1、瀛海学校2020-2021学年度第一学期10月份检测高三年级数学试卷满分150分，考试时间120分钟.一选择题(共9题；每题5分，共45分)1. 已知集合则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出集合A，然后再求两个集合的交集即可【详解】由解得，所以，又因为，所以，故选：D.【点睛】此题考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】A：为非奇非偶函数，不符合题意；B：在上不单调，不符合题意；C
2、：为偶函数，且在上单调递增，符合题意；D：为非奇非偶函数，不符合题意.故选：C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.3. “”是“”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由得，即或可进行判断.【详解】由得，即或，所以能够得到，但是不一定得到，“”是“”成立的充分不必要条件.故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应
3、集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含4. 在等差数列中，若，则（ ）A. 6B. 10C. 7D. 5【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质，可得，然后由，简单计算结果.【详解】由题可知：又，所以故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的性质，若，则，考验计算，属基础题.5. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以，由于，所以，应选答案A 6. 函数的图像大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】先判断函数奇偶性，排除A，B；再由时的解析式，排除D，即可得出结果.【详解】因为，所以函数为奇函数，排除A，B；
4、当时，所以D错，C正确.故选：C【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的基本性质即可，属于常考题型.7. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种【答案】C【解析】【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.8. 把函数图
5、象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程.【详解】由题得图像变换最后得到的解析式为，令，令k=-1,所以.故选A【点睛】本题主要考查三角函数图像变换和三角函数图像对称轴的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9. 已知函数若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. 1，0）B. 0，+）C. 1，+）D. 1，+）【答案】C【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两
6、个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应
7、的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.二填空题(共6题；每题5分，共30分)10. 如果复数满足，那么_(为虚数单位).【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数求解即可.详解】，故答案为：.11. 在的展开式中常数项为_(用数字作答).【答案】【解析】【分析】写出的展开式的通项，即可求得常数项.【详解】的展开式的通项为：，当，解得，的展开式中常数项是：.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式.12. 已知甲乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否
8、落入盒子互不影响，则甲乙两球至少有一个落入盒子的概率为_.【答案】【解析】【分析】求出甲、乙两球都没有落入盒子的概率，利用对立事件的概率公式可求出所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲、乙两球都没有落入盒子的概率为，由对立事件的概率公式可知，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.故答案为：.13. 已知，且，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由有，可求出的最大值，从而得到的最小值.【详解】由有，即(当且仅当 ，即时取等号)，所以，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二
9、定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14. 曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】【详解】函数的导数为，所以在的切线斜率为，所以切线方程为，即.15. 如图，在直角梯形中，是的中点，则_【答案】【解析】因为在直角梯形中， ，所以，故答案为.三解答题(共5小题；共75分)16. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且的面积为求a及sinC的值；求的值【
10、答案】 ，【解析】【分析】(1)根据余弦定理与面积公式化简求解即可.(2)先利用二倍角公式求解与,再根据余弦的差角公式计算即可.【详解】在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且,的面积为,再根据正弦定理可得,即,故【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式的运用,同时也考查了二倍角公式与和差角公式的运用,属于中等题型.17. 已知函数.（）求的最小正周期；（）若在区间上的最大值与最小值的和为2，求的值.【答案】(1)；（2）【解析】分析：（）根据二倍角公式及辅助角公式可将函数化为即可求得周期 ；（）根据三角函数的有界性不，求出函数的最值，列方程求解即可.详解：（） （）因为，所以当，即时
11、， 单调递增当，即时， 单调递减所以又因为， 所以故，因此点晴：本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的周期性及三角函数的有界性，属于难题三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解18. 已知等差数列满足，前项和为.（
12、1）求数列的通项公式及前项和；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）设公差为，由题可得，则，从而算出的通项公式及前项和；（2），采用裂项相消法求解.【详解】（1）设公差为，由得：，所以，则，所以，所以，（2），【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19. 设数列的前项和为，且，为等差数列，且，（1）求数列和通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（
13、1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据求解即可求通项公式，再根据已知关系求通项公式；（2）结合（1）得【详解】解：（1）当时，当时，此式对也成立 ， ，又因为为等差数列，（2）由（1）可知，所以.得-得：【点睛】本题考查数列通项公式的求解与错位相减法求通项公式，考查运算能力，是中档题.本题解题的关键是利用公式求得.20. 已知函数.（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数a的值；（2）当时，求证：；（3）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）利用导数得出函数的单调性，进而得出其最小值，即可证明；（3）分类讨论的值，利用导数得出的单调性，结合题意，即可得出实数a的取值范围.【详解】解：（1）因为，所以.由题知，解得.（2）当时，所以.当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增；所以是在区间上的最小值.所以.（3）由（1）知，.若，则当时，在区间上单调递增，此时无极值.若，令，则.因为当时，所以在上单调递增.因为，而，所以存在，使得.和的情况如下：x0极小值因此，当时，有极小值.综上，a的取值范围是.【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式，导数几何意义的应用等，属于中档题.
