1、2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算|目 标 索 引|1理解向量的直角坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量2掌握向量的直角坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行有关的运算.1向量的正交分解如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直；如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解2向量的直角坐标(1)直角坐标的定义在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底.这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底在坐标平面
2、xOy内，任作一向量a(用有向线段表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a1，a2)使得aa1e1a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底下的坐标，即a(a1，a2)其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a在y轴上的坐标分量(2)直角坐标的求法分别过向量的起点、终点作x轴和y轴的垂线，设垂足分别为A1，B1和A2，B2.坐标分量a1为向量在x轴上的坐标，坐标分量a2为向量在y轴上的坐标显然0(0,0)，e1(1,0)，e2(0,1)设向量a(a1，a2)，a的方向相对于x轴正向的转角为，由三角函数的定义可知a1|a|cos，a2|a|sin.(3)向量的直角坐标的意义在
3、直角坐标系中(如图所示)，一点A的位置被点A的位置向量所唯一确定设点A的坐标为(x，y)，容易看出xe1ye2(x，y)，即点A的位置为向量O的坐标(x，y)，也就是点A的坐标；反之点A的坐标也是点A相对于坐标原点的位置为向量的坐标3向量的直角坐标运算(1)若a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab(a1b1，a2b2)即两个向量的和的坐标，等于这两个向量相应坐标的和(2)若a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab(a1b1，a2b2)即两个向量的差的坐标，等于这两个向量相应坐标的差(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始
4、点的坐标(4)若a(a1，a2)，R，则a(a1，a2)(a1，a2)即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积4中点公式设线段AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则其中点M(x，y)的坐标计算公式为：x，y.这个公式叫做线段中点的坐标计算公式，简称中点公式1已知平面向量a(3,5)，b(2,1)，则a2b()A(7,3) B.(7,7)C(1,7) D.(1,3)解析：a2b(3,5)2(2,1)(7,3)，故选A.答案：A2已知A(3,5)，B(1,7)，则_.解析：(4,2)答案：(4,2)3已知A(2,3)，B(1,5)，则AB中点的坐标为_答案：在直角坐标系
5、xOy中，a，b如图所示，分别求出a，b的坐标【分析】本题主要考查向量的正交分解，把它们分解成横、纵坐标的形式【解】设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则a1|a|cos4542，a2|a|sin4542.b向量相对于x轴正方向的转角为120.b1|b|cos1203，b2|b|sin1203.a(2，2)，b.【知识点拨】(1)向量的坐标就是向量在x轴和y轴上的分量，而与向量的位置无关，如图所示，的坐标为(B2A2，B1A1)(2)利用任意角的三角函数定义，若a(a1，a2)，a的方向相对于x轴正向的转角为，则有在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示分别求它们的坐标解：设
6、a(a1，a2)，b(b1，b2)，c(c1，c2)，则a1|a|cos452，a2|a|sin452，b1|b|cos1203，b2|b|sin1203，c1|c|cos(30)42，c2|c|sin(30)42.因此a(，)，b，c(2，2).已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2，求M，N的坐标及.【分析】利用已知的向量等式求出M，N点坐标，进而求出的坐标，再计算.【解】解法一：由A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，得(1,8)，33(1,8)(3,24)，(6,3)，22(6,3)(12,6)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则(x13，y14)(3,24)，
7、即M(0,20)又C(x23，y24)(12,6)，即N(9,2)(9，18)，又(5，5)(9，18)(5，5)(9，18)(1，1)(10，19)故M(0,20)，N(9,2)，MA(10，19)解法二：取点O为原点，由3，得33，即323(2,4)2(3，4)(6,12)(6,8)(0,20)，M(0,20)由2，得22，即22(3，1)(3，4)(6，2)(3,4)(9,2)，N(9,2)又(5，5)，(9，18)，(10，19)已知a(5，2)，b(4，3)，c(x，y)，若a2b3c0，则c等于()A. B.C. D.解析：由a2b3c0，得cab(5，2)(4，3)，故选D.答案
8、：D(1)若向量a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c等于()A.ab B.abC.ab D.ab(2)已知点P，A(3,7)，B(4,6)，C(1，2)是一个平行四边形的四个顶点，则点P的坐标为_【解析】(1)设cxayb，x，yR，(1,2)x(1,1)y(1，1)，解得x，y，cab，故选A.(2)A，B，C三点的位置固定，A，B，C三点顺时针排序，AB，BC，CA都有可能成为平行四边形的对角线，如图所示若AB为ACBP1的对角线，设P1(x，y)，因为A(3,7)，B(4,6)，C(1，2)，所以(2,9)，(x4，y6)由，有x42，且y69，所以x6，y15，即P1(6,1
9、5)若BC为ABP2C的对角线，设P2(x，y)因为A(3,7)，B(4,6)，C(1，2)，P2(x，y)，所以(2，9)，(x4，y6)由，有x42，且y69，所以x2，y3，即P2(2，3)若CA为ABCP3的对角线，由，同理可得P3(0，1)综上可知，点P的坐标为(6,15)或(2，3)或(0，1)【答案】(1)A(2)(6,15)或(2，3)或(0，1)已知两点P1(3,2)，P2(8,3)，求点P，y分所成的比及y的值解：由点P分所成的比为，得，则，所以解得所以P分所成的比为，y的值为.1已知点M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，则点N的坐标为()A(2,0) B.(3,6)C
10、(6,2) D.(2,0)解析：设N(x，y)，则(x5，y6)，3a(3,6)，N(2,0)，故选A.答案：A2若M(3，2)，N(5，1)，且，则点P的坐标为()A(8，1) B.C. D.(8，1)解析：设P(x，y)，则(x3，y2)，(8,1)，(x3，y2)(8,1)，x1，y，P，故选B.答案：B3已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(1，4) B.(7，4)C(1,4) D.(4，2)解析：设C(x，y)，(x，y1)，(7，4)，故选B.答案：B4平面上有A(2,1)、B(1,4)、D(4，3)三点，点C在直线AB上，且，连接DC并延长，取点E使，则点E的坐标为_解析：设C(x，y)，由，得(x2，y1)(x1，y4)，即解得即C(5，2)又E在DC延长线上，设E(a，b)，则(a5，b2)(a4，b3)，解之得a8，b.E.答案：5已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，设a，b，c且ambnc，求mn的值解：(5，5)，(6，3)，(1,8)，由ambnc，得(5，5)m(6，3)n(1,8)，解得mn110.