1、2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理|目 标 索 引|1了解平面向量的基本定理及其意义2会用平面向量基本定理解决简单的几何问题3掌握直线的向量参数方程，尤其是线段中点的向量表达式.1平面向量基本定理如果e1，e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任意向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使aa1e1a2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2直线的向量参数方程已知A，B是直线 l上任意两点，O是l外一点，则对直线 l上任意一点P，存在实数t，使关于基底，的分解式为(1t)t.式叫做直线l的向量参数方程，其中实数t叫做参变数，简称参
2、数令t，点M是AB的中点，则()1已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是()Ae1和e1e2B.e12e2和e22e1Ce12e2和4e22e1 D.e1e2和e1e2解析：4e22e12(e12e2)，e12e2与4e22e1共线，不能作为基底，故选C.答案：C2设a是任一向量，e是单位向量，且ae，则下列表示形式中正确的是()Ae B.a|a|eCa|a|e D.a|a|e解析：ae，a与e的方向相同或相反，故选D.答案：D3若k1ak2b0，则k1k20，那么下列对a，b的判断正确的是()Aa与b一定共线Ba与b一定不共线Ca与b一定垂直Da
3、与b中至少一个为0答案：B已知向量a，b非零不共线，则下列各组向量中，可作为平面向量的一组基底的是()Aab，ab B.ab，baCab,2ab D.2a2b，ab【解析】a，b为非零不共线的向量，ab(ba)，ab与ba共线；ab(2ab)，ab与2ab共线；2a2b2(ab)，2a2b与ab共线，故选A.【答案】A【知识点拨】两个向量能不能作为基底，关键是看它们共线不共线，在同一平面内，只要两个向量不共线，就可以作为一组基底 已知e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，ae1e2，b3e1e2，c5e1e2，试用向量a和b表示c.解：由题意可知，a，b不共线，存在实数，使得cab，则(e1
4、e2)(3e1e2)(3)e1()e25e1e2，e1，e2不共线，解得c2ab.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若a，b，则()A.ab B.abC.ab D.ab【解析】由题可得DEEB，因为DEFBEA，DFAB，()ab.故选B.【答案】B已知AB是O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则()Aab B.abCab D.ab解析：C，D是半圆弧的三等分点，CDAB，且CDAB，四边形AODC为菱形，ab，故选D.答案：D设，是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A，B，P共线，当且仅当存在实数m，n，使mn
5、，且mn1.【分析】由三点共线，联想直线的向量参数方程式【证明】(1)若A，B，P三点共线，则与共线，由平行向量基本定理知，存在实数使，即()，(1).令m1，n，则mn，且mn1.(2)若mn，且mn1，则m(1m)，则m()，即m.B与B共线，A，B，P三点共线由(1)(2)可知，原命题成立【知识点拨】正确理解直线的向量参数方程1在直线的向量参数方程式(1t)t中，t的值与直线l上的点构成一一对应2若，则当1时，P，A，B三点共线3当t0时，P点与A点重合4当t1时，P点与B点重合5当t时，P点是线段AB的中点，即()，这是线段AB的中点的向量表达式6当0t1时，P点在线段AB上运动点P是
6、ABC所在平面内的一点，且满足，则ABP的面积与ABC的面积之比为()A. B.C. D.解析：由，得，即2，P，B，C三点共线，且BPBC，故选D.答案：D1如图e1，e2为互相垂直的单位向量，向量abc可表示为()A3e12e2B3e13e2C2e13e2D3e12e2解析：abc(e12e2)(e12e2)(e12e2)3e12e2，故选D.答案：D2已知e10，R，ae1e2，b2e1，则a与b共线的条件为()A0 B.e20Ce1e2 D.e1e2或0解析：当0时，ae1，b2e1，则ab；当0时，存在一个实数k，使akb(kR)，则e1e22ke1，(12k)e1e20，若12k0，e1e2，此时，e1e2，a与b共线的条件为e1e2或0，故选D.答案：D3已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，若3e1，e2，则等于()Ae12e2 B.2e1e2C.e1e2 D.e1e2解析：如图，()e1e2.答案：D4.在ABC中，设BF，CE交于点P，且，(，R)，则的值为_解析：()(1)(1)，又(1)(1)，解得.答案：5.如图，已知梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，M，N分别是DC，AB的中点，设a，b，试以a，b为基底表示，.解：ABCD，.又AB2CD，由图中方向可知b，babba，()bba.