1、高考资源网（） 您身边的高考专家12.3导数的四则运算法则1.了解导数的四则运算法则推导方法2.理解复合函数求导的方法与步骤3掌握运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题1导数的四则运算法则设f(x)、 g(x)是可导的，则公式语言叙述f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数(f1f2fn)f1f2fn任意有限个可导函数的和(或差)的导数，等于这有限个函数的导数的和(或差)Cf(x)Cf(x)常数与函数
2、之积的导数，等于常数乘以函数的导数 (g(x)0)两个函数商的导数等于分母上的函数乘上分子的导数减去分子乘以分母的导数所得的差，除以分母的平方2.(1)复合函数一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)(2)复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyu ux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)ex.()(2)函数f(x)sin(x)的导数为f(x)cos x()(3)ycos
3、3x由函数ycos u，u3x复合而成()(4)当g(x)0时，.()答案：(1)(2)(3)(4)2设f(x)sin xcos x，则f(x)在x处的导数f()A.BC0 D.答案：A3已知f(x)，则f(x)等于()ABCD答案：D4函数yxln x的导数为_答案：ln x1应用求导法则求导数求下列函数的导数：(1)yx43x32x5；(2)yxlog3x；(3)y；(4)yxsincos.解(1)y(x43x32x5)(x4)(3x3)(2x)54x39x22.(2)y(xlog3x)xlog3xx(log3x)log3xlog3x.(3)y.(4)先化简，原式yxsincosxsin
4、x，故yx(sin x)1cos x.求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算 求下列函数的导数：(1)yx2log3x；(2)yx3ex；(3)y.解：(1)y(x2log3x)(x2)(log3x)2x.(2)y(x3ex)(x3)exx3(ex)3x2exx3ex.(3)y().复合函数的求导运算求下列函数的导数：(1)y(2x1)4；(2)y102x3；(3)ysin4xcos4x.解(1)令u2x1，则yu4，因为yxyuux4u3(2x1)4u328
5、(2x1)3.(2)令u2x3，则y10u，所以yxyuux10uln10(2x3)2ln10102x3.(3)ysin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x1sin22x1(1cos 4x)cos 4x.所以ysin 4x. 求复合函数的导数的步骤 求下列函数的导数：(1)yln ；(2)ye3x；(3)y5.解：(1)函数yln 可以看作函数yln u和函数u的复合函数，根据复合函数求导法则有yxyuux(ln u)().(2)函数ye3x可以看作函数yeu和函数u3x的复合函数，根据复合函数求导法则有yxyuux(eu)(3x)eu33e3x.(3)函数y5可以看
6、作函数y5和函数ux3复合而成，所以yxyuux1 .导数的应用已知直线l1为曲线yx2x2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积解(1)因为y2x1，y|x13.所以直线l1的方程为y3x3.设直线l2过切点(b，b2b2)，则l2的方程为y(2b1)xb22.因为l1l2，所以2b1，解得b，所以直线l2的方程为yx.(2)解方程组，得.所以直线l1和l2的交点坐标为(，)，l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1，0)，(，0)，所以所求三角形的面积S|.利用导数的几何意义解决复杂函数的切线问题
7、是高中数学的热点，导数是一种重要的解题工具，应熟练掌握应用导数公式及导数的四则运算法则求已知函数的导数 若函数f(x)在xc处的导数值与函数值互为相反数，求c的值解：由于f(x)，所以f(c)，又f(x)，所以f(c).依题意知f(c)f(c)0，所以0，所以2c10得c.1利用求导法则求导数比用导数定义求导简单易行，前提是记清常用函数求导公式，理解导数四则运算法则2运用导数四则运算法则需注意的问题(1)当函数式比较复杂时，要将函数式先进行化简，化成若干较简单的基本初等函数的四则运算形式，然后再利用求导法则进行运算(2)在求导数时有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前可利用代数或三角
8、恒等变形将函数化简，然后进行求导，以避免或减少使用积、商的求导法则，从而减少运算量，提高运算速度，避免出错例如求函数y的导数，先化简为y，再求导，可使问题变得更简单(3)运用法则的前提条件是将函数化简、变形为基本函数的和、差、积、商的形式，所以对导数公式表中函数的结构特点要记清，避免出现错用公式的情况3利用复合函数求导法则求复合函数的导数的步骤(1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量；(2)求每一层基本初等函数的导数；(3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数运用积与商的导数运算法则时，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现f(x)g(x)f(x)g(x)以及这样
9、想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“”号，商的导数法则中分子上是“”号1函数yx(2x1)2的导数是()A34xB34xC58x D58x解析：选D.yx(4x24x1)4x25x1，y8x5，选D.2函数yxcos xsin x的导数为()Axsin x Bxsin xCxcos x Dxcos x解析：选B.y(xcos x)(sin x)xcos xx(cos x)cos xcos xxsin xcos xxsin x.3函数ye2xex的导数为_解析：y(e2x)(ex)e2x(2x)ex(x)2e2xex.答案：2e2xex4已知f(
10、x)，若f(x0)f(x0)0，求x0的值解：因为f(x)(x0)所以由f(x0)f(x0)0，得0.解得x0. A基础达标1函数y(x1)2(x1)在x1处的导数等于()A1B2C3 D4解析：选D.y(x1)2(x1)(x1)2(x1)2(x1)(x1)(x1)23x22x1，所以y|x14.2已知函数f(x)sin xcos x，且f(x)2f(x)，则tan x()A3 B3C1 D1解析：选B.由f(x)sin xcos x，可得f(x)cos xsin x.又f(x)2f(x)，所以cos xsin x2(sin xcos x)，整理得3cos xsin x，所以tan x3.故选
11、B.3函数y(a0)在xx0处的导数为0，那么x0()Aa BaCa Da2解析：选B.y，由xa20，得x0a.4曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Axy20 Bxy20Cx4y50 Dx4y50解析：选B.y，当x1时，y1，所以切线方程是y1(x1)，整理得xy20，故选B.5已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2exf(1)3ln x，则f(1)()A3 B2eC D解析：选D.因为f(1)为常数，所以f(x)2exf(1)，所以f(1)2ef(1)3，所以f(1).6f(x)(2xa)2，且f(2)20，则a_解析：因为f(x)8x4a，f(2)20，即164a20
12、.所以a1.答案：17若f(x)log3(2x1)，则f(2)_解析：因为f(x)log3(2x1) (2x1)，所以f(2).答案：8已知函数f(x)ax4bx2c，若f(1)2，则f(1)_.解析：法一：由f(x)ax4bx2c，得f(x)4ax32bx.因为f(1)2，所以4a2b2，即2ab1.则f(1)4a2b2(2ab)2.法二：因为f(x)是偶函数，所以f(x)是奇函数，所以f(1)f(1)2.答案：29求下列函数的导数：(1)yxsin2x; (2)y；(3)y； (4)ycos xsin 3x.解：(1)y(x)sin2xx(sin2x)sin2xx2sin x(sin x)
13、sin2xxsin 2x.(2)y.(3)y.(4)y(cos xsin 3x)(cos x)sin 3xcos x(sin 3x)sin xsin 3x3cos xcos 3x.10已知抛物线yax2bxc通过点P(1，1)，且在点Q(2，1)处与直线yx3相切，求实数a、b、c的值解：因为曲线yax2bxc过点P(1，1)，所以abc1.因为y2axb，所以4ab1.又因为曲线过点Q(2，1)，所以4a2bc1.联立，解得a3，b11，c9.B能力提升11已知某运动着的物体的运动方程为s(t)2t2(位移单位：m，时间单位：s)，则t3 s时物体的瞬时速度为_解析：因为s(t)2t22t2
14、2t2，所以s(t)24t，所以vs|t312，即物体在t3 s时的瞬时速度为 m/s.答案： m/s12已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_解析：因为yxln x，所以y1，y|x12.所以曲线yxln x在点(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.因为 y2x1与曲线yax2(a2)x1相切，所以a0(当a0时曲线变为y2x1与已知直线平行)由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.答案：813已知曲线C：yx33x22x，直线l：ykx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x00)，求直线l的方程及切点坐标解：因为直线
15、l过原点，所以直线l的斜率k(x00)，因为点(x0，y0)在曲线C上，所以y0x3x2x0，所以x3x02，又y3x26x2，所以ky|xx03x6x02，又k，所以3x6x02x3x02，整理得2x3x00，因为x00，所以x0，此时，y0，k，所以直线l的方程为yx，切点坐标为(，)14(选做题)已知函数f(x)ex(cos xsin x)，将满足f(x)0的所有正数x从小到大排成数列xn，证明：数列f(xn)为等比数列证明：f(x)ex(cos xsin x)ex(cos xsin x)ex(sin xcos x)2exsin x，因为f(x)0，即2exsin x0，又x为正数，解得xn，n为正整数，从而xnn，n1，2，3，.所以f(xn)en(cos nsin n)(1)nen，f(xn1)(1)n1e(n1)，则e.所以数列f(xn)是首项为f(x1)e，公比为qe的等比数列高考资源网版权所有，侵权必究！