1、专题七十三 数列综合题 【高频考点解读】数列问题是每年高考的必考内容，涉及选择题、填空题、解答题等多种题型，分值在17至20分之间小题多是考查等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及前n项和公式等基础知识，大题多是考查数列的定义、数列的求和、数列的通项、有关数列问题的证明以及数列与函数、不等式、解析几何等知识的交汇问题解答数列问题时，既要熟记有关公式，能够运用基本方法解决问题，又要善于运用数列的性质进行巧解此外，还要善于运用数列中蕴含的一些重要思想方法，例如：函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等，这些都是近几年高考经常考查的思想方法 【热点题型】题型一 数列的基本运算例1、已知等差数
2、列an的前5项和为105，且a102a5.(1)求数列an的通项公式；(2)对任意mN*，将数列an中不大于72m的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm.【提分秘籍】数列的基本运算是新课标考查中最常见的题型，主要考查两种数列的求和公式及通项公式，试题难度较小 【热点题型】题型二 数列求和 例2、已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8. (1)求等差数列an的通项公式； (2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和 【提分秘籍】 数列求和是近几年高考中的热点，基本题型一般先进行简单运算，再运用“倒序相加”、“错位相减”、“分项求和”等常用方法对数列求和 【热点题型】
3、题型三 数列与函数、不等式等知识的综合 例3、已知函数f(x)x2x1，、()是方程f(x)0的两个根，f(x)是f(x)的导数，设a11，an1an(nN*)(1)求、的值；(2)已知对任意的正整数n，都有an，记bnln(nN*)，求数列bn的前n项和Sn.【提分秘籍】数列与函数、不等式、导数、向量、解析几何等相结合，通过不同知识点的交汇进行命题，以考查能力为主，以数列为背景的不等式证明问题成为近年来高考的热点，要掌握常见的证明不等式的方法，以便更好的解决问题 【高考风向标】1（2014湖南卷） 已知数列an满足a11，|an1an|pn，nN*.(1)若an是递增数列，且a1，2a2，3
4、a3成等差数列，求p的值；(2)若p，且a2n1是递增数列，a2n是递减数列，求数列an的通项公式 2（2014安徽卷） 设实数c0，整数p1，nN*.(1)证明：当x1且x0时，(1x)p1px；(2)数列an满足a1c，an1ana，证明：anan1c. (2)方法一：先用数学归纳法证明anc.当n1时，由题设知a1c成立假设nk(k1，kN*)时，不等式akc成立综上所述，anan1c，nN*. 3（2014湖北卷） 已知等差数列an满足：a12，且a1，a2，a5成等比数列(1)求数列an的通项公式(2)记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n800？若存在，求n的
5、最小值；若不存在，说明理由 4（2014江西卷） 已知首项都是1的两个数列an，bn(bn0，nN*)满足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cn，求数列cn的通项公式；(2)若bn3n1，求数列an的前n项和Sn. 5（2014新课标全国卷）已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明. 6（2014四川卷） 设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图像上(nN*)(1)若a12，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列an的前n项和Sn；(2)若a11，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上
6、的截距为2，求数列的前n项和Tn.所以Tn，2Tn，因此，2TnTn12.所以，Tn.7（2014浙江卷） 已知数列an和bn满足a1a2a3an()bn(nN*)若an为等比数列，且a12，b36b2.(1)求an与bn.(2)设cn(nN*)记数列cn的前n项和为Sn.(i)求Sn；(ii)求正整数k，使得对任意n均有SkSn.【随堂巩固】1等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，a9a2a6.求数列an的通项公式；设bnlog3a1log3a2log3an，求数列的前n项和解：设数列an的公比为q.由a9a2a6得a9a，所以q2.由条件可知q0，故q.由2a13a21得2a13a
7、1q1，所以a1.故数列an的通项公式为an. 2已知等比数列an的公比q3，前3项和S3.(1)求数列an的通项公式；(2)若函数f(x)Asin(2x)( A0,0)在x处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式 3设数列an满足a10且1.(1)求an的通项公式；(2)设bn，记Snbk，证明：Sn1. 4已知等差数列an满足：an1an(nN*)，a11，该数列的前三项分别加上1、1、3后顺次成为等比数列bn的前三项(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设Tn(nN*)，若Tnc(cZ)恒成立，求c的最小值3，Tn33.使Tnc(cZ)恒成立的c的最小值为3.5为了加强环保
8、建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干年更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆(1)求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值 6设数列an满足a10,4an14an21，令bn.(1)试判断数列bn是否为等差数列；(2)若cn，记cn的前n项和为Sn，求证：Sn3；(3)是否存在m，n(m，nN*，mn)，使得1，am，an依次成等比数列？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由解：(1)由已知得4an114an121，所以bb2bn1，即bn1bn1.又b1，a10，所以b11，故数列bn为等差数列