1、9.3.2向量坐标表示与运算第1课时向量的坐标表示学 习 任 务核 心 素 养1掌握向量的坐标表示(重点)2掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则(重点)3正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来(易混点)1通过向量的坐标表示的学习，培养数学抽象素养2通过向量和、差及数乘向量的坐标运算法则的应用，培养数学运算素养平面内建立了直角坐标系，点A可以用什么来表示？平面向量是否也有类似的表示？知识点1向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得axiyj
2、我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a(x，y)1在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a(1，1)，则向量a的位置确定了吗？提示对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定对于向量a，给定的坐标为a(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不相同()(2)向量的坐标就是向量终点的坐标()答案(1)(2)知识点2向量线性运算的坐标表示(1)已知向量a(x1，y
3、1)，b(x2，y2)和实数，那么ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标2设i，j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ax1iy1j，bx2iy2j，根据向量的线性运算性质，向量ab，ab，a(R)如何分别用基底i，j表示？提示ab(x1x2)i(y1y2)j，ab(x1x2)i(y1y2)j，ax1iy1j2若A(2，1)，B(1，3)，则的坐标是()A
4、(1，2)B(1，2)C(3，4) D(3，4)C(1，3)(2，1)(3，4)3若a(1，2)，b(3，4)，则ab_；ab_；3a_；5b_(2，6)(4，2)(3，6)(15，20)ab(2，6)，ab(4，2)，3a(3，6)，5b(15，20) 类型1平面向量的坐标表示【例1】(对接教材P28例1)在直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图，|a|4，|b|3，且AOx45，OAB105，分别求向量a，b的坐标解设a(a1，a2)，b(b1，b2)，由于向量a相对于x轴正方向的转角为45，所以a1|a|cos 4542，a2|a|sin 4542可以求得向量b相对于x轴正方向的转角为
5、120，所以b1|b|cos 1203，b2|b|sin 1203故a(2，2)，b求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算.跟进训练1在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，|a|2，|b|3，|c|4，分别求它们的坐标解设a(a1，a2)，b(b1，b2)，c(c1，c2)，则a1|a|cos 452，a2|a|sin 452；b1|b|cos 1203，b2|b|sin 1203；c1|c|cos(30)42，c2|c|sin(30)42因此a(，)，b，c(2，2) 类型2平面向量的坐标运算【例2】已知平面上三个点A(
6、4，6)，B(7，5)，C(1，8)，求，2解A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，(3，1)，(3，2)，(0，1)，2(6，2)平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行跟进训练2已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2，求M，N的坐标和的坐标解因为A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，所以(1，8)，(6，3)设M(x，y)，则(x3，y4)由3得(x3，y4)3(1，8)，即解得即M
7、(0，20)同理可得N(9，2)，所以(9，18) 类型3平面向量线性运算的坐标应用【例3】已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及t，试问：(1)当t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？(2)四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出t的值若不能，说明理由以坐标轴上点的坐标特征为切入点求解t的值；结合平行四边形的向量表达式建立参数t的表达式解(1)(3，3)，t(13t，23t)，则P(13t，23t)若P在x轴上，则23t0，所以t；若P在y轴上，则13t0，所以t(2)因为(1，2)，(33t，33t)，若OABP是平行四边形，则，所以此方程组无解；故四边形OABP不可能是平
8、行四边形1(变条件)在本例条件下，若P在第三象限，求t的取值范围解由本例解知，若P在第三象限，则解得t，所以t的取值范围为2(变条件)在本例条件下，t为何值时，P在函数yx的图象上？解由P点坐标(13t，23t)在yx上，得23t13t，解得t即t时，P在yx的图象上已知含参的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横纵坐标满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)，求解即可.提醒：要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.跟进训练3已知点A(1，2)，B(2，8
9、)及，求点C，D及的坐标解设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由题意可得(x11，y12)，(3，6)，(1x2，2y2)，(3，6)，(x11，y12)(3，6)(1，2)，(1x2，2y2)(3，6)(1，2)，则有和解得和C，D的坐标分别为(0，4)和(2，0)因此(2，4)1已知(1，3)，且点A(2，5)，则点B的坐标为()A(1，8) B(1，8) C(3，2) D(3，2)B，(2，5)(1，3)(1，8)，故选B2若a(3，4)，b(1，5)，则3a2b的坐标为()A(7，22) B(11，2)C(11，2) D(7，22)B3a2b3(3，4)2(1，5)(9，12)(2，
10、10)(11，2)故选B3(多选题)下列说法正确的是()A向量的坐标即此向量终点的坐标B位置不同的向量其坐标可能相同C一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标D相等的向量坐标一定相同BD向量是自由向量，位置不同，可能是相同的向量，同时相等的向量坐标一定相同故正确的说法是BD4已知向量(3，2)，(5，1)，则向量的坐标是_(5，1)(3，2)(8，1)，5在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，(2，4)，(1，3)，则的坐标为_(3，5)由题意可得(1，3)(2，4)(1，1)，(1，1)(2，4)(3，5)回顾本节知识，自我完成以下问题：1点的坐标与向量的坐标有何区别？提示(1)向
11、量a(x，y)中间用等号连结，而点的坐标A(x，y)中间没有等号(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)2向量与其终点坐标是一一对应关系吗？提示不是一一对应关系，当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标与其终点的坐标是一一对应关系3平面向量加、减、数乘运算的坐标如何运算？提示文字叙述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)数乘向量实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标若a(x，y)，R，则a(x，y)向量的坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)