1、2.3幂_函_数幂函数的概念提出问题问题1：函数y2x，yx3是指数函数吗？提示：y2x是指数函数，而yx3不是指数函数问题2：函数yx3中自变量有什么特点？提示：自变量在底数的位置问题3：再举出几个这样的函数提示：yx2，yx，yx1.导入新知一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数化解疑难1幂函数的特征(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)；(2)x前的系数为1，且只有一项2指数函数与幂函数的辨析指数函数yax(a0，且a1)的底数a为常数，指数为自变量；幂函数yx(R)以幂的底为自变量，指数为常数.幂函数的图象与性质提出问题问题1：在同一坐标系
2、中，试作出幂函数yx，yx，yx2，yx3，yx1的图象提示：如图所示：问题2：在第一象限，图象有何特点？提示：都过点(1,1)；只有yx1随x增大而减小，但不与x轴相交，其他的都随x增大而增大问题3：这几个函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？提示：yx，yx3，yx1是奇函数；yx2是偶函数；yx是非奇非偶函数导入新知常见幂函数的图象与性质解析式yxyx2yx3yx1yx图象定义域RRRx|x00，)值域R0，)Ry|y00，)奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数单调性在(，)上单调递增在(，0上单调递减，在(0，)上单调递增在(，)上单调递增在(，0)上单调递减，
3、在(0，) 上单调递减在0，)上单调递增定点(1,1)化解疑难幂函数的性质归纳(1)所有的幂函数在区间(0，)上都有定义，并且图象都过点(1,1)(2)0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸(3)1)其中幂函数的个数为()A1B2C3 D4(2)已知幂函数y(m2m1)xm22m3，求此幂函数的解析式，并指出定义域解(1)选B为指数函数，中系数不是1，中解析式为多项式，中底数不是自变量本身，所以只有是幂函数，故选B.(2)y(m2m1)x为幂函数，m2m11，解得m2或m1.当m2时，m22m33，则yx3，且有x0；
4、当m1时，m22m30，则yx0，且有x0.故所求幂函数的解析式为yx3(x0)或yx0(x0)类题通法判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件活学活用函数f(x)(m2m1)x是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式解：根据幂函数的定义得m2m11.解得m2或m1.当m2时，f(x)x3在(0，)上是增函数；当m1时，f(x)x3在(0，)上
5、是减函数，不符合要求故f(x)x3.幂函数的图象例2(1)如图，图中曲线是幂函数yx在第一象限的大致图象，已知取2，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的的值依次为()A2，2 B2，2C，2,2， D2，2，(2)如图是幂函数yxm与yxn在第一象限内的图象，则()A1n0m1Bn1,0m1C1n1Dn1解析(1)令x2，则222222，故相应于曲线C1，C2，C3，C4的值依次为2，2.故选B.(2)此类题有一简捷的解决办法，在(0,1)内取x0，作直线xx0，与各图象有交点，则“点低指数大”如图，0m1，n，0.50.5.(2)幂函数yx1在(，0)上是单调递减的，又1.(3)函
6、数y1x为R上的减函数，又，.又函数y2x在(0，)上是增函数，且，.类题通法比较幂值大小的方法(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小活学活用设a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Aacb BabcCcab Dbca解析：选A由于幂函数yx在(0，)上是增函数，且，所以，即ac.由于指数函数yx在R上是减函数，且，所以，即cb.综上可知，acb.典例已知幂函数yx(1m3，mZ)的图象关于
7、y轴对称，且在(0，)上是减函数，则满足(a1)(32a)的a的取值范围为_解析1m3，mZ，m0,1,2.又函数图象关于y轴对称，m22m3是偶数又02203222233为奇数，122134为偶数，m1.又yx在(，0)，(0，)上均为减函数，由(a1)32a0或32aa10或a1032a.解得a1或a32a，即a的错误结论2由f(x1)(m1)，则实数m的取值范围为_解析：考查幂函数yx，因为yx在定义域0，)上是增函数，所以解得1m.故m的取值范围为.答案：随堂即时演练1已知幂函数yf(x)的图象过点(2，)，则f(log216)()A2B.C. D.解析：选A设f(x)x，则2，f(x
8、)，f(log216)f(4)2.2下列命题：幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；幂函数的图象不可能在第四象限；n0，函数yxn的图象是一条直线；幂函数yxn当n0时，是增函数；幂函数yxn当n0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小正确的命题为()A BC D解析：选Dyx1不过点(0,0)，错误，排除A；当n0时，yxn的图象为两条射线，错误，排除C；yx2不是增函数，错误，排除B；因此答案选D.3下列幂函数中是奇函数且在(0，)上单调递增的是_(填序号)yx2；yx；yx；yx3；yx1.解析：由奇偶性的定义知yx2为偶函数，yx既不是奇函数也不是偶函数由幂函数的单调性知yx
9、1在(0，)上单调递减，易知满足题意答案：4函数f(x)(m2m1)是幂函数，且在x(0，)时是减函数，则实数m_.解析：由m2m11，得m0或m1，再把m0和m1分别代入m22m30.9，1.10.9.(2)yx为(0，)上的减函数，又1.10.9，1.10.9.(3)3，函数yx为0，)上的增函数，且，即3.课时达标检测一、选择题1.如图所示，曲线C1与C2分别是函数yxm和yxn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是()Anm0Bmnm0Dmn0解析：选A由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m0，n0.由曲线C1，C2的图象可知nm.2幂函数f(x)x3m5(mN)在(0，)上是减函数
10、，且f(x)f(x)，则m可能等于()A0B1C2 D3解析：选B幂函数f(x)x3m5(mN)在(0，)上是减函数，3m50，即m.又mN，m0,1.f(x)f(x)，函数f(x)是偶函数当m0时，f(x)x5是奇函数；当m1时，f(x)x2是偶函数m1.3已知幂函数f(x)x，当x1时，恒有f(x)x，则的取值范围是()A(0,1) B(，1)C(0，) D(，0)解析：选B当x1时，恒有f(x)x，即当x1时，函数f(x)x的图象在yx的图象的下方，作出幂函数f(x)x在第一象限的图象由图象可知1时满足题意，故选B.4设函数yx3与yx2图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()
11、A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析：选B幂函数yx3在(0，)上递增且过点(1,1)，指数型函数yx2在(，)上是减函数且过点(2,1)，画出它们的图象，可知x0(1,2)故选B.5设a，b，c，则()Aabc BcabCbca Dbab；构造指数函数yx，由该函数在定义域内单调递减，所以aab.二、填空题6函数y(m1)x为幂函数，则该函数为_(填序号)奇函数；偶函数；增函数；减函数解析：由y(m1)x为幂函数，得m11，即m2，则该函数为yx2，故该函数为偶函数，在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数答案：7已知幂函数f(x)x的部分对应值如下表：x1f(x)1则
12、不等式f(|x|)2的解集是_解析：由表中数据知，f(x)x，|x|2，即|x|4，故4x4.答案：x|4x48为了保证信息的安全传输，有一种为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)现在加密密钥为yx(为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是_解析：由题目可知加密密钥yx(是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出的值由题意得24，解得，则yx.由x3，得x9.答案：9三、解答题9点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问：当x为何值时，有：f(x)g(x
13、)？f(x)g(x)？f(x)g(x)；当x1时，f(x)g(x)；当x(0,1)时，f(x)g(x)10已知函数f(x)xm，且f(4).(1)求m的值；(2)判断f(x)在(0，)上的单调性，并给予证明解：(1)f(4)，4m.m1.(2)f(x)x在(0，)上单调递减证明如下：任取0x1x2，则f(x1)f(x2)(x2x1).0x10，10.f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，即f(x)x在(0，)上单调递减11已知幂函数f(x)x(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足(a1)(32a)的a的取值范围解：幂函数f(x)x在(0，)上单调递减，m22m30
14、，解得1m3.mN*，m1,2.又函数的图象关于y轴对称，m22m3是偶数，而222233为奇数，122134为偶数，m1.而f(x)x在(，0)，(0，)上均为减函数，(a1)32a0或0a132a或a1032a.解得a1或a.故a的取值范围为.12已知幂函数f(x)x(mN*)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围解：(1)m2mm(m1)，mN*，m与m1中必定有一个为偶数，m2m为偶数，函数f(x)x(mN*)的定义域为0，)，并且该函数在其定义域上为增函数(2)函数
15、f(x)经过点(2，)，2，即22，m2m2，即m2m20.m1或m2.又mN*，m1.f(x)在0，)上是增函数，由f(2a)f(a1)得解得1a.故m的值为1，满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围为.(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，共60分)12等于()A2B2C2 D1解析：选B222222.2函数y的定义域为()A. B.C(1，) D.(1，)解析：选A由题意得解得x1.3函数y2|x|的单调递增区间是()A(，) B(，0)C(0，) D不存在解析：选B函数y2|x|x|，当x0时为y2x，函数递增；当x0时为
16、yx，函数递减故y2|x|的单调递增区间为(，0)4若0a1，且logb a1，则()A0ba B0abC0ab1 D0b1解析：选D当b1时，logb a1logbB.a1成立当0b1时，logb a1logb b,0ba1，即0b3，则x0的取值范围是()A.(8，) B(，0)(8，)C(0,8) D(，0)(0,8)解析：选A依题意，得或即或所以x0，或x08，故选A.7对于函数f(x)lg x定义域内任意x1，x2(x1x2)，有如下结论：f(x1x2)f(x1)f(x2)；f(x1x2)f(x1)f(x2)；0；f(x1x2)，所以lglg，即f，所以错误8若当xR时，函数f(x)
17、a|x|始终满足0|f(x)|1，则函数yloga的图象大致为()解析：选B由函数f(x)a|x|满足0|f(x)|1，得0a1，当x0时，ylogalogax.又因为yloga为偶函数，图象关于y轴对称，所以选B.9若f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)g(x)ex，则有()Af(2)f(3)g(0)Bg(0)f(3)f(2)Cf(2)g(0)f(3)Dg(0)f(2)f(2)f(0)g(0)，故选D.10已知偶函数f(x)loga|xb|在(，0)上单调递增，则f(a1)与f(b2)的大小关系是()Af(a1)f(b2)Bf(a1)f(b2)Cf(a1)f(b2)D
18、f(a1)f(b2)解析：选D因为函数f(x)loga|xb|为偶函数，则f(x)f(x)，而f(x)loga|xb|loga|xb|，所以loga|xb|loga|xb|，即|xb|xb|，所以b0，故f(x)loga|x|.因为当x(，0)时，f(x)loga|x|loga(x)，其中yx为减函数，而已知f(x)在(，0)上单调递增，所以0a1，故1a12，而b22，故1a1b2.又因为偶函数f(x)在(，0)上单调递增，所以在(0，)上单调递减，故f(a1)f(b2)，选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11计算：100_.解析：100lg100220.答案：2012
19、设f(x)则f(f(2)_.解析：f(2)log3(221)1，f(f(2)f(1)2e112.答案：213下列说法中，正确的是_(填序号)任取x0，均有3x2x；当a0，且a1时，有a3a2；y()x是增函数；y2|x|的最小值为1；在同一坐标系中，y2x与y2x的图象关于y轴对称解析：对于，当0a1时，a3a2，故不正确对于，y()xx，因为01，故y()x是减函数，故不正确易知正确答案：14已知函数f(x)e|xa|(a为常数)若f(x)在区间1，)上是增函数，则a的取值范围是_解析：f(x)e|xa|f(x)在 a，)上为增函数，则1，)a，)，a1.答案：(，1三、解答题(本大题共6
20、小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(10分)计算：(1)lg 52lg 8lg 5lg 20(lg 2)2；(2)327162(8)1(4)1.解：(1)原式2lg 52lg 2lg 5(1lg 2)(lg 2)22(lg 2lg 5)lg 5lg 2lg 5(lg 2)22lg 5lg 2(lg 5lg 2)2lg 5lg 23.(2)原式3(33)(24)2(23)2(22)3323222228822.16(12分)已知函数f(x)4x22x16，其中x0,3(1)求函数f(x)的最大值和最小值；(2)若实数a满足f(x)a0恒成立，求a的取值范围解：(1)f(x
21、)(2x)242x6(0x3)令t2x，0x3，1t8.则h(t)t24t6(t2)210(1t8)当t1,2时，h(t)是减函数；当t(2,8时，h(t)是增函数f(x)minh(2)10，f(x)maxh(8)26.(2)f(x)a0恒成立，即af(x)恒成立，af(x)min恒成立由(1)知f(x)min10，a10.故a的取值范围为(，1017(12分)若函数f(x)为奇函数(1)求a的值；(2)求函数的定义域；(3)求函数的值域解：函数yf(x)a.(1)由奇函数的定义，可得f(x)f(x)0，即2a0，a.(2)y，3x10，即x0.函数y的定义域为x|x0(3)x0，3x 10，
22、03x11或3x10.或.即函数的值域为.18(12分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x0时，f(x)log (x1)(1)求f(0)，f(1)；(2)求函数f(x)的解析式；(3)若f(a1)0，则x0时，f(x)log(x1)函数f(x)的解析式为f(x)(3)设x1，x2是任意两个值，且x1x20，1x11x20.f(x2)f(x1)log(x21)log(x11)loglog10，f(x2)f(x1)，f(x)log(x1)在(，0上为增函数又f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在(0，)上为减函数f(a1)1，解得a2或a0.故实数a的取值范围为(，0)(2，)19(12分)
23、已知函数f(x)a(aR). (1) 判断函数f(x)的单调性并给出证明；(2) 若存在实数a使函数f(x)是奇函数，求a；(3)对于(2)中的a，若f(x)，当x2,3时恒成立，求m的最大值解：(1)不论a为何实数，f(x)在定义域上单调递增证明：设x1，x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2).由x1x2可知02x12x2，所以2x12x20,2x210，所以f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)所以由定义可知，不论a为何数，f(x)在定义域上单调递增(2)由f(0)a10得a1，经验证，当a1时，f(x)是奇函数(3)由条件可得： m2x(2x1)3恒成立m(2x1)3的最小值，
24、x2,3设t2x1，则t5,9，函数g(t)t3在5,9上单调递增，所以g(t)的最小值是g(5)，所以m，即m的最大值是.20(12分)已知函数f(x)a.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)f(2)的x的取值范围解：(1)f(0)aa1.(2)f(x)的定义域为R，任取x1，x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)aa.y2x在R上单调递增，且x1x2，02x12x2，2x12x20,2x210，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上单调递增(3)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即aa，解得a
25、1.或用f(0)0求解f(ax)f(2)即为f(x)f(2)又f(x)在R上单调递增，x2.(或代入化简亦可)故x的取值范围为(，2)(B卷能力素养提升)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，共60分)1幂函数的图象过点(3,9)，则它的单调递增区间是()A(，1)B(，0)C(0，) D(，)解析：选C由f(x)x过点(3,9)，知39，2，即f(x)x2，知C正确2设f(x)则f(f(2)的值为()A2e B2e2C2 D.解析：选Df(2)log3log31，f(f(2)f(1)2e11.3函数f(x)的定义域是()A. B.C. D.解析：选A要使f
26、(x)有意义，需解得x1，故f(x)的定义域为.4函数f(x)1log2x与g(x)2(x1)在同一直角坐标系下的图象大致是()解析：选C由图象可判断C正确5幂函数f(x)x，若0x1Bf Cf D无法确定解析：选A易知f(x)x的定义域为R，且是偶函数，在(0，)上单增，据此作出f(x)的图象如图所示，则点C的纵坐标为，点D的纵坐标为f，由图可知ab BabcCbca Dcba解析：选Aalog0.70.8(0,1)，blog1.10.9(，0)，c1.10.9(1，)，故cab.8设偶函数f(x)loga|xb|在(，0)上是增函数，则f(a1)与f(b2)的大小关系是()Af(a1)f(
27、b2) Bf(a1)f(b2)Cf(a1)f(b2) D不能确定解析：选B由f(x)为偶函数，b0.又f(x)loga|x|在(，0)上为增函数，f(x)在(0，)上为减函数0a1，1a1f(b2)9函数f(x)2的图象大致是()解析：选Cf(x)2选C.10已知函数f(x)4x2kx8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是()A160，)B(，40C(，40160，)D(，2080，)解析：选C据题意可知5或20，解得k40或k160.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11当x2,0时，函数y3x12的值域是_解析：x2,0时y3x12为增函数，得
28、3212y3012，即y1.答案：12若指数函数f(x)与幂函数g(x)的图象相交于一点(2,4)，则f(x)_，g(x)_.解析：设f(x)ax，g(x)x，代入(2,4)，f(x)2x，g(x)x2.答案：2xx213已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)x；当x4时，f(x)f(x1)，则f(2log23)等于_解析：1log232，32log234，故f(3log23)22322.即f(2log23).答案：14已知函数f(x)的图象与函数g(x)2x的图象关于直线yx对称，令h(x)f(1|x|)，则关于函数h(x)有下列命题：h(x)的图象关于原点(0,0)对称；h(x)的图象关
29、于y轴对称；h(x)的最小值为0；h(x)在区间(1，0)上单调递增其中正确的是_(把正确命题的序号都填上)解析：f(x)的图象与g(x)2x的图象关于yx对称，两者互为反函数，f(x)log2x(x0)，h(x)f(1|x|)log2(1|x|)又h(x)h(x)，h(x)log2(1|x|)为偶函数，故h(x)的图象关于y轴对称，正确当1|x|的值趋近于0时，h(x)的函数值趋近于，h(x)的最小值不是0，不正确设1x1x21|x1|，又ylog2x是单调增函数，log2(1|x2|)log2(1|x1|)，h(x2)h(x1)，h(x)在区间(1,0)上单调递增，正确答案：三、解答题(本
30、大题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(10分)不用计算器计算：(1)log3lg 25lg 47(9.8)0；(2)0.5(0.008).解：(1)原式log3 3lg(254)21lg 102323.(2)原式252.16(12分)已知函数f(x)x(kN)满足f(2)f(3)(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q，使函数g(x)1qf(x)(2q1)x在区间1,2上的值域为？若存在，求出q; 若不存在，请说明理由解：(1)f(2)1，即k2k20，解得1k0满足题设由(1)知，g(x)qx2(2q1
31、)x1.g(2)1，两个最值点只能在端点(1，g(1)和顶点处取到，而g(1)(23q)0，g(x)max，g(x)ming(1)23q4，解得q2.经检验q2符合题意17(12分)已知函数f(x)(logx)2logx5，x2,4，求f(x)的最大值及最小值解：令tlogx.x2,4，tlogx在定义域内递减，log4logx0且a1)，如果对于任意的x都有|f(x)|1成立，试求a的取值范围解：f(x)logax，当0a0，当a1时，|f(2)|logaloga2loga0，|f(2)|总成立则y|f(x)|的图象如图所示要使x时恒有|f(x)|1，只需1，即1loga1，即logaa1l
32、ogalogaa，即当a1时，得a1a，即a3；当0a1时，得a1a，即00且a1)(1)若函数yf(x)的图象经过点P(，4)，求a的值；(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性；(3)比较f与f(2.1)的大小，并写出必要的理由解：(1)f()a24，a2. (2)f(x)的定义域为R，且f(x)a(x)21ax21f(x)，f(x)为偶函数(3)ff(2)，当a1时，f(x)在(，0)上单调递减，ff(2.1)；当0af(2.1)20(12分)已知函数f(x)axa1，(a0且a1)恒过定点.(1)求实数a；(2)若函数g(x)f1，求函数g(x)的解析式；(3)在(2)的条件下，若函数F(x)g(2x)mg(x1)，求F(x)在1,0上的最小值h(m)解：(1)由已知a12，a.(2)g(x)f111x.(3)F(x)2xmx12x2mx.令tx，t1,2yt22mt(tm)2m2.当m1时，yt22mt在1,2上单调递增，t1时，ymin12m；当1m2时，当tm时，yminm2；当m2时，yt22mt在1,2上单调递减，当t2时，ymin44m.综上所述：h(m)