1、高考资源网（） 您身边的高考专家专题六 函数的奇偶性与周期性【高频考点解读】 从近几年的高考试题来看，函数的奇偶性、周期性是高考命题的热点主要是奇偶性与单调性的小综合，周期性的考查常以利用周期性求函数值，以选择题、填空题的形式出现，这部分知识对学生要求很高，属中低档题. 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 【热点题型】题型一 函数奇偶性的判定例1、判断下列各函数的奇偶性：(1)f(x)lgx2lg；(2)f(x)(x1) ；(3)f(x)；(4)f(x).【提分秘籍】 (1)利
2、用定义判断函数奇偶性的步骤： (2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断 【举一反三】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)x2|xa|2.【热点题型】题型二 函数奇偶性的应用(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)()A3B1C1 D3(2)若函数f(x)为奇函数，则a()A. B.C. D1(3)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x)f()的x的取值范围是()A(，0) B(0，)C(0,2)
3、D(，)【举一反三】在本例(1)中的条件下，求f(x)在R上的解析式【热点题型】题型三 函数的周期性例3、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式【提分秘籍】 1深化奇函数和偶函数的定义(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式在利用定义时，可应用定义的等价形式：f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)2奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之
4、也真利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性3若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)(a是常数且a0)，则f(x)是一个周期为2a的周期函数4.函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解 【举一反三】 已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(20
5、12)f(2013)的值为() A2 B1 C1 D2 【热点题型】题型四 利用奇偶性破解函数的最值例4、设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_.【提分秘籍】本题看似复杂，其实并不难，破解本题的关键就是把函数f(x)的解析式分解成1g(x)，其次利用奇函数的图象关于原点对称这一性质得出g(x)maxg(x)min0，突出转化思想，问题得到圆满解决【举一反三】已知yf(x)是奇函数若g(x)f(x)2且g(1)1，则g(1)_. 【高考风向标】 1（2014重庆卷） 下列函数为偶函数的是()Af(x)x1 Bf(x)x2xCf(x)2x2x Df(x)2x2x2（2014安徽卷） 若函
6、数f(x)(xR)是周期为4的奇函数，且在0，2上的解析式为f(x)则ff_3（2014广东卷） 下列函数为奇函数的是()A2x Bx3sin x C2cos x1 Dx22x4（2014湖北卷） 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A1，3 B3，1，1，3C2，1，3 D2，1，35（2014湖南卷） 下列函数中，既是偶函数又在区间(，0)上单调递增的是()Af(x) Bf(x)x21Cf(x)x3 Df(x)2x6（2014湖南卷） 若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_8（2014全国卷） 奇函数f(x)的定
7、义域为R.若f(x2)为偶函数，且f (1)1，则f(8)f(9)()A2 B1C0 D19（2014新课标全国卷 偶函数yf(x)的图像关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_10（2014全国新课标卷 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数11（2014四川卷） 设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1)时，f(x)则f_【随堂巩固】1满足f(x)f(x)且为奇函数的函数f(x)可能是()Acos2x
8、BsinxCsin Dcosx2设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)()A3 B1C1 D33若函数f(x)ax(aR)，则下列结论正确的是()AaR，函数f(x)在(0，)上是增函数BaR，函数f(x)在(0，)上是减函数CaR，函数f(x)为奇函数DaR，函数f(x)为偶函数4下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，)上单调递减的函数为()Ayln Byx3Cy2|x| Dycos x 5对于定义在R上的任何奇函数，均有()Af(x)f(x)0 Bf(x)f(x)0Cf(x)f(x)0 Df(x)f(x)06设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函
9、数，则下列结论恒成立的是()A f(x)|g(x)|是偶函数Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数D|f(x)|g(x)是奇函数7.定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是()Ayx21By|x|1CyDy8f(x)x的图象关于()Ay轴对称 B直线yx对称C坐标原点对称 D直线yx对称9若函数f(x)2x2x与g(x)2x2x的定义域为R，则()Af(x)与g(x)均为偶函数B f(x)为奇函数，g(x)为偶函数Cf(x)与g(x)均为奇函数Df(x)为偶函数，g(x)为奇函数10设f(x)是周期为2的奇函数，
10、当0x1时，f(x)2x(1x)，则f()A BC. D.11设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_12函数f(x)在R上为奇函数，且x0时，f(x)1，则当x0时，f(x)_.13设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x3)f (x)1，f(1)2，则f(2011)_.14判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)15已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围16定义在R上的函数f(x)满足：对任意x，yR，有f(xy)f(x)f(y)当x0时，f(x) 0.(1)求证：f(0)0；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)判断函数f(x)的单调性- 7 - 版权所有高考资源网