1、课后素养落实(十)向量应用(建议用时：40分钟)一、选择题1若A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，则ABC的形状为()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形C(1，1)，(3，3)，0，即，故ABC为直角三角形2河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A10 m/s B2 m/sC4 m/s D12 m/sB由题意知|v水|2 m/s，|v船|10 m/s，作出示意图如图所以小船在静水中的速度大小|v|2 m/s3用两条成120角的等长的绳子悬挂一个物体，如图，已知物体重力大小为10 N，则每根绳子的拉力
2、大小是()A5 N B8 N C10 N D12 NC因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于60，故每根绳子的拉力大小都是10 N4点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是ABC的()A重心 B外心 C内心 D垂心D由，可得0，()0，即0，同理可证，所以O是ABC的垂心，即三条高的交点5等腰直角三角形ABC中，C90，且A(1，2)，C(1，1)，则B的坐标为()A(2，1) B(0，1)C(2，3) D(0，1)或(2，3)D设B的坐标为(x，y)，则(x1，y1)，又(2，1)由题意知|，且0，解得或二、填空题6ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，()，且|，则_
3、1设BC的中点是D，如图所示，则2，则，所以O和D重合，所以BC是圆O的直径，所以BAC90又|，则|1，|2，所以ABC60，所以|cos 601217如图，平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角线BD2，则对角线AC的长为_，2222，又，2222，得222(22)又AD1，AB2，BD2，AC8当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为，两人用力大小都为|F|，若|F|G|，则的值为_120如图，|F1|F2|F1|F2|G|，2cos 1，120三、解答题9如图，已知AB是O的直径，点P是O上任一点(不与A，B重合)，求证：APB90(用向量方法证明)证明连接OP，设向量a，b，
4、则a，且ab，ab，b2a2|b|2|a|20，即APB9010帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向解建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30，速度的大小为|v1|20 km/h，水流的方向为正东，速度的大小为|v2|20 km/h，设帆船行驶的速度为v，则vv1v2由题意，可得v1(20cos 60，20sin 60)(10，10)，v2(20，0)，则帆船的行驶速度vv1v2(10，10)(20，0)(30，10)，所以|v
5、|20(km/h)因为tan (为v和v2的夹角，为锐角)，所以30所以帆船向北偏东60的方向行驶，速度为20 km/h11(多选题)点O在ABC所在的平面内，则以下说法正确的有()A若0，则点O为ABC的重心B若0，则点O为ABC的垂心C若()()0，则点O为ABC的外心D若，则点O为ABC的内心AC选项A，设D为BC的中点，由于()2，所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为ABC的重心选项B，向量，分别表示在边AC和AB上取单位向量和，记它们的差是向量，则当0，即OABC时，点O在BAC的平分线上，同理由0，知点O在ABC的平分线上，故O为ABC的内心选项C，是以，为邻边的平
6、行四边形的一条对角线，而|是该平行四边形的另一条对角线，()0表示这个平行四边形是菱形，即|，同理有|，于是O为ABC的外心选项D，由得0，()0，即0，同理可证，OBCA，OACB，OCAB，即点O是ABC的垂心故选AC12已知BC是圆O的直径，H是圆O的弦AB上一动点，BC10，AB8，则的最小值为()A4 B25 C9 D16D以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设点H(x，y)，则B(5，0)，C(5，0)，所以(5x，y)，(5x，y)，则(5x，y)(5x，y)x2y225，又因为AB8，且H为弦AB上一动点，所以9x2y225，其中当取AB的中
7、点时取得最小值，所以92516，故选D13如图2，“六芒星”由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行点A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若xy，则xy的取值范围是()图1图2A4，4 B，C5，5 D6，6C如图建立平面直角坐标系，令正三角形边长为3，则i，ij，可得i，j，由图知当点P在点C时，有j23，此时xy有最大值5，同理当点P在与C相对的下顶点时有j23，此时xy有最小值5故选C 14如图，一个力F作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，F的大小为50牛，且与小车的位移方向的夹角为60，e是与小车位移方向相同的单位向量，则
8、F在小车位移上的投影向量为_，力F做的功为_ J25e1 000|F|50，且F与小车的位移方向的夹角为60，F在小车位移上的投影向量为|F|cos 60e25e力F作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，力F做的功W25401 000(J)15在三角形ABC中，AB2，AC1，ACB，D是线段BC上一点，且，F为线段AB上一点(1)设a，b，设xayb，求xy；(2)求的取值范围；(3)若F为线段AB的中点，直线CF与AD相交于点M，求解(1)ab，而xayb，x，y，xy(2)在三角形ABC中，AB2，AC1，ACB，CAB，BC，不妨设|x，x式1xcosx2x2x，x，(3)F为线段AB的中点，不妨设，A，M，D三点共线，即， ，22