1、 类型1向量的线性运算向量线性运算包括向量的加法、减法和数乘运算，而向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量运算的关键所在，常用它们解决平面几何中的共线、共点问题；三角形法则和平行四边形法则是向量加、减的两个重要依据，在向量表示中常常结合平面几何知识灵活应用【例1】如图，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E为BC边上一点，3，F为AE的中点，以、为基底表示向量解如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以，所以，于是跟进训练1经过OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设m，n，m，nR，求的值解设a，b，则(ab)，nbm
2、a，(ab)maab由P，G，Q共线得，存在实数使得，即nbmaab，则消去，得3 类型2向量数量积的运算平面向量的数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算及数量积的几何意义利用数量积可以求向量的模(|a|)和夹角，求解时要灵活，即适合建系的借助坐标法求解，不适合建系的可借助基底，先把向量分解，再借助定义求解【例2】设向量a，b，且|4，AOB60(1)求|ab|，|ab|；(2)求ab与a的夹角1，ab与a的夹角2解(1)|ab|2(ab)(ab)|a|22ab|b|216244cos 601648，|ab|4，|ab|2|a|22ab|b|216，|ab|4(2)(ab)a|a|
3、2ab1644cos 6024，cos 10，180，130(ab)a|a|2ab1644cos 608，cos 220，180，260跟进训练2如图所示，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在CD上若，则的值为()A B2 C0 D1A建立如图所示的平面直角坐标系，可得A(0，0)，B(，0)，E(，1)设F(x，2)，则(，0)，(x，2)x，解得x1，F(1，2)(，1)，(1，2)，(1)12 类型3向量的应用在本章中，平面向量的应用主要体现在两个方面：一是利用平面向量解决平面几何中的位置关系，如平行、垂直、共线等等；二是利用平面向量处理物理学中的合力、速度、位移等问
4、题，体现了数与形的完美结合【例3】如图，在等腰直角ABC中，角C是直角，CACB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE2EB，求证：ADCE证明法一：记a，b，则ba，且ab0，|a|b|因为ba，(ba)aba，所以b2a20可得ADCE法二：建立如图所示的直角坐标系，不妨设ACBC2，则C(0，0)，A(2，0)，B(0，2)，因为D是CB的中点，则D(0，1)所以(2，1)，(2，2)又(2，0)(2，2)，所以(2，1)(2)0，因此ADCE跟进训练3如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂线方向的夹角为，绳子所受到的拉力为F1，求：(1)|F1|，|F2|
5、随角的变化而变化的情况；(2)当|F1|2|G|时，角的取值范围；(3)当|F1|2|F2|时，求角的值解(1)由力的平衡原理知，GF1F20，作向量F1，F2，G，则，四边形OACB为平行四边形，如图由已知AOC，BOC，|，|tan ，即|F1|，|F2|G|tan ，由此可知，当从0逐渐增大趋向于时，|F1|，|F2|都逐渐增大(2)当|F1|2|G|时，有2|G|，cos ，又(3)当|F1|2|F2|时，2|G|tan ，sin 类型4向量的综合应用平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想引入向量的坐标表示，使向量运算代数化，有两种途径：选择
6、基底和通过坐标运算，可解决共线、平行、垂直、夹角、距离、面积等问题【例4】如图，在ABC中，BAC90，AB2，AC3，D是BC的中点，点E满足2，BE与AD交于点G(1)设，求实数的值；(2)设H是BE上一点，且，求的值解法一：(1)设a，b，因为，D是BC的中点，所以ab设t，0t1，故t，整理得t，又2，即，所以tab联立，据平面向量基本定理，得 解得，t，所以实数的值为(2)因为，所以0，即0，所以(a2b2)2法二：(1)以A为原点，AC为x轴建立如图直角坐标系，则B(0，2)，C(3，0)，因为D是BC的中点，所以D因为2，所以，即E(2，0)因为，即G，所以(2，2)，因为B，G
7、，E三点共线，所以，即220，解得(2)因为，所以()0，即0，所以()(3，2)2跟进训练4在ABC中，设，M是BC的中点(1)若|，求2与2的夹角的余弦值；(2)若O是线段AM上任意一点，且|，求的最小值解(1)设向量2与向量2的夹角为，0，cos ，令|a，cos (2)|，|1，设|x，则|1x，而2，()22|cos 2x22x2，当且仅当x时，有最小值为1(2020海南高考)在ABC中，D是AB边上的中点，则()A2 B2C2 D2C在ABC中，D是AB边上的中点，则()2故选C2(2020新高考全国卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AA的取值范围是()A(2，
8、6) B(6，2)C(2，4) D(4，6)A|cosPAB2|cosPAB，又|cosPAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小又22cos 306，22cos 1202，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，(2，6)，故选A3(2020天津高考)如图，在四边形ABCD中，B60，AB3，BC6，且，则实数的值为_，若M，N是线段BC上的动点，且|1，则的最小值为_依题意得ADBC，BAD120，由|cosBAD|，得|1，因此取MN的中点E，连接DE(图略)，则2，()2()2222注意到线段MN在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即ABsinB，因此2的最小值为，即的最小值为
