1、8.6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做,两焦点间的距离叫做.集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数.(1)若ac,则点M的轨迹是双曲线;(2)若ac,则点M的轨迹是两条射线;(3)若ac,则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0).3.双曲线的性质标准方程x2a2-y2b
2、2=1(a0,b0)y2a2-x2b2=1(a0,b0)图形续表标准方程x2a2-y2b2=1(a0,b0)y2a2-x2b2=1(a0,b0)性质范围xa或x-a,yRy-a或ya,xR对称性对称轴:,对称中心:顶点A1,A2A1,A2渐近线y=baxy=abx离心率e=ca,e(1,+)a,b,c的关系c2=实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长1.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上一点M(x0,y0)的切线方程为x0xa2-y0yb2=1.2.双曲线x2a2-
3、y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)为双曲线上任意一点,且不与点F1,F2共线,F1PF2=,则F1PF2的面积为b2tan2.3.若点P(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)内,则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2-y0yb2=x02a2-y02b2.4.双曲线中点弦的斜率公式设点M(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的弦AB(不平行y轴)的中点,则kABkOM=b2a2,即kAB=b2x0a2y0.5.双曲线的焦半径公式双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),当点
4、M(x0,y0)在双曲线右支上时,|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a;当点M(x0,y0)在双曲线左支上时,|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.6.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.7.双曲线的同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴所在直线的弦),其长为2b2a;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)双曲线x2m2-y2n
5、2=(m0,n0,0)的渐近线方程是x2m2-y2n2=0,即xmyn=0.()(3)关于x,y的方程x2m-y2n=1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)与双曲线x2m-y2n=1(其中mn0)共渐近线的双曲线方程可设为x2m-y2n=(0).()(5)若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与x2b2-y2a2=1(a0,b0)的离心率分别是e1,e2,则1e12+1e22=1.()2.“m0”是“方程x2m-y2m+2=1表示双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)过点(2,
6、3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程为()A.x212-y2=1B.x29-y23=1C.x2-y23=1D.x223-y232=14.(2019北京,5)已知双曲线x2a2-y2=1(a0)的离心率是5,则a=()A.6B.4C.2D.125.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为.关键能力学案突破考点双曲线的定义【例1】(1)已知点F2为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,直线y=kx交双曲线C于A,B两点,若AF2B=23,SAF2B=23,则双曲线C的虚轴长为.(2)
7、已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若ABF2的内切圆与边AB,BF2,AF2分别相切于点M,N,P,且|AP|=4,则a的值为.解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点轨迹是否为双曲线,进而求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合|PF1|-|PF2|=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|PF2|的联系.对点训练1(1)(2020河南非凡联盟4月联考)已知双曲线C:x2a2-y29=1(a0)的左、右焦点分别为F1,F2,一条渐近线与直线4x+3
8、y=0垂直,点M在双曲线C上,且|MF2|=6,则|MF1|=()A.2或14B.2C.14D.2或10(2)(2020河北廊坊省级示范学校联考)设F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,过点F1的直线交双曲线C的左支于A,B两点,且|AF2|=3,|BF2|=5,|AB|=4,则BF1F2的面积为.考点双曲线的标准方程【例2】(1)已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x22-y214=1(x2)B.x22-y214=1(x-2)C.x22+y214=1(x2)D.x22+y2
9、14=1(x-2)(2)在平面直角坐标系中,经过点P(22,-2),渐近线方程为y=2x的双曲线的标准方程为()A.x24-y22=1B.x27-y214=1C.x23-y26=1D.y214-x27=1(3)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若(F2F1+F2A)F1A=0,则双曲线的标准方程可能为()A.x24-y23=1B.x23-y24=1C.x216-y29=1D.x29-y216=1解题心得1.求双曲线标准方程的答题模板2.利用待定系数法求双曲线方程的常用方法(1)与双曲线x2a2-
10、y2b2=1共渐近线的方程可设为x2a2-y2b2=(0);(2)若双曲线的渐近线方程为y=bax,则双曲线的方程可设为x2a2-y2b2=(0);(3)若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为x2m+y2n=1(mn0)或mx2+ny2=1(mn0,b0)的右焦点F(c,0)作其渐近线y=32x的垂线,垂足为M,若SOMF=43(O为坐标原点),则双曲线的标准方程为()A.x24-y23=1B.x28-y26=1C.x216-y212=1D.x232-y224=1(2)过双曲线C:x2a2-y2b2=1的右顶点作x轴的垂线,与双曲线C的一条渐近线相交于点A.若以双曲线C的右焦点F为圆心,4
11、为半径的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为()A.x24-y212=1B.x27-y29=1C.x28-y28=1D.x212-y24=1(3)经过点P(3,27),Q(-62,7)的双曲线的标准方程为.考点双曲线的几何性质(多考向探究)考向1求双曲线的渐近线方程【例3】(2020福建厦门一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点为F,点A,B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点,以AB为直径的圆过点F且交双曲线C的左支于M,N两点,若|MN|=2,ABF的面积为8,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=3xB.y=33xC.y=2xD.y=12x
12、解题心得求双曲线的渐近线方程的方法依据题设条件,求出双曲线方程x2a2-y2b2=1(a0,b0)中a,b的值或a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.对点训练3(2020山东德州高三第二次模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线x2a2-y2b2=12的焦点相同,则双曲线渐近线方程为()A.y=33xB.y=3xC.y=22xD.y=2x考向2求双曲线的离心率【例4】(2020广东汕尾一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0),F为双曲线C的右焦点,A为双曲线C的右顶点,过点F作x轴的垂线,交双曲线C于M,N两点.若tanMAN=-34,则双曲线C的离心率为()
13、A.3B.2C.43D.2解题心得求双曲线离心率的值或取值范围的方法(1)求a,b,c的值,由e=ca=1+b2a2直接求出e.(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化为关于e的方程(或不等式)求解.对点训练4(2019全国2,理11)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.5考向3与双曲线有关的取值范围问题【例5】已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是双曲线C的两个焦点
14、,若MF1MF20,b0)上一点,F1,F2为双曲线C的左、右焦点,若|PF1|=|F1F2|,且直线PF2与以双曲线C的实轴为直径的圆相切,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=43xB.y=34xC.y=35xD.y=53x对点训练6过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点F作圆O:x2+y2=a2的两条切线,切点为A,B,双曲线的左顶点为C,若ACB=120,则双曲线的渐近线方程为()A.y=3xB.y=33xC.y=2xD.y=22x8.6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距(1)3.坐标轴原点(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)
15、a2+b22a2b考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.A由“方程x2m-y2m+2=1表示双曲线”得m(m+2)0,即m0或m0”是“m0或m0”是“方程x2m-y2m+2=1表示双曲线”的充分不必要条件.故选A.3.C由双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,可得2a2-3b2=1,ba=3,解得a=1,b=3.故双曲线C的标准方程为x2-y23=1.4.D双曲线的离心率e=ca=5,c=a2+b2,a2+1a=5,解得a=12.故选D.5.53由题意知直线y=-bax过点(3,-4),所以3ba=4,即ba
16、=43,所以e=ca=1+b2a2=1+169=53.关键能力学案突破例1(1)22(2)2(1)设双曲线C的左焦点为F1,连接AF1,BF1,由对称性可知四边形AF1BF2为平行四边形,因为AF2B=23,SAF2B=23,所以SAF1F2=23,F1AF2=3.设|AF1|=r1,|AF2|=r2,则4c2=r12+r22-2r1r2cos3,又|r1-r2|=2a,故r1r2=4b2.又SAF1F2=12r1r2sin3=23,所以b2=2,所以该双曲线的虚轴长为22.(2)由题意知|BM|=|BN|,|PF2|=|NF2|,|AM|=|AP|=4.根据双曲线的定义,知|BF1|-|BF
17、2|=|MF1|-|NF2|=2a,|AF2|-|AF1|=2a,则|AF1|=|AF2|-2a,所以|BF1|-|BF2|=|AM|+|AF1|-|NF2|=|AM|+|AP|+|PF2|-2a-|NF2|=8-2a=2a,所以a=2.对点训练1(1)C(2)92(1)由题意知3a=34,故a=4,则c=5.由|MF2|=6a+c=9,知点M在双曲线C的右支上.由双曲线的定义知|MF1|-|MF2|=2a=8,所以|MF1|=14.(2)因为|AF2|=3,|BF2|=5,|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|-|AB|=3+5-4=4=4a,
18、所以a=1,所以|BF1|=3.又|AF2|2+|AB|2=|BF2|2,所以F2AB=90,所以SBF1F2=12|BF1|AF2|=1233=92.例2(1)A(2)B(3)D(1)设动圆M的半径为r,由题意可得|MC1|=r+2,|MC2|=r-2,|C1C2|=8,所以|MC1|-|MC2|=22|C1C2|,所以由双曲线的定义可知动点M在以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点,实轴长为22的双曲线的右支上,所以a=2,c=4,所以b2=16-2=14,故动圆圆心M的轨迹方程为x22-y214=1(x2).(2)因为双曲线的渐近线方程为y=2x,所以可设所求双曲线的方程为2x2-y2
19、=k(k0).又点P(22,-2)在双曲线上,所以k=16-2=14,所以双曲线的方程为2x2-y2=14,所以双曲线的标准方程为x27-y214=1.故选B.(3)由(F2F1+F2A)F1A=0,可知(F2F1+F2A)(F2A-F2F1)=0,即|F2A|2-|F2F1|2=0,所以|F2A|=|F1F2|=2c.又AF2的斜率为247,所以cosAF2F1=-725.在AF1F2中,由余弦定理得|AF1|=165c.由双曲线的定义得165c-2c=2a,即ca=53,所以ab=34.所以此双曲线的标准方程可能为x29-y216=1.故选D.对点训练2(1)C(2)A(3)y225-x2
20、75=1(1)由题意易得|FM|=b,又|OF|=c,FMOM,所以|OM|=|OF|2-|FM|2=a.联立ba=32,12ab=43,解得a=4,b=23,所以双曲线的标准方程为x216-y212=1.故选C.(2)不妨设渐近线y=bax与直线x=a交于点A,则点A(a,b).依题意,c=4,(4-a)2+b2=4,a2+b2=c2=16,解得a2=4,b2=12,故双曲线的标准方程为x24-y212=1.(3)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mnb0)与双曲线x2a2-y2b2=12,即x2a22-y2b22=1的焦点相同,可得a2-b2=a22+b22,即a2=3b2,所以ba=3
21、3.所以双曲线的渐近线方程为y=33x.故选A.例4B由题意可知tanMAN=2tanMAF1-tan2MAF=-34,解得tanMAF=3.令x=c,则y=b2a,可得tanMAF=b2ac-a=c2-a2ac-a=c+aa=3,则e=ca=2.故选B.对点训练4A如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQx轴.|PQ|=|OF|=c,|PA|=c2.PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心,|OA|=c2.Pc2,c2.又点P在圆x2+y2=a2上,c24+c24=a2,即c22=a2,e2=c2a2=2,e=2.故选A.例5A因为点F1(-3,0),F2(3,0),x022-y02=1,
22、所以MF1MF2=(-3-x0,-y0)(3-x0,-y0)=x02+y02-30,即3y02-10,解得-33y00,4-m0,解得4m0,b0)的焦距为2c(c0),则点C(-a,0),F(-c,0).由双曲线和圆的对称性,可知点A与点B关于x轴对称,则ACO=BCO=12ACB=12120=60.因为|OA|=|OC|=a,所以ACO为等边三角形,所以AOC=60.因为FA与圆O相切于点A,所以OAFA.在RtAOF中,因为AOC=60,所以|OF|=2|OA|,即c=2a,所以b=c2-a2=(2a)2-a2=3a.所以双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=3x.