1、吉林省辽源市第五中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题 文（含解析）一选择题1.某镇有、三个村，它们的精准扶贫的人口数量之比为，现在用分层抽样的方法抽出容量为的样本，样本中村有15人，则样本容量为（ ）A. 50B. 60C. 70D. 80【答案】C【解析】【分析】运用分层抽样的知识，村抽出15人，结合三个村的人口比例解出答案【详解】设、B、三个村的人口分别为则由题意可得解得故选【点睛】本题主要考查了分层抽样法，解题的关键是掌握分层抽样的定义，属于基础题2.数列3，7，13，21，31，的通项公式是（ ）A. B. C. D. 不存在【答案】C【解析】【分析】利用累加法求得数列的通
2、项公式.详解】依题意可知，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查累加法求数列的通项公式，属于基础题.3.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢数学的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢数学的频率已知该年级男生女生各500名（所有学生都参加了调查），现从所有喜欢数学的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为A. 16B. 32C. 24D. 8【答案】C【解析】【分析】根据等高条形图可得到喜欢数学的女生和男生的比为1:3，再由分层抽样计算出抽取的男生人数【详解】由等高条形图可知：喜欢数学的女生和男生的比为1:3，所以抽取的男生数为24人故选C【点睛】本题考查高条形图与分层抽样，需掌握等高
3、条形图的性质与分层抽样方法，属于基础题4.在中，那么是（ ）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 非钝角三角形【答案】B【解析】因为，所以可设 ，由余弦定理可得 ，所以 ，是钝角三角形，故选B.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理的应用以及判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.5.已知等差数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】
4、C【解析】【分析】利用等差数列通项公式可得方程组得到代入通项公式得【详解】由题意得所以，故选C.【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查基本运算能力6.设是等差数列的前项和，若，则（ ）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】题目已知数列为等差数列，且知道某两项的比值，要求某两个前项和的比值，故考虑用相应的等差数列前项和公式，将要求的式子转化为已知条件来求解.【详解】，故选A.【点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式和等差中项的应用.等差数列求和公式有两个，它们分别是，和.在解题过程中，要选择合适的公式来解决.本题中已知项之间的比值，求项之间的比值，故考虑用第二个公式来计算，简化运算
5、.7.某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出小明等车时间不超过分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案【详解】设小明到达时间为，当在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，根据几何概型概率计算公式得.故选B.【点睛】本题考查求几何概型中长度型的概率，属于简单题8.等差数列的前项和为，已知，则的值为（ ）A. 38B. -19C. -38D. 19【答案】C【解析】由等差数列的
6、性质可知即故本题答案选9.根据如下样本数据得到的回归直线方程，则下列判断正确的是（ ）x23456y4.02.5-050.5-2A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据增减性得再求代入验证选项【详解】因为随着增加，大体减少，所以因为，所以，故选D【点睛】本题考查回归直线方程，考查基本分析判断能力，属基础题.10.设的内角所对边分别为，已知，的面积为，则的外接圆面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理化简，可得，化简即可得到，再利用三角形的面积公式以及余弦定理联立方程，可得，再根据正弦定理可得，从而求得三角形外接圆的半径，即可得到面积【详解】因为
7、，由正弦定理可得：即由于在中，由诱导公式可得，所以等价于，由于在中，则，所以，因为在中，故由于的面积为，所以由三角形面积公式以及余弦定理可得： 解得： 所以由正弦定理可得，解得：，则的外接圆的半径为2，其面积为故答案选A【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式在三角形中的应用，熟练掌握公式是解题的关键，考查学生基本的运算能力，属于中档题11.为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是、，则下列说法正确的是（ ）A. ，乙比甲稳定，应选乙参加比赛B. ，甲比乙稳定，应选甲参加比赛C. ，甲比乙稳定，应选甲参加比赛D.
8、，乙比甲稳定，应选乙参加比赛【答案】B【解析】【分析】先计算出甲乙两个学生的平均得分，再分析得解.【详解】由题得，所以.从茎叶图可以看出甲的成绩较稳定，所以要派甲参加.故选B【点睛】本题主要考查平均数的计算和茎叶图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.设为三角形三内角，且方程有两相等的实根，那么角（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据方程有两相等实根可得判别式，在依据正弦定理把角换成边，化简得，代入余弦定理得，再根据两边平方，得出与的关系，进而推断出的范围.【详解】依题意有，根据正弦定理得：，即，化简得：，整理得：，即，且所以，因为，所以，所以，又因
9、为，所以，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关判断三角形内角取值范围的问题，涉及到的知识点有一元二次方程根的个数与判别式的关系，正弦定理，余弦定理，属于中档题目.二、填空题： 13.数列，的通项公式_【答案】【解析】【分析】先考虑的通项公式，由此求得的通项公式.【详解】由于是首项为，公差为的等差数列，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据数列的前几项猜想数列的通项公式，属于基础题.14.已知数列的前项和，则其通项 ；若它的第项满足，则 【答案】2n-10，8【解析】当n=1时，,经检验当n=1时，也满足上式，因而,由所以.15.在某城市青年歌手大赛中，七位评委为某选手打出的分数如下
10、：91，89，91，96，94，95，94.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为_.【答案】【解析】【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为91，91，94，95，94，由此能得出所剩数据的平均值进而得到方差【详解】七位评委为某选手打出的分数如下：91，89，91，96，94，95，94，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为91，91，94，95，94，所剩数据的平均值为： ，所剩数据的方差为：S2（9193）2+（9193）2+（9493）2+（9593）2+（9493）22.8故答案为2.8【点睛】本题考查一组数据的平均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意
11、平均数公式和方差公式的合理运用16.已知是首项为，公差为1的等差数列，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据已知可求得数列的通项，进而求得，再由数列的性质可得的取值范围【详解】由题得，则，对任意的，都有成立，而关于的单调性为时单调递减，时单调递减，且时，时而时，最大，所以，且，故.【点睛】此题是关于数列单调性的问题，引用函数的单调性加以解决，但需考虑定义域是正整数集，难度属于中等三、解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和（）（1）求的通项公式：（2）当为何值时，达到最大？最大值是多少？【答案】（1）；（2）当时，
12、取得最大值，且最大值为【解析】【分析】（1）根据求得数列的通项公式.（2）利用二次函数的对称轴，求得当为何值时，达到最大以及最大值.【详解】（1）当时，当时，所以，当时上式也符合.故数列的通项公式为.（2）结合二次函数的性质可知，当时，取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查已知求，考查等差数列前项和的最值，属于基础题.18.某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为的五个小球.小球除编号不同外，其余均相同.活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为，则获得奖金元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金元；若抽到其余编号的小球，则不中奖.现某顾客依次有放回的抽奖两次.（1）
13、求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；（2）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为元的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用列举法得到所有的基本事件数，然后根据古典概型概率公式可得事件发生的概率；（2）根据互斥事件的概率加法公式求解可得结果【详解】（1）由题意得，该顾客有放回抽奖两次的所有可能结果为： 共有25种情况设“该顾客两次抽奖后都没有中奖”为事件A，则事件A包含的结果为，共4种，所以即该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率为（2）两次抽奖奖金之和为100元包括三种情况：第一次奖金为100元，第二次没有获奖，其包含的情况为，概率为；第一次没中奖，第二次奖金为100元，其包含的情况为，概率为
14、；两次各获奖金50元，包含的情况有，概率为由互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为，即该顾客两次抽奖后获得奖金之和为元的概率为【点睛】（1）求古典概型概率的关键是得到基本事件的个数，常用的方法是列举法，解题时要分清抽取是有放回的还是无放回的，列举时要做到不重不漏（2）对于一些复杂的事件，在求概率时可将其分解为若干个互斥事件的和来求解，然后利用概率的加法公式可得结果19.某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数满分为100分）从中随机抽取一个容量为120的样本发现所有数据均在内现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图，但不小
15、心污损了部分图形，如图所示观察图形，回答下列问题：（1）算出第三组的频数并补全频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数（每组数据以区间的中点值为代表）【答案】（1）18人，见解析；（2）众数为75分，中位数为75分，平均数为73.5分【解析】【分析】（1）先求出分数在内的频率，再求第三组的频数,补全频率分布直方图；(2)利用频率分布直方图中的众数、中位数和平均数的求解方法求解即可.【详解】（1）因为各组频率之和等于1，所以分数在内的频率为：，所以第三组的额数为（人）完整的频率分布直方图如图（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数
16、的估计值为75分由题得左边第一个矩形面积为0.05，第二个矩形的面积为0.15,第三个矩形的面积为0.15,第四个矩形的面积为0.3，所以中位数在第四个矩形里面，设中位数为x,则0.05+0.15+0.15+(x-70)0.03=0.5，所以x=75.所以中位数为75.又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：（分）所以样本的众数为75分，中位数为75分，平均数为73.5分【点睛】本题主要考查频率分布直方图中频率频数的计算，考查众数中位数和平均数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.己知数列满足，（1）数列是否为等差数列？说明理由（2）求【答案】（1）数列等差数
17、列，理由见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据递推关系证得数列是等差数列；（2）由（1）求得数列的通项公式，由此求得.【详解】（1）依题意，所以，所以数列是以为首项，公差为的等差数列.（2）由（1）得，所以.【点睛】本小题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，属于基础题.21.的内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若，面积为2，求【答案】（1）；（2）2【解析】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出.试题解析：（1），；（2）由（1）可知，22.在中，分别为角的对边，且.（1）求角；（2）若的内切圆面积为，求面积的最小值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理得到，化简整理求出，即可得出结果；（2）根据题意，得到内切圆的半径为，作出图形，记内切圆的圆心为，为切点，得到，由余弦定理得到，根据基本不等式，推出，再由三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）因为所以即，所以，即，；（2）由题意知内切圆的半径为，如图，内切圆的圆心为，为切点，则，从而，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），从而，即面积的最小值为.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，灵活运用基本不等式即可，属于常考题型.