1、吉林省通榆县第一中学2021届高三数学上学期第五次月考试题 文一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A=1，2，3，4，5，6，B=y|y=x2，xA，则AB=（）A. 2，4 B. 1，4 C. 1，2，4 D. 2，4，162. 已知i是虚数单位，则=（）A. 1-i B. 2iC. 1+i D. -i3. 执行如图所示的程序框图，若输出x的值为127，则输入的正整数x的所有可能取值的个数为（）A. 2B. 5C. 3D. 74. 我国古代数学巨著九章算术中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子
2、，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于20尺，该女子所需的天数至少为( )A. 5天B. 6天 C. 7天 D. 8天5. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（ ）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度6. 设a,b是两条直线,是两个平面,则ab的一个充分条件是( )A. a,b,B. a,b,C. a,b, D. a,b,7. 已知向量=(3,1),=(,),且,则2=( )A. B. - C. D. -8. 给出下列三个命题：“
3、若ab0，则a2b2”的逆命题为假命题；“a21”是“函数f（x）=x2+2ax+1至少有一个零点”的充要条件；命题“”的否定是“xR，3x0”其中真命题的个数是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 39. 已知f(x)为定义在(0,)上的可导函数，且f(x)xf(x)恒成立，则不等式的解集为( )A. (0,1) B. (1,2) C. (1,) D. (2,)10. 函数y=loga（x+4）+2（a0且a1）的图象恒过点A，且点A在角的终边上，则sin2=（）A. B. C. - D. 11. 圆，若直线与圆交于两点,则弦长的最小值是（）A. B. C. D. 12. 四棱锥的底面是矩
4、形，侧面平面，则该四棱锥外接球的体积为( )A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x，y满足，则z=x+y的最大值为_14. 函数的最小值为_15. 点P是椭圆上一点,分别是椭圆的左、右焦点,若,则的大小_16. 设函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是_.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（）求角C的大小，（）若c=2，求ABC面积的最大值18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，BAD45，PDAD5，点E，F分别在棱AB
5、，PC上，且AE:ABPF:FC2:3（1）证明：PA / 平面DEF（2）求四棱锥F-BCDE的体积19. 已知数列an为等差数列，a7-a2=10，且a1，a6，a21依次成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，数列bn的前n项和为Sn，若Sn=，求n的值20. 如图，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上一点与两焦点构成的三角形的周长为6，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）过点F2的直线l交椭圆C于A，B两点，问在x轴上是否存在定点P，使得为定值？证明你的结论21. 已知函数f(x)x2-ln x（1）若点P为函数f(x)图象上的点，求点P到直线yx-2距离的最小值；
6、（2）设函数g(x)f(x)-ax，其中a0，若函数g(x)在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围22. 已知曲线C的极坐标方程是=4sin以极点为平而直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）（）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线l的倾斜角的值参考答案1.【答案】B【解析】解：A=1，2，3，4，5，6，B=1，4，9，16，25，36，AB=1，4故选：B可以求出集合B，然后进行交集的运算即可本题考查了列举法、描述法的定义，元素与集合的关系，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题2
7、.【答案】C【解析】解：=，故选：C直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3.【答案】C【解析】解：令2x-1=127，解得：x=7，故输入x=7符合，当输入的x7时，输出的结果总是大于127，不符合，x=6时，输出的x=263-1，不符合，x=5时，输出的x=231-1，不符合，x=4时，输出的x=215-1，不符合，x=3时，输出的x=127，符合，x=2时，输出的x=127，符合，x=1，没有输出结果，故输入的所有x的可能的值是2，3，7，共3个，故选：C根据题中程序框图的含义，分别令x=7，6，5，4，3，2，1检验，即可得到满足条件的正整数的
8、个数本题给出程序框图，着重考查了指数的运算和程序框图的理解等知识，属于基础题4.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，考查运算求解能力，是基础题根据实际问题可以转化为等比数列问题：在等比数列an中，公比q=2，通过求a1，利用等比数列求和公式，解不等式即可.【解答】解：由题意可得：该女子每天织布的量组成了等比数列，且其公比，若她5天共织布5尺，即，则，解得，若，则有，即,解得，即若要使织布的总尺数不少于20尺，该女子至少所需7天.故选C.5.【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查了的图象以及平移的性质，属于基础题.根据最值求出A=1，再求出函数最小正周期
9、，即可求出又函数过点，可求出，再利用“左加右减”的平移规律求解.【解答】解：由题图可知，函数的最小正周期，所以又函数过点，所以，即，又，所以，所以 又，所以只需将的图象向右平移个单位长度即可得到的图象6.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件的应用,难度一般.根据线面关系，面面关系逐项分析判断即可.【解答】解：由b,得b,又a,因此可得ba,故ab的一个充分条件是a,b,.7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了向量共线的条件，同角公式，二倍角正切公式，属于中档题.由向量平行得出3-=0,求出=3,然后利用二倍角的正切公式即可求解.【解答】解：,3-=0,=3,2=-.故选D
10、.8.【答案】D【解析】解：“若ab0，则a2b2”的逆命题为“若a2b2，则ab0”，不妨取a=-4，b=-2，此时a2b2，但ab0，故“若ab0，则a2b2”的逆命题为假命题，即正确；若函数f（x）=x2+2ax+1至少有一个零点，则=4a2-40，解得a21；若a21，则=4a2-4=4（a2-1）0，综上“a21”是“函数f（x）=x2+2ax+1至少有一个零点”的充要条件，故正确；命题“”的否定是“xR，3x0”，故正确，故选：D对三个命题分别进行判断，即可得出结论本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强9.【答案】C【解析】解：令F（x）=，（x0），则
11、F（x）=，f（x）xf（x），F（x）0，F（x）为定义域上的减函数，由不等式x2f（）-f（x）0，得：，x，x1，故选：C令辅助函数F（x）=，求其导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系判断出F（x）的单调性，利用单调性判断出由不等式的关系，利用不等式的性质得到结论本题考查了导数的运算，考查了利用导数研究函数单调性，函数的导函数符号确定函数的单调性：当导函数大于0时，函数单调递增；导函数小于0时，函数单调递减此题为中档题10.【答案】C【解析】解：对于函数y=loga（x+4）+2（a0且a1），令x+4=1，求得x=-3，y=2，可得函数的图象恒过点A（-3，2），且点A在角的终边上
12、，tan=-，则sin2=-，故选：C令对数的真数等于零，求得x、y的值，可得定点A的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得tan，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin2的值本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题11.【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出圆C的圆心与半径，由直线的方程分析可得直线l过定点（0，-2），设M（0，-2），据此分析可得当MC与PQ垂直时，弦长|PQ|最小，计算可得答案本题考查直线与圆的位置关系，注意分析弦长|PQ|取得最小值的条件，属于基础题【解答】解：根据题意，
13、圆C：（x+2）2+（y+2）2=10，其圆心C（-2，-2），半径r=，直线l：y=kx-2，过定点（0，-2），设M（0，-2），若直线l：y=kx-2与圆交于P，Q两点，当MC与PQ垂直时，弦长|PQ|最小，此时PQ的方程为x=0，对于（x+2）2+（y+2）2=10，令x=0可得：y1=-2+，y2=-2-；此时|PQ|=|y1-y2|=2；故选B12.【答案】B【解析】【试题解析】【分析】本题考查四棱锥P-ABCD的外接球的体积，考查学生的计算能力，正确求出四棱锥P-ABCD的外接球的半径是关键设ABCD的中心为O，球心为O，则OB=BD=2，设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d
14、2+22=12+（1+d）2，求出R，即可求出四棱锥P-ABCD的外接球的体积【解答】解：取AD的中点E，连接PE，PAD中，APD=120，PA=PD=2，PE=1，AD=2，设ABCD的中心为O，球心为O，则OB=BD=2，设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d2+22=12+（1+d）2，d=1，R=，四棱锥P-ABCD的外接球的体积为=故选B13.【答案】2【解析】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大由，解得A（0，2），代入目标函数z=x
15、+y得z=0+2=2即目标函数z=x+y的最大值为2故答案为：2作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键14.【答案】【解析】【分析】本题考查三角函数的最值,换元并利用二次函数区间上的最值是解决问题的关键,属中档题.令t=x,可得-t,y=-3,由二次函数在闭区间求解最小值即可.【解答】解：函数y=x+2x-5,x-,令t=x,由-x可得-t,y=x+2x-5=1-x+2x-5=-+2t-4=-3由二次函数可知当-t时,y=-3单调递增,当t=-
16、时,函数取最小值-,故答案为.15.【答案】【解析】【分析】本题考查椭圆的定义、简单几何性质以及余弦定理的应用，属于中档题利用椭圆的定义，结合余弦定理和已知条件，可得，由此可解【解答】解：由椭圆+=1，可得a=4，b=3，则2a=8，c2=a2-b2=16-9=7,设|PF1|=m，|PF2|=n，可得，化简可得cosF1PF2=，F1PF2=，故答案为16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查导数在研究函数中的应用，属于中档题.根据题意转化为函数值域的问题求解.【解答】解：设函数f（x）在-2，2上的值域为A，函数在-2，2上的值域为B，因为对任意的，总存在，使得，所以，因为，所以，令，得x
17、=0，当时，f（x）单调递减，当时，f（x）单调递增，所以f（x）在x=0处取得最小值，且，所以f（x）在-2，2上的值域，因为m0时，函数在-2，2上单调递增，所以函数在-2，2上的最小值为，最大值为，所以函数在-2，2上的值域B，因为，所以，解得，所以实数m的取值范围是.17.【答案】解：（）A+C=-B，即cos（A+C）=-cosB，由正弦定理化简已知等式得：=-，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=-sinCcosB，即-2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，sinA0，cosC=-，C为三角形内角，C=；（）c=2，cosC=
18、-，由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC，即4=a2+b2+ab2ab+ab=3ab，ab，（当且仅当a=b时成立），S=absinC=ab，当a=b时，ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，ABC的面积最大为【解析】（）由三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，两角和正弦函数公式化简已知等式得-2sinAcosC=sinA，结合sinA0，可求cosC=-，即可得解C的值（）由余弦定理，基本不等式可求ab，利用三角形面积公式即可计算得解本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，两角和正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能
19、力和转化思想，属于中档题18.【答案】解：（1）证明：连接AC，记，连接GF，因为四边形ABCD是菱形,所以AEDC，所以AEGCDG，则AG:GC=AE:CD=2:3.因为PF:FC=2:3，所以AG:GC=PF:FC,所以GFPA.因为GF平面DEF,PA平面DEF，所以PA平面DEF.(2)解:过F作HFCD，垂足为H.因为PD平面ABCD,CD平面ABCD,所以PDCD.所以HFPD，则=,因为PF:FC=2:3,且PD=5,所以HF=3.因为BAD=,AD=5,所以菱形ABCD的面积=,ADE的面积=55=,从而可得四边形BCDE的面积S=-=-=,故四棱锥F-BCDE的体积为SHF
20、=3=.【解析】【试题解析】本题主要考查了线面平行的判定、棱锥的体积计算，属于中档题.（1）连接AC，记，连接GF，结合条件证得GFPA,进而由线面平行的判定定理证得结果；（2）由平行线分线段成比例求出点F到平面ABCD的距离,求出底面菱形面积及三角形ADE的面积后求出四边形BEDC的面积，即可求出棱锥的体积.19.【答案】解：（1）设数列an为公差为d的等差数列，a7-a2=10，即5d=10，即d=2，a1，a6，a21依次成等比数列，可得a62=a1a21，即（a1+10）2=a1（a1+40），解得a1=5，则an=5+2（n-1）=2n+3；（2）bn=（-），即有前n项和为Sn=（
21、-+-+-）=（-）=，由Sn=，可得5n=4n+10，解得n=10【解析】（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得bn=（-），运用裂项相消求和可得Sn，解方程可得n本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题20.【答案】解：（1）由椭圆C上一点与两焦点构成的三角形的周长为6可得2a+2c=6，即a+c=3，又离心率e=，b2=a2-c2，解得：a2=4，b2=3，所以椭圆的方程为：+=1；（2）假设存在点P（t，0）满足条件，由（1）可得：F2
22、（1，0），当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=my+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程：，整理可得：（4+3m2）y2+6my-9=0，y1+y2=-，y1y2=，=（x1-t，y1）（x2-t，y2）=（x1-t）（x2-t）+y1y2=（my1+1-t）（my2+1-t）+y1y2=（1+m2）y1y2+m（1-t）（y1+y2）+（1-t）2=+m（1-t）+=，要使为定值，则需=，即t=，这时=-，当直线斜率为0时，令P（，0），=-，也符合，综上所述：存在点P（，0）满足条件【解析】本题考查求椭圆的标准方程，及直线与椭圆的综合，和求定点的方法，
23、属于较难题（1）由三角形的周长及离心率及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）假设存在这样的P点满足条件，分斜率不为零和斜率为零两种讨论，当直线的斜率不为零时设直线l的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再求的表达式，要使其为定值，需使分子分母对应项的系数成比例，进而求出P点的坐标当斜率为零时也适合21.【答案】解：（1），设P(x0，y0)，则点P处切线的斜率为若点P处的切线与直线yx-2平行，则点P到直线yx-2的距离最小，且，解得x01或（舍去）则y01-ln 11，即P(1，1)点P到直线yx-2的距离，即点P到直线yx-2距离的最小值为（2）g(x)x2-
24、ln x-ax，g(x)的定义域为(0，+)，函数g(x)有两个不同的零点可转化为方程有两个不同的实数根设，则，令(x)x2-1+ln x，则，(x)在(0，+)上单调递增，当x1时，(x)0，所以当x(0，1)时，h(x)0，h(x)单调递减，当x(1，+)时，h(x)0，h(x)单调递增，所以函数h(x)有最小值，且h(x)minh(1)1，画出h(x)在上的大致图象如图所示，则由图可知，故实数a的取值范围为【解析】本题考查函数导数的应用，利用导数研究函数的零点问题涉及函数的单调性的应用、最值的等问题，考查数形结合思想以及转化思想的应用，考查计算能力，属于难题.(1)设切点P(x0，y0)
25、，求出点P处切线方程，利用切线与与直线yx-2平行距离最小，即求出x01，得到点P到直线yx-2距离的最小值；（2）函数g(x)有两个不同的零点可转化为方程有两个不同的实数根构造函数(x)x2-1+ln x，利用导数求出函数最值的单调性以及最值，作出函数图象，求出实数a的取值范围22.【答案】解：（）曲线C的极坐标方程是=4sin，2=4sin，x2+y2=2，x=cos，y=sin，曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4y=0，即x2+（y-2）2=4（）直线l的参数方程是（t为参数），直线l与曲线C相交于A、B两点，且，将代入圆的方程，化简得t2-2tsin-3=0设A，B两点对应的参数分别为t1、t2，则4sin2=3，0，），即或【解析】（）曲线C的极坐标方程转化为2=4sin，由此能求出曲线C的直角坐标方程（）将代入圆的方程，得t2-2tsin-3=0由，能求出直线l的倾斜角的值本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线的倾斜角的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题