1、专题二十八 数系的扩充与复数的引入【高频考点解读】1理解复数的基本概念2.理解复数相等的充要条件3.了解复数的代数表示形式及其几何意义4.会进行复数代数形式的四则运算5.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义【热点题型】题型一 复数的有关概念例1、(1)(2013年高考安徽卷)设i是虚数单位，若复数a(aR)是纯虚数，则a的值为()A3B1C1 D3(2)(2013年高考山东卷)复数z满足(z3)(2i)5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A2i B2i C5i D5i【提分秘籍】 1处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理由于复
2、数zabi(a，bR)，由它的实部与虚部唯一确定，故复数z与点Z(a，b)相对应2zzR.3若z0且z0，则z为纯虚数，利用这个性质可证明一个复数为纯虚数【举一反三】已知a是实数，是纯虚数，则a等于()A1B1C.D解析：，当为纯虚数时，0，且0.即a1.答案：B【热点题型】题型二 复数的代数运算例2、(1)(2013年高考全国新课标卷 )()A1i B1i C1i D1i(2)(2013年高考安徽卷)设i是虚数单位，是复数z的共轭复数若zi22z，则z()A1i B1i C1i D1i【提分秘籍】 1复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要
3、把i的幂写成最简形式2记住以下结论，可提高运算速度，(1)(1i)22i；(2)i；(3)i；(4)bai.【举一反三】复数3(i为虚数单位)的值是()A1 B1 Ci Di解析：321.答案：A【热点题型】题型三 复数的几何表示例3、(1)(2013年高考四川卷)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()AABBCCDD (2)(2013年高考北京卷)在复平面内，复数(2i)2对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【提分秘籍】复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法
4、理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题【举一反三】已知复数z则在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：zi，i，应选A.答案：A 【热点题型】题型四 数形结合思想在复数中的应用 例4、设复数z1，z2满足|z1|z2|2，|z1z2|2，则|z1z2|_. 【解析】设z1，z2对应的点为A，B，复数z1z2对应的点为C，如图所示则cosOBC.所以cosAOB.因此，AB22222222cosAOB4.所以AB2.所以|z1z2|2.【答案】2【提分秘籍】1. 在复数中实际上有关系式|z1z2|2|z1z2|22 (|z1|2|z2|2)，这个关系式和
5、平面向量中的关系式|ab|2|ab|22(|a|2|b|2)的意义是完全一致的，其几何意义就是平面四边形两条对角线长度的平方和等于四个边的长度的平方和2.复数z1z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数；复数z1z2是连接向量，的终点，并指向被减数的向量所对应的复数【举一反三】已知复数zxyi，且|z2|，则的最大值为_【高考风向标】1（2014重庆卷）复平面内表示复数i(12i)的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】i(12i)2i，其在复平面内对应的点为(2，1)，位于第一象限2、（2014浙江卷）已知i是虚数单位，a，bR，得“ab1”是“(
6、abi)22i”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3（2014全国卷）设z，则z的共轭复数为()A13i B13iC13i D13i 4（2014安徽卷）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数若z1i，则i()A2 B2iC2 D2i【答案】C【解析】因为z1i，所以i(i1)i12.5（2014北京卷）复数_【答案】1【解析】1.6（2014福建卷）复数z(32i)i的共轭复数z等于()A23i B23i C23i D23i【答案】C【解析】由复数z(32i)i23i，得复数z的共轭复数z23i.7（2014广东卷）已知复数z满足(34i)z25，
7、则z()A34i B34i C34i D34i 8（2014湖北卷）i为虚数单位，()A1 B1 Ci Di【答案】A【解析】1.故选A.9（2014湖南卷）满足i(i为虚数单位)的复数z()A.i B.iCi Di【答案】B【解析】因为i，则zizi，所以z.10（2014江西卷）是z的共轭复数，若z2，(z)i2(i为虚数单位)，则z()A1i B1i C1i D1i【答案】D【解析】设zabi(a，bR)，则abi，所以2a2，2b2，得a1，b1，故z1i.11（2014辽宁卷）设复数z满足(z2i)(2i)5，则z()A23i B23i C32i D32i【答案】A【解析】由(z2i
8、)(2i)5，得z2i，故z23i.12（2014新课标全国卷 ()A1i B1iC1i D1i【答案】D【解析】1i.13（2014新课标全国卷 设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2()A5 B5 C4i D4i【答案】A【解析】由题知z22i，所以z1z2(2i)(2i)i245.14（2014山东卷）已知a，bR，i是虚数单位，若ai与2bi互为共轭复数，则(abi)2()A54i B54i C34i D34i 15（2014四川卷）复数_【答案】2i【解析】2i.16（2014天津卷）i是虚数单位，复数()A1i B1i C.i Di【答案】A【解析】1
9、i.17（2013新课标全国卷 若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为()A4 B C4 D.【答案】D【解析】zi，故z的虚部是.18（2013安徽卷）设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若zzi22z，则z()A1i B1iC1i D1i 19（2013北京卷）在复平面内，复数(2i)2对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【答案】D【解析】(2i)244ii234i，对应的复平面内点的坐标为(3，4)，所以选D.20（2013福建卷）已知复数z的共轭复数z12i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【
10、答案】D【解析】z12i，对应的点为P(1，2)，故选D.21（2013广东卷）若复数iz24i，则在复平面内，z对应的点的坐标是()A(2，4) B(2，4)C(4，2) D(4，2) 22（2013湖北卷）在复平面内，复数z(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限 23（2013湖南卷）复数zi(1i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限 24（2013江苏卷）设z(2i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为_【答案】5【解析】因为z(2i)244ii234i，所以复数z的模为5.25（2013江
11、西卷）已知集合M1，2，zi，i为虚数单位，N3，4，MN4，则复数z()A2i B2iC4i D4i【答案】C【解析】zi4z4i，故选C.26（2013辽宁卷）复数z的模为()A. B. C. D2【答案】B【解析】复数z，所以|z|，故选B.27（2013全国卷）(1i)3()A8 B8C8i D8i【答案】A【解析】(1i)313312(i)31(i)2(i)313i93i8.28（2013山东卷）复数z满足(z3)(2i)5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为()A2i B2i C5i D5i 29（2013陕西卷）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A若|z1z2|0，则
12、z1z2B若z1z2，则z1z2C若|z1|z2|，则z1z1z2z2D若|z1|z2|，则zz 30（2013四川卷）如图11所示，在复平面内，点A表示复数z，则图11中表示z的共轭复数的点是()图11AA BB CC DD【答案】B【解析】复数与共轭复数的几何关系是其表示的点关于x轴对称31（2013天津卷）已知a，bR，i是虚数单位，若(ai)(1i)bi，则abi_. 32（2013新课标全国卷 设复数z满足(1i)z2i，则z()A1i B1iC1i D1i【答案】A【解析】(1i)z2i，则zi(1i)1i.故选A.33（2013浙江卷 已知i是虚数单位，则(1i)(2i)()A3
13、i B13iC33i D1i【答案】B【解析】(1i)(2i)2i2i113i，故选择B.34（2013重庆卷）已知复数z(i是虚数单位)，则|z|_【答案】【解析】因为z2i，所以|z|.【随堂巩固】 1设复数z1i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1z)|()A.B2C.D1 2若复数zm(m1)(m1)i是纯虚数，其中m是实数，则()Ai BiC2i D2i解析：依题意，得m0，zi，i，选A.答案：A3已知i为虚数单位，则复数()A.i BiC.i Di解析：i.答案：C4复数z1i，则z对应的点所在的象限为()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 5已知复数z1ai(
14、aR，i是虚数单位)，i，则a()A2 B2 C2 D 6已知复数z1i，为z的共轭复数，则下列结论正确的是()A.1i B.1i C|2 D|解析：因为z1i，所以1i，|.答案：D7若i为虚数单位，则复数z5i(34i)在复平面内对应的点所在的象限为()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析：z5i(34i)2015i，则复数对应的点在第一象限，选A.答案：A8复数的共轭复数是()A3i B3i C3i D3i解析：(13i)i3i.故选C.答案：C9已知i是虚数单位，且复数z13bi，z212i，若是实数，则实数b的值为()A6 B6 C0 D. 10复数在复平面内对应的点到原点的距离为_ 11i为虚数单位，_.解析：iiii0.答案：012已知复数x26x5(x2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围是_ 13实数m分别取什么数值时，复数z(m25m6)(m22m15)i(1)与复数212i相等；(2)与复数1216i互为共轭复数； (3)对应的点在x轴上方 14已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2 . 15复数z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是实数，求实数a的值