1、单元质检四三角函数、解三角形(B)(时间:45分钟满分:100分)单元质检卷第9页一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2=() A.-45B.-35C.35D.45答案:B解析:由题意知tan =2,故cos 2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=1-221+22=-35.2.(2015海南高考模拟)已知函数f(x)=sin x和函数g(x)=cos x在区间0,2上的图像交于A,B两点,则OAB的面积是()A.328B.22C.528D.324答案:A解析:在区间0
2、,2上,由sin x=cos x结合三角函数的图像可得x=14或x=54,则有A14,22,B54,-22,而直线AB交x轴于点C34,0,故SOAB=SOAC+SOBC=123422+123422=328.3.(2015湖南,理9)将函数f(x)=sin 2x的图像向右平移02个单位后得到函数g(x)的图像.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=3,则=()A.512B.3C.4D.6导学号92950642答案:D解析:由题意可知,g(x)=sin(2x-2).因为|f(x1)-g(x2)|=2,可知f(x1)和g(x2)分别为f(x)和g(x)的最大值
3、和最小值(或最小值和最大值).不妨令2x1=2+2k(kZ),2x2-2=-2+2m(mZ),则x1-x2=2-+(k-m),又|x1-x2|min=3,所以当k-m=0时,即k=m,又02,则有2-=3,解得=6.故选D.4.(2015湖北七市(州)联考)将函数g(x)=3sin2x+6图像上所有点向左平移6个单位,再将各点横坐标缩短为原来的12,得到函数f(x),则()A.f(x)在0,4上单调递减B.f(x)在4,34上单调递减C.f(x)在0,4上单调递增D.f(x)在4,34上单调递增导学号92950643答案:A解析:依题意,将函数g(x)的图像向左平移6个单位长度得到的曲线方程是
4、y=3sin2x+6+6=3cos 2x,再将各点横坐标缩短为原来的12,得到的曲线方程是y=3cos 4x,即f(x)=3cos 4x,易知函数f(x)=3cos 4x在0,4上单调递减,故选A.5.设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=()A.3B.23C.34D.56答案:B解析:由3sin A=5sin B,得3a=5b,则a=53b,代入b+c=2a中,得c=73b.由余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab=-12,又0C,C=23.6.(2015河北衡水中学调研)设锐角ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,
5、b,c,且a=1,B=2A,则b的取值范围为()A.(2,3)B.(1,3)C.(2,2)D.(0,2)导学号92950644答案:A解析:B=2A,sin B=sin 2A,sin B=2sin Acos A,b=2acos A,又a=1,b=2cos A.ABC为锐角三角形,0A2,0B2,0C2,即0A2,02A2,0-A-2A2,6A4,22cos A32,22cos A3,b(2,3).二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.如图所示,在四边形ABCD中,已知ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135,则BC的长为.答案:82解析:在ABD中,设BD
6、=x,则BA2=BD2+AD2-2BDADcosBDA,即142=x2+102-210xcos 60,整理得x2-10x-96=0,解得x1=16,x2=-6(舍去).在BCD中,由正弦定理得BDsinBCD=BCsinBDC,BC=16sin135sin 30=82.8.(2015天津南开模拟)当0x4时,函数f(x)=cos2xcosxsinx-sin2x的最小值是.导学号92950645答案:4解析:当0x4时,0tan x1,f(x)=cos2xcosxsinx-sin2x=1tanx-tan2x.设t=tan x,则0t1,y=1t-t2=1t(1-t)1t+1-t22=4,当且仅当
7、t=1-t,即t=12时,等号成立.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且c=-3bcos A,tan C=34.(1)求tan B的值;(2)若c=2,求ABC的面积.解:(1)由正弦定理,得sin C=-3sin Bcos A,即sin(A+B)=-3sin Bcos A.所以sin Acos B+cos Asin B=-3sin Bcos A.从而sin Acos B=-4sin Bcos A.因为cos Acos B0,所以tanAtanB=-4.又tan C=-tan(A+B)=tanA+tanBtanAtanB-1,
8、由得tan A=-4tan B代入整理,得3tanB4tan2B+1=34,解得tan B=12.(2)由(1)得sin A=25,sin B=15,sin C=35.由正弦定理,得a=csinAsinC=22535=453.所以ABC的面积为12acsin B=12453215=43.导学号9295064610.(15分)已知函数f(x)=3sin 2x-cos 2x的图像关于直线x=3对称,其中-12,52.(1)求函数f(x)的解析式;(2)在ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,锐角B满足fB2+12=253,b=2,求ABC面积的最大值.解:(1)因为f(x)=3sin
9、 2x-cos 2x=2sin2x-6的图像关于直线x=3对称,所以23-6=k+2(kZ),所以=3k2+1(kZ).因为-12,52,所以-123k2+152(kZ),所以-1k1(kZ),所以k=0,=1,所以f(x)=2sin2x-6.(2)fB2+12=2sin B=253,所以sin B=53,因为B为锐角,所以0B2,所以cos B=23,因为cos B=a2+c2-b22ac,所以a2+c2-b22ac=23,所以43ac=a2+c2-22ac-2,所以ac3,当且仅当a=c=3时,ac取到最大值3,所以ABC面积的最大值为12353=52.导学号9295064711.(15分
10、)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2b-c)cos A-acos C=0.(1)求角A的大小;(2)若a=3,SABC=334,试判断ABC的形状,并说明理由.解:(1)(方法一)由(2b-c)cos A-acos C=0及正弦定理,得(2sin B-sin C)cos A-sin Acos C=0,2sin Bcos A-sin(A+C)=0,sin B(2cos A-1)=0.0B,sin B0,cos A=12.0A,A=3.(方法二)由(2b-c)cos A-acos C=0及余弦定理,得(2b-c)b2+c2-a22bc-aa2+b2-c22ab=0,整理,得b2+c2-a2=bc,cos A=b2+c2-a22bc=12.0A,A=3.(2)ABC为等边三角形.理由如下:SABC=12bcsin A=334,即12bcsin3=334,bc=3,a2=b2+c2-2bccos A,a=3,A=3,b2+c2=6.由得b=c=3,ABC为等边三角形.导学号929506484