1、三十九空间中的垂直关系(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1(2021昆明模拟)已知直线l平面，直线m平面.若，则下列结论正确的是()Al或lBlmCmDlmA解析：直线l平面，则l或l，A正确故选A.2(2020威海模拟)设，是两个不同的平面，则的充要条件是()A平面内任意一条直线与平面垂直B平面，都垂直于同一条直线C平面，都垂直于同一平面D平面内存在一条直线与平面垂直D解析：若，则平面内存在直线与平面不垂直，选项A不正确；若平面，都垂直于同一条直线，则平面与平行，选项B不正确；若平面，都垂直于同一平面，则平面，可以平行，也可以相交，选项C不正确；若平面内存在一条直线与平面垂直，则根据面面
2、垂直的判定定理，可知，若，则由面面垂直的性质定理知，平面内垂直于平面与的交线的直线一定垂直于平面，故选项D正确故选D.3如图，在四面体DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列结论正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDEC解析：因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.4(多选题)如图，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C
3、是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()AMNABB平面VAC平面VBCCMN与BC所成的角为90DBC平面VACBCD解析：因为MNAC，ACABA，所以MN与AB不平行，A错误由题意得BCAC，因为VA平面ABC，BC平面ABC，所以VABC.因为ACVAA，所以BC平面VAC，D正确因为BC平面VBC，所以平面VAC平面VBC，B正确因为AB是半圆O的直径，所以ACBC，又MNAC，所以MN与BC所成的角为90，C正确5已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所
4、成角的大小为()A. B. C. D.B解析：如图，取正三角形ABC的中心O，连接OP，则PAO是PA与平面ABC所成的角因为底面边长为，所以AD，AOAD1.三棱柱的体积为()2AA1，解得AA1，即OPAA1，所以tanPAO.因为直线与平面所成角的范围是，所以PAO.6(2019北京卷)已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.如果l，m，则lm(或若lm，l，则m)解析：将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：(1)如果l，m，则lm，正确；(2)如果l，lm，则m，正确；(3)如
5、果lm，m，则l，错误，有可能l与斜交或l.7(2020潍坊统考)如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论：PBAE；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上)解析：对于，因为PA平面ABC，所以PAAE.又EAAB，PAABA，所以EA平面PAB，从而可得EAPB，故正确对于，因为PA平面ABC，所以平面ABC与平面PBC不可能垂直，故不正确对于，因为在正六边形中，BCAD，所以BC与EA必有公共点从而BC与平面PAE有公共点，所以直线BC与平面PAE不平行，故不正确对于，由条件易得PAD为直角
6、三角形，且PAAD，又PA2ABAD，所以PDA45，故正确综上，正确8如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.证明：(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD，所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，所以AB平面PAD.因为PD平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD，PAABA，所以PD平面PAB.因为PD平面PCD，所以平面PAB平面P
7、CD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FGBC，FGBC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEBC，DEBC.所以DEFG，DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形所以EFDG.又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.9(2020浙江卷)如图，在三棱台DEFABC中，平面ADFC平面ABC，ACBACD45，DC 2BC.(1)证明：EFDB；(2)求DF与平面DBC所成角的正弦值(1)证明：作DHAC交AC于点H，连接BH.因为平面ADFC平面ABC，而平面ADFC平面ABCAC，DH平面ADFC，所以DH平
8、面ABC，而BC平面ABC，即有DHBC.因为ACBACD45，所以CDCH2BC，所以CHBC.在CBH中，BH2CH2BC22CHBCcos 45BC2，即有BH2BC2CH2，所以BHBC.由棱台的定义可知，EFBC，所以DHEF，BHEF.又BHDHH，所以EF平面BHD，而BD平面BHD，所以EFDB.(2)解：因为DFCH，所以DF与平面DBC所成角即为CH与平面DBC所成角作HGBD于点G，连接CG，由(1)可知，BC平面BHD，所以平面BCD平面BHD.又平面BCD平面BHDBD，HG平面BHD，所以HG平面BCD.即CH在平面DBC内的射影为CG，HCG即为所求角在RtHGC
9、中，设BCa，则CHa，HGa，所以sinHCG.故DF与平面DBC所成角的正弦值为.B组新高考培优练10(2020武汉4月调研)已知两个平面互相垂直，下列命题：一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题的个数是()A3B2 C1D0C解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中进行判断，如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，A1D平面ADD1A1，BD平面ABCD，但A1D与BD不垂直，
10、故错；在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，l是平面ADD1A1内任意一条直线，l与平面ABCD内和AB平行的所有直线(包括AB)垂直，故正确；在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，A1D平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故错；在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，且平面ADD1A1平面ABCDAD，过交线AD上的任一点作交线的垂线l，则l可能与平面ABCD垂直，也可能与平面ABCD不垂直，故错故选C.11(多选题)(2021青岛教学质量检测)已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命
11、题正确的是()A若mn，n，m，则B若，m，nm，则n或nC若m，mn，n，则或D若m，nm，n，n，则n且nAD解析：对于A，由面面垂直的判定定理可知A正确对于B，n与，的位置关系可能为平行、相交或n在平面内，故B错误对于C，与的位置关系为平行或相交但不垂直，故C错误对于D，由线面平行的判定定理可知D正确故选AD.12如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)DMPC(或BMPC等)解析：因为PA底面ABCD，所以BDPA.连接AC(图略)，则BDAC，且PAACA，所以BD平
12、面PAC，所以BDPC.所以当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD.又PC平面PCD，所以平面MBD平面PCD.13如图，点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：三棱锥AD1PC的体积不变；A1P平面ACD1；DPBC1；平面PDB1平面ACD1.其中正确的是_(填序号)解析：由题意可得直线BC1平行于直线AD1，并且直线AD1平面AD1C，直线BC1平面AD1C，所以直线BC1平面AD1C.所以点P到平面AD1C的距离不变，VAD1PCVPAD1C，所以三棱锥AD1PC的体积不变，故正确连接A1C1，A1B，可得平面AD1C平面A1C1B.又A1P
13、平面A1C1B，所以A1P平面ACD1，故正确当点P运动到点B时，DBC1是等边三角形，所以DP不垂直于BC1，故不正确因为直线AC平面BDB1，DB1平面BDB1.所以ACDB1.同理可得AD1DB1.所以DB1平面AD1C.又DB1平面PDB1.所以平面PDB1平面ACD1.故正确14如图，在四棱锥PABCD中，PCADCDAB2，ABDC，ADCD，PC平面ABCD.(1)求证：BC平面PAC；(2)若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，说明理由，并求三棱锥ACMN的高(1)证明：连接AC，在直角梯形ABCD中，AC2，BC2，所以AC2BC2
14、AB2，即ACBC.又PC平面ABCD，BC平面ABCD，所以PCBC.又ACPCC，AC，PC平面PAC，所以BC平面PAC.(2)解：N为PB的中点，理由如下：连接MN，CN.因为M为PA的中点，N为PB的中点，所以MNAB，且MNAB2.又因为ABCD，所以MNCD，所以M，N，C，D四点共面，所以点N为过C，D，M三点的平面与线段PB的交点因为BC平面PAC，N为PB的中点，所以点N到平面PAC的距离dBC.又SACMSACPACPC，所以V三棱锥NACM.由题意可知，在RtPCA中，PA2，CM.在RtPCB中，PB2，CN，所以SCMN2.设三棱锥ACMN的高为h，则V三棱锥NACMV三棱锥ACMNh，解得h，故三棱锥ACMN的高为.