1、高考资源网（） 您身边的高考专家第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程必备知识预案自诊知识梳理1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴与直线l的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为.(2)直线的倾斜角的取值范围为.2.直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan ,倾斜角是90的直线没有斜率.(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k=y2-y1x2-x1.3.直线方程的五种形式名称
2、几何条件方程适用条件点斜式过点(x0,y0),斜率为k与x轴不垂直的直线斜截式在y轴上的截距为b,斜率为k两点式过两点(x1,y1),(x2,y2)(x1x2,y1y2)与两坐标轴均不垂直的直线截距式在x轴、y轴上的截距分别为a,b(a,b0)不过原点,且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax+By+C=0(A2+B20)平面内所有直线1.特殊直线的方程:(1)过点P(x1,y1),垂直于x轴的直线方程为x=x1;(2)过点P(x1,y1),垂直于y轴的直线方程为y=y1;(3)y轴的方程为x=0;(4)x轴的方程为y=0.2.直线的倾斜角和斜率k之间的对应关系:009090900不存在k0考点自
3、诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)直线的倾斜角越大,其斜率越大.()(2)过点M(a,b),N(b,a)(ab)的直线的倾斜角是45.()(3)若直线的斜率为tan ,则其倾斜角为.()(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.()(5)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离.()2.直线2xsin 210-y-2=0的倾斜角是()A.45B.135C.30D.1503.如果AC0,且BC0,那么直线Ax+By+C=0不通过第象限.4.(2020山东德州高三诊测
4、)过直线l:y=x上的点P(2,2)作直线m,若直线l,m与x轴围成的三角形的面积为2,则直线m的方程为.5.(2020云南丽江高三月考)经过点(4,1),且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为.关键能力学案突破考点直线的倾斜角与斜率【例1】(1)已知曲线y=13x3-x2上一个动点P,作曲线在点P处的切线,则切线倾斜角的取值范围为()A.0,34B.0,234,C.34,D.2,34(2)已知点A(2,3),B(-3,-2),若直线l过点P(1,1),且与线段AB始终没有交点,则直线l的斜率k的取值范围是()A.34,2B.-,34(2,+)C.34,+D.(-,2)(3)若直线l的斜率为k
5、,倾斜角为,且6,423,则k的取值范围是.解题心得直线的斜率与倾斜角的区别与联系直线l的斜率k直线l的倾斜角区别当直线l垂直于x轴时,l的斜率k不存在当直线l垂直于x轴时,l的倾斜角为2联系k=tan,0,22,.当0,2时,越大,l的斜率越大;当2,时,越大,l的斜率越大.所有直线都有倾斜角,但不是所有直线都存在斜率对点训练1(1)(多选)若直线l1:ax-y-b=0,l2:bx-y+a=0,ab0,ab,则下列图形可能正确的是()(2)直线xcos +3y+2=0的倾斜角的取值范围是()A.0,56B.6,56C.6,22,56D.0,656,(3)已知点A(2,-3),B(-3,-2)
6、,直线l的方程为-kx+y+k-1=0,且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围为()A.(-,-434,+B.-,-1434,+C.-4,34D.34,4考点求直线的方程【例2】(1)过点P(3,-1),且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有条,方程为.(2)已知一条直线经过点A(2,-3),并且它的倾斜角等于直线x-3y=0倾斜角的2倍,则这条直线的方程是.(3)在ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,则直线MN的方程为.解题心得1求解直线方程的两种方法直接法根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程待定系数法设所求直线方
7、程的某种形式;根据条件建立所求参数的方程(组);解这个方程(组)求出参数;把参数的值代入所设直线方程2.谨防三种失误(1)应用点斜式方程和斜截式方程时,要注意讨论斜率是否存在.(2)应用截距式方程时,要注意讨论直线是否过原点,即截距是否为0.(3)应用一般式Ax+By+C=0(A2+B20)确定直线的斜率时,注意讨论B是否为0.对点训练2(1)在等腰三角形MON中,|MO|=|MN|,点O(0,0),M(-1,3),点N在x轴的负半轴上,则直线MN的方程为()A.3x-y-6=0B.3x+y+6=0C.3x-y+6=0D.3x+y-6=0(2)过点A(1,3),且斜率是直线y=-4x的斜率的1
8、3的直线方程为.(3)过点P(6,-2),且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为.考点直线方程的应用(多考向探究)考向1与基本不等式及函数性质相结合的最值问题【例3】已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,求AOB的面积的最小值及此时直线l的方程.解题心得求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用函数的单调性或基本不等式求解.变式发散(1)若本例条件不变,求|OA|+|OB|的最小值及此时l的方程.(2)若本例条件不变,求PAPB的最大值及此时直线l的方程.考向2与函数的导数的几何意义相结合的问题【例4】设P为曲线C:y
9、=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为0,4,则点P的横坐标的取值范围为()A.-1,-12B.-1,0C.0,1D.12,1解题心得解决与函数的导数的几何意义相结合的问题,一般是利用导数在切点处的值等于切线的斜率来求解相关问题.对点训练3曲线xy-x+2y-5=0在点A(1,2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A.9B.496C.92D.113第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程必备知识预案自诊知识梳理1.(1)正向向上0(2)00,在y轴上的截距-CB0,故直线经过第一、第二、第四象限,不经过第三象限.4.x-2y+2=0或x=2若直线m
10、的斜率不存在,则直线m的方程为x=2,此时直线m,直线l和x轴围成的三角形的面积为2,符合题意;若直线m的斜率存在,则由题意可知其斜率k0,设直线m的方程为y-2=k(x-2)(k0),令y=0,得x=2-2k,依题意有122-2k2=2,即1-1k=1,解得k=12,故直线m的方程为y-2=12(x-2),即x-2y+2=0.综上可知,直线m的方程为x-2y+2=0或x=2.5.x-4y=0或x+y-5=0设直线l在两坐标轴上的截距均为a.若a=0,则直线l过点(0,0)和(4,1),所以直线l的方程为y=14x,即x-4y=0.若a0,则直线l的方程为xa+ya=1,因为直线l过点(4,1
11、),所以4a+1a=1,解得a=5,所以直线l的方程为x5+y5=1,即x+y-5=0.综上可知,直线l的方程为x-4y=0或x+y-5=0.关键能力学案突破例1(1)B(2)A(3)-3,0)33,1(1)y=x2-2x=(x-1)2-1-1,切线的斜率k-1,切线的倾斜角0,234,.故选B.(2)由已知得kAP=3-12-1=2,kBP=-2-1-3-1=34.如图,因为直线l与线段AB始终没有交点,所以斜率k的取值范围是34,2.故选A.(3)当64时,33tan1,故33k1.当23时,-3tan0,故-3k0,b0,由l2得b0,故A正确;对于B,由l1得a0,b0,由l2得b0,
12、a0,故B正确;对于C,由l1得a0,b0,a0,故C不正确;对于D,由l1得a0,b0,由l2得b0,故D不正确.故选AB.(2)由已知得tan=-33cos.cos-1,1,-33-33cos33,即-33tan33,解得0,656,.故选D.(3)由-kx+y+k-1=0,即y-1=k(x-1),可知直线l恒过定点P(1,1),则kAP=-4,kBP=34.作出直线AP,BP(图略),可知当直线l与线段AB相交时,直线l的斜率k的取值范围为(-,-434,+.故选A.例2(1)3x+3y=0,x+y-2=0,x-y-4=0(2)3x-y-33=0(3)5x-2y-5=0(1)当截距不为0
13、,且截距相等时,设直线方程为xa+ya=1(a0),将点P的坐标代入直线方程,解得a=2,所以直线方程为x+y-2=0;当截距不为0,且截距互为相反数时,设直线方程为xb+y-b=1(b0),将点P的坐标代入直线方程,解得b=4,所以直线方程为x-y-4=0;当截距为0时,设直线方程为y=kx,将点P的坐标代入直线方程,解得k=-13,所以直线方程为x+3y=0.综上可知,直线有3条,方程为x+3y=0,x+y-2=0,x-y-4=0.(2)由已知得直线x-3y=0的斜率为33,则其倾斜角为30,故所求直线的倾斜角为60,斜率为3,故所求直线的方程为y-(-3)=3(x-2),即3x-y-33
14、=0.(3)设C(x0,y0),则Mx0+52,y0-22,Nx0+72,y0+32.因为点M在y轴上,所以x0+52=0,解得x0=-5.因为点N在x轴上,所以y0+32=0,解得y0=-3.所以M0,-52,N(1,0),所以直线MN的方程为x1+y-52=1,即5x-2y-5=0.对点训练2(1)C(2)4x+3y-13=0(3)2x+3y-6=0或x+2y-2=0(1)因为|MO|=|MN|,点N在x轴的负半轴上,所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数,所以kMN=-kMO=3,所以直线MN的方程为y-3=3(x+1),即3x-y+6=0.故选C.(2)依题意,所求直线的斜率为-
15、413=-43.又所求直线经过点A(1,3),因此所求直线方程为y-3=-43(x-1),即4x+3y-13=0.(3)依题意,所求直线的截距一定存在,设直线方程是xa+1+ya=1(a0),则6a+1+-2a=1,解得a=2或a=1,则直线的方程是x2+1+y2=1或x1+1+y1=1,即2x+3y-6=0或x+2y-2=0.例3解(方法1)依题意,设直线l的方程为xa+yb=1(a0,b0),将点P(3,2)的坐标代入方程得3a+2b=126ab,即ab24,当且仅当3a=2b时,等号成立,从而SAOB=12ab12,故AOB的面积的最小值为12,此时直线l的斜率k=-ba=-23,从而所
16、求直线l的方程为2x+3y-12=0.所以AOB的面积的最小值为12,此时直线l的方程为2x+3y-12=0.(方法2)依题意,直线l的斜率k存在,且k0,可设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k0,b0.因为|OA|+|OB|=a+b,所以a+b=(a+b)3a+2b=5+3ba+2ab5+26,当且仅当3ba=2ab,且3a+2b=1,即a=3+6,b=2+6时,等号成立.所以|OA|+|OB|的最小值为5+26.此时直线l的方程为x3+6+y2+6=1,即6x+3y-6-36=0.(方法2)由原例题方法2知k0,A3-2k,0,B(0,2-3k),故|OA|+|OB|=3-2k+2-3
17、k=5+-2k+(-3k)5+2-2k(-3k)=5+26.当且仅当-2k=-3k,即k=-63时,等号成立.故|OA|+|OB|的最小值为5+26.此时直线l的方程为y-2=-63(x-3),即6x+3y-6-36=0.(2)由原例题方法2知A3-2k,0,B(0,2-3k),k0.故PAPB=-2k,-2(-3,-3k)=6k+6k=-6k+(-6k)-2-6k(-6k)=-12,当且仅当-6k=-6k,即k=-1时,等号成立.此时直线l的方程为x+y-5=0.所以PAPB的最大值为-12,此时直线l的方程为x+y-5=0.例4A由题意知y=2x+2.设P(x0,y0),则在点P处的切线斜率k=2x0+2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0,4,所以0k1,即02x0+21,解得-1x0-12.对点训练3B由xy-x+2y-5=0,得y=x+5x+2,y=-3(x+2)2,曲线在点A(1,2)处的切线斜率k=-3(1+2)2=-13,曲线在点A(1,2)处的切线方程为y-2=-13(x-1).令x=0,得y=73;令y=0,得x=7.所求三角形的面积S=12737=496.故选B.- 10 - 版权所有高考资源网