都在1.70米以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率为P1.3.2古典概型32.1古典概型第一课时古典概型的概念及简单应用古典概型的概念提出问题掷一枚质地均匀的硬币两次，观察哪一面向上问题1：这个试验共有哪几种结果？基本事件总数是几？提示：共有正正、正反、反正、反反四种结果，基本事件总数是4.问题2：事件A恰有一次正面向上包含哪些试验结果？提示：正反、反正问题3：问题2中事件A的概率是多少？提示：.导入新知基本事件及古典概型的概念基本事件古典概型特点任何两个基本事件是互斥的试验中所有可能出现的基本事件只有有限个任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的
29、和每个基本事件出现的可能性相等化解疑难对古典概型的认识一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征有限性和等可能性例如，在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽这个试验的基本事件只有两个：发芽、不发芽而“发芽”和“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，所以它不属于古典概型又如，从规格直径为3000.6 mm的一批合格产品中任意抽取一件，测量其直径d，测量值可能是从299.4 mm到300.6 mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个，因此这个试验也不属于古典概型.古典概型的概率公式导入新知古典概型的概率公式对于任何事件A，P(A).化解疑难频率的计算公式与古典概
30、型的概率计算公式的异同不同点相同点频率频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值都计算了一个比值古典概型的概率是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化基本事件的计数问题例1(1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为()A2B3C4 D6(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上写出这个试验的所有基本事件；求这个试验的基本事件的总数；“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？解(1)选C用列举法列举出“数字之和为奇数”的
31、可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能(2)这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)；这个试验包含的基本事件的总数是8；“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)类题通法基本事件的两个探求方法(1)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以清楚地弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数，列表法适合于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法(关键词：基本事件的总数)
32、(2)树状图法：树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段树状图法适合于较复杂的试验的题目(关键词：结构关系)活学活用一个不透明的口袋中装有大小形状相同的1个白球和3个编有不同号码的黑球，从中任意摸出2个球(1)写出所有的基本事件；(2)求事件“摸出的2个球是黑球”包括多少个基本事件？解：(1)从装有4个球的口袋中摸出2个球，基本事件共有6个：(白，黑1)，(白，黑2)，(白，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)(2)事件“摸出的2个球是黑球”(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2
33、，黑3)，包括3个基本事件.对古典概型的判断例2(1)向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？(2)如图所示，射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和命中0环(即不命中)你认为这是古典概型吗？为什么？解(1)试验的所有可能结果是圆面内的所有点试验的所有可能结果数是无限的因此，尽管每一个试验结果出现的可能性相同，这个试验不是古典概型(2)试验的所有可能结果只有11个，但是命中10环，命中9环，命中1环和命中0环(即不命中)的出现不是等可能的，这个试验不是古典概型类题通法判断一个试验是古典概型的依
34、据判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征有限性和等可能性，二者缺一不可活学活用下列试验是古典概型的为_(填序号)从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小同时掷两颗骰子，点数和为6的概率近三天中有一天降雨的概率10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率解析：是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响答案：简单的古典概型的概率计算例3现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率解(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；
35、2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6个，所以P(A).(2)由(1)知任取2道题的基本事件共有15个，用B表示“所取的2道题不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有1,5，1,6，2,5，2,6，3,5，3,6，4,5，4,6，共8个，所以P(B).类题通法求解古典概率“四步”法活学活用(山东高考)某儿
36、童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：若xy3，则奖励玩具一个；若xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间与点集S(x，y)|xN，yN,1x4,1y4一一对应因为S中元素的个数是4416，所以基本事件总数n16.(1)记“xy3”为事件A，则事件A包含的
37、基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)所以P(A)，即小亮获得玩具的概率为.(2)记“xy8”为事件B，“3xy8”为事件C.则事件B包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)所以P(B).事件C包含的基本事件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)所以P(C).因为，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率典例箱子里有3双不同的手套，随机拿出2只，记事件A表示“拿出的手套配不成对”；事件B表示“拿出的都是同一只手上的手套”；事件C表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手
38、的，但配不成对”(1)请罗列出所有的基本事件；(2)分别求事件A、事件B、事件C的概率解题流程 类题通法古典概型求解三注意解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下三个问题：(1)试验必须具有古典概型的两大特征有限性和等可能性(2)计算基本事件的数目时，须做到不重不漏常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件(3)利用事件间的关系在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P(A1A2 A3 An)P(A1)P(A2)P(An)求得，或采用正难则反的原则，转化为求其对立事件，再用公式P(A)1P
39、()求得活学活用先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求：(1)点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5且小于10的概率解：从图中容易看出，基本事件与所描点一一对应，共36种(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)，所以P(A).(2)记“点数之和大于5且小于10”的事件为B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有20个(已用虚线圈出)，所以P(B).随堂即时演练1下列试验是古典概型的是()A口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为
40、取中白球和取中黑球B在区间1,5上任取一个实数x，使x23x20C抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D某人射击中靶或不中靶解析：选C根据古典概型的两个特征进行判断A中两个基本事件不是等可能的，B中基本事件的个数是无限的，D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C符合古典概型的两个特征2从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为()A.BC. D1解析：选C从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P.3(四川高考)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是_解
41、析：从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则(a，b)的所有可能结果为(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12种取法，其中logab为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P.答案：4甲、乙两人随意入住两间客房，则甲、乙两人各住一间房的概率是_解析：甲、乙两人入住两间客房有甲、乙两人同住一间房，甲、乙两人各住一间房共4种情况，其中甲、乙两人各住一间房的概率为.答案：5甲、乙两人做出拳游戏(锤子，剪刀，布)求：(1)平局的概率；(2)甲赢的概率；(3)乙赢的概率解：设平局
42、为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.容易得到下图(1)平局含3个基本事件(图中的)，P(A).(2)甲赢含3个基本事件(图中的)，P(B).(3)乙赢含3个基本事件(图中的)，P(C).课时达标检测一、选择题1下列关于古典概型的说法中正确的是()试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个事件出现的可能性相等；每个基本事件出现的可能性相等；基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A).ABC D答案：B2从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A. BC. D答案：B3随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点
43、数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则()Ap1p2p3 Bp2p1p3Cp1p3p2 Dp3p1p2答案：C4从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为()A. BC. D答案：A5(北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为()A. B.C. D.解析：选B设另外三名学生分别为丙、丁、戊从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(
44、甲，戊)，共4种情形，故甲被选中的概率P.二、填空题6从甲，乙，丙，丁四个同学中选两人当班长和副班长，其中甲，乙为男生，丙、丁是女生，则至少有一名女生当选的概率是_解析：基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)共6个，其中“没有女生当选”只包含(甲，乙)1个，故至少一名女生当选的概率为P1P(没有女生当选)1.答案：7现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为_解析：从5根竹竿中一次随机抽取2根的基本事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3 m的基本
45、事件数为2，分别是：2.5和2.8,2.6和2.9，故所求概率为0.2.答案：0.28从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为_解析：设2名男生记为A1，A2,2名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1 12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2 4种情况，则所求概率为P.答案：三、解答题9从3，2，1,0,5,6
46、,7这七个数中任取两个数相乘得到的积中，求：(1)积为零的概率；(2)积为负数的概率解：从七个数中任取两个数相乘，共有21个基本事件(1)从七个数中任取两个数相乘，积为零时，共有6个基本事件，因此，积为零的概率为.(2)从七个数中任取两个数相乘，积为负数时，共有339个基本事件，因此，积为负数的概率为.10现共有6家企业参与某项工程的竞标，其中A企业来自辽宁省，B、C两家企业来自福建省，D、E、F三家企业来自河南省，此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同(1)列举所有企业的中标情况；(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的概率是多少？解：(1)从这6家企业中选出2家的选法
47、有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共有15种，以上就是中标情况(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的选法有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(B，D)，(B，E)(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种则“在中标的企业中，至少有一家来自福建省”的概率为.11一个口袋内装有除颜色外其他均相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求：(1)基本事件总数，并写出所有的基本事件；(2)事件“摸出2个黑球”包含的基本事件是多少个？(3)摸出2个黑球的概率是多少？解：(1)从装有4个球的口袋内摸出2个球，基本事件总数为6，分别是：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)(2)事件“从3个黑球中摸出2个黑球”(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)，共3个基本事件(3)基本事件总数m6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数n3，故P.