1、11.3导数的几何意义1.了解割线的斜率与平均变化率的关系2.理解导数的几何意义3.会求曲线的切线方程1割线的斜率已知yf(x)图象上的两点A(x0，f(x0)，B(x0x，f(x0x)，过A、B两点割线的斜率是，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率2导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数，就是曲线yf(x)在xx0处的切线的斜率，即kf(x0).1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数在一点处的导数f(x0)是一个常数()(2)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值()(3)函数f(x)0没有导数()(4)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只
2、有一个公共点()答案：(1)(2)(3)(4)2已知曲线yf(x)2x2上一点A(2，8)，则点A处的切线斜率为()A4B16C8 D2答案：C3已知yf(x)的图象如图，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能确定解析：选B.由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f(xA)f(xB)，选B.4曲线y 在点P(1，1)处的切线的方程为_答案：xy20曲线在某点处的切线方程求曲线y在点M处的切线方程解因为y ，所以曲线y在点M处的切线斜率为，所以曲线在点M处的切线方程为y(x3)
3、，即x9y60. (1)求曲线yf(x)在点P处的切线方程的步骤求出点P的坐标(x0，f(x0)求出函数在x0处的变化率f(x0)，从而得到曲线在点P(x0，f(x0)处切线的斜率利用点斜式写出切线方程(2)求曲线过点P的切线，点P不一定是切点，也不一定在曲线上，即使点P在曲线上也不一定是切点1.若函数f(x)x，则它与x轴交点处的切线的方程为_解析：由f(x)x0得x1，即与x轴交点坐标为(1，0)或(1，0)因为f(x) 1，所以切线的斜率k12，所以切线的方程为y2(x1)或y2(x1)即2xy20或2xy20.答案：2xy20或2xy202试求过点P(1，3)且与曲线yx2相切的直线的
4、斜率以及切线方程解：设切点坐标为(x0，y0)，则有y0x.因y 2x.所以ky|xx02x0.因切线方程为yy02x0(xx0)，将点(1，3)代入，得3x2x02x，所以x2x030，所以x01或x03.当x01时，k2；当x03时，k6.所以所求直线的斜率为2或6.当x01时，y01，切线方程为y12(x1)，即2xy10；当x03时，y09，切线方程为y96(x3)，即6xy90.利用导数的几何意义求切点坐标已知曲线f(x)x26在点P处的切线平行于直线4xy30，求点P的坐标解设切点P坐标为(x0，y0)f(x) (2xx)2x.所以点P在(x0，y0)处的切线的斜率为2x0.因为切
5、线与直线4xy30平行，所以2x04，x02，y0x610，即切点为(2，10)若本例中的“平行于直线4xy30”变为“垂直于直线2xy50”，其他条件不变，求点P的坐标解：由本例解析知，点P(x0，y0)处的切线的斜率为2x0.因为切线与直线2xy50垂直，所以2x021，得x0，y0，即切点为.求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤(1)先设切点坐标(x0，y0)；(2)求导函数f(x)；(3)求切线的斜率f(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标 已知曲线y的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为
6、()A1B2C3 D4解析：选A.因为y x，所以x1，所以切点的横坐标为1.导数几何意义的综合应用设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行求a的值解因为yf(xx)f(x)(xx)3a(xx)29(xx)1(x3ax29x1)(3x22ax9)x(3xa)(x)2(x)3，所以3x22ax9(3xa)x(x)2，所以f(x) 3x22ax9399.由题意知f(x)的最小值是12，所以912，即a29，因为a0，所以a3.导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的诸如直线的位置关系、斜率最值范围等关系求解相关问题
7、，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合 若抛物线y4x2上的点P到直线y4x9的距离最短，求点P的坐标解：由点P到直线y4x9的距离最短知过点P的切线与直线y4x9平行设P(x0，y0)，y (8x4x)8x，所以点P处的切线斜率为8x0，8x04，且y04x，得x0，y01，所以点P的坐标为.1导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即k f(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度2利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x
8、0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点在求切线方程的题目中，注意题干给出的点不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定作为切点应用1设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线()A不存在B与x轴平行或重合C与x轴垂直 D与x轴相交但不垂直解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零2曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ayx2 ByxCyx2 Dyx2解析：选A.f(1) 1，则在(1，1)处的切线方程为y1x1，即yx2.3函数yx24x在xx0处的切线斜率为2，则x0_.解析：因为2 2x04，所以x01.答案：14曲线y2x21在点P(1
9、，3)处的切线方程为_解析：42x，所以f(1)4，y34(x1)，所以切线方程为y4x1.答案：y4x1 A基础达标1已知曲线yx22上一点P(1，)，则在点P处的切线的倾斜角为()A30B45C135 D165解析：选B.曲线yx22在点P处的切线斜率为k (1x)1，所以在点P处的切线的倾斜角为45.故选B.2下列各点中，在曲线yx2上，且在该点处的切线倾斜角为的是()A(0，0) B(2，4)C D解析：选D.设切点为(x0，y0)，则y|xx0 2x0tan1，所以x0，y0.3若曲线f(x)x2的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为()A4xy40Bx4y50C4xy30D
10、x4y30解析：选A.设切点为(x0，y0)，因为f(x) (2xx)2x.由题意可知，切线斜率k4，即f(x0)2x04，所以x02.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y44(x2)，即4xy40，故选A.4若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1Ba1，b1Ca1，b1Da1，b1解析：选A.因为点(0，b)在直线xy10上，所以b1.又y 2xa，所以过点(0，b)的切线的斜率为y|x0a1.5如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)等于()A2 B3C4 D5解析：选A.易得切点P(5，3)，所以f(5)3，k1，即f
11、(5)1.所以f(5)f(5)312.6已知函数yf(x)在点(2，1)处的切线与直线3xy20平行，则y|x2_解析：因为直线3xy20的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y|x23.答案：37已知曲线yf(x)，yg(x)过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为_解析：由得所以两曲线的交点坐标为(1，1)由f(x)，得f(x)，所以yf(x)在点(1，1)处的切线方程为y1(x1)即x2y10.答案：x2y108已知函数f(x)满足f(1)3，f(1)3，则下列关于f(x)的图象描述正确的是_(1)f(x)的图象在x1处的切线斜率大于0；(2)f(x)的图象在x1处
12、的切线斜率小于0；(3)f(x)的图象在x1处位于x轴上方；(4)f(x)的图象在x1处位于x轴下方解析：f(1)30，则f(x)的图象在x1处的切线斜率小于0；又f(1)30，所以f(x)的图象在x1处位于x轴上方答案：(2)(3)9求曲线yx22x上点P(a，0)处的切线方程解：由P在曲线上可得a22a0，解得a0或a2.由导数的定义得y (2xx2)2x2.所以y|x02022，y|x22222.故在点P1(0，0)处的切线方程为y02(x0)，即y2x.在点P2(2，0)处的切线方程为y02(x2)，即y2x4.10已知抛物线yx24与直线yx10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在
13、交点处的切线方程解：(1)由得x24x10，即x2x60，所以x2或x3.分别代入直线的方程，相应得y8或y13.所以抛物线与直线的交点坐标为(2，8)或(3，13)(2)因为yx24，所以y (2xx)2x.所以y|x24，y|x36，即在点(2，8)处的切线斜率为4，在点(3，13)处的切线斜率为6.所以在点(2，8)处的切线方程为4xy0，在点(3，13)处的切线方程为6xy50.B能力提升11曲线yx上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是()A(，1) B(1，1)C(，1) D(1，)解析：选C.yx上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为ky|xx0 11.即k1.12设f
14、(x)存在导函数，且满足 1，则曲线yf(x)上点(1，f(1)处的切线斜率为()A2 B1C1 D2解析：选B. f(1)1.13已知直线l：y4xa与曲线C：yx32x23相切，求a的值及切点坐标解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，因为f(x) 3x24x，由题意可知k4，即3x4x04，解得x0或x02，所以切点的坐标为(，)或(2，3)当切点为(，)时，有4()a，a.当切点为(2，3)时，有342a，a5.所以当a时，切点为(，)；当a5时，切点为(2，3)14(选做题)已知函数f(x)x3.(1)求函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程；(2)若函数f(x)的图象为曲线C，过点P(，0)作曲线C的切线，求切线的方程解：(1)由导函数的概念，得f(x) 3x(xx)(x)23x2，f(1)3，所以函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程为y13(x1)，即y3x2.(2)设切点为Q(x0，x)，则由第一问得切线的斜率为kf(x0)3x，切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x.因为切线过点P(，0)，所以2x2x0，解得x00或x01，从而切线方程为y0或y3x2.