1、第九节 函数的应用【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)常见的几种函数模型:直线模型:y=_型,图像增长特点是直线式上升(x的系数 k0),通过图像可以直观地认识它,特例是正比例函数模型y=_.反比例函数模型:y=_型,图像增长特点是y随x的增大而减小.kx+b(k0)kx(k0)k(k0)x指数函数模型:y=abx+c(b0,b1,a0)型,图像增长特点是随着 自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b1,a0),常形象地 称为指数爆炸.对数函数模型:y=mlogax+n(a0,a1,m0)型,图像增长特点是随 着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢(底数a1,m0).幂函数
2、模型:y=axn+b(a0)型,其中最常见的是二次函数模型:_(a0),图像增长特点是随着自变量的增大,函数值先减 小,后增大(a0).y=ax2+bx+c 分段函数模型：图像特点是每一段自变量变化 所遵循的规律不同.可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分 别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围,特别是 端点.1122nnfx,xD,fx,xD,yfxxD,，(2)三种函数模型性质比较:y=ax(a1)y=logax(a1)y=xn(n0)在(0,+)上的单调性 增加的 增加的 增加的 增长速度 越来越_ 越来越_ 相对平稳 图像的 变化 随x的增大逐 渐表现为与_ 轴接近平
3、行 随x的增大逐渐表 现为与x轴接近 _ 随n值变化而各有不同 y 平行 快 慢(3)解决实际应用问题的一般步骤:审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;求模:求解数学模型,得出数学结论;还原:将数学问题还原为实际问题.以上过程用框图表示如下:2.必备结论 教材提炼 记一记“f(x)=x+(a0)”型函数模型 形如f(x)=x+(a0)的函数模型称为“对勾”函数模型:该函 数在(-,-和 ,+)上是增加的,在-,0)和(0,上是 减少的.当x0时,x=时取最小值 当x1)的增长速
4、度会超过并远远大于y=xa(a0)的增长速度.()(3)“指数爆炸”是指数型函数y=abx+c(a0,b0,b1)增长速度越来越快的形象比喻.()(4)指数函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题中.()【解析】(1)错误.当x(0,2)和(4,+)时,2xx2,当x(2,4)时,x22x.(2)正确.由两者的图像易知.(3)错误.增长越来越快的指数型函数是y=abx+c(a0,b1).(4)正确.根据指数函数y=ax(a1)函数值增长特点知(4)正确.答案:(1)(2)(3)(4)2.教材改编 链接教材 练一练(1)(必修1P123例2改编)在某个物理实验中,测量得变量x
5、和变量y的几组数据,如下表:则x,y最适合的函数的是()A.y=2x B.y=x2-1 C.y=2x-2 D.y=log2x x 0.50 0.99 2.01 3.98 y-0.99 0.01 0.98 2.00【解析】选D.根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.(2)(必修1P123例1改编)一个工厂生产一种产品的总成本y(万元)与 产量x(台)之间的函数关系是y=0.1x2+10 x+300(0 x240,xN),若每 台产品的售价为25万元,生产的产品全部卖出
6、,那么该工厂获得最大利 润(利润=销售收入-产品成本)时的产量是()A.70台 B.75台 C.80台 D.85台【解析】选B.根据题意销售收入是25x,所以利润是w=25x-(0.1x2+10 x+300),即w=-0.1x2+15x-300,所以当x=75时,wmax=-0.1752+1575-300=262.5(万元).3.真题小试 感悟考题 试一试(1)(2015安阳模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元,并 且每生产一单位产品,成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的 函数,K(Q)=则总利润L(Q)的最大值是 万元.2140QQ,20【解析】由已知得L(Q)=K(Q)
7、-10Q-2 000 所以当Q=300时，L(Q)max=2 500(万元).答案：2 500 2211(40QQ)10Q2 000(Q300)2 5002020，(2)(2015亳州模拟)里氏震级M的计算公式为：Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍【解析】由lg1000-lg0.001=6,得此次地震的震级为6级.因为标准地震的振幅为0.001,设9级地震最大振幅为A9,则lgA9-lg0.0
8、01=9解得A9=106,同理5级地震最大振幅A5=102,所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍.答案:6 10000 考点1 一次函数、二次函数模型 知考情 以一次函数、二次函数为模型的应用题常出现在高考试题中,尤其是二次函数,考查较多,既有选择题、填空题,也有解答题,难度适中,属中档题.明角度 命题角度1:单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题【典例1】(1)(2015大同模拟)某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示,当通话150分钟时,这两种方式电话费相差(
9、)A.10元 B20元 C30元 D.元 403(2)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为 m.【解题提示】(1)根据对应点的坐标分别求出两条直线方程.(2)根据相似三角形的性质,找出比例关系,列出以x为变量的二次函数式表示出阴影部分的面积。【规范解答】(1)选A.依题意可设sA(t)=20+kt,sB(t)=mt,又sA(100)=sB(100),所以100k+20=100m,得k-m=-0.2,于是sA(150)-sB(150)=20+150k-150m=20+150(-0.2)=-10,即两种方式电话费相差10元.(2)由相似三角形性质可
10、得 解得y=40-x,所以面积S=x(40-x)=-x2+40 x=-(x-20)2+400(0 x40),当x=20时,Smax=400.答案:20 x40y,4040命题角度2:以分段函数的形式考查一次函数和二次函数【典例2】(2015武汉模拟)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明:当20 x200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0 x200时,
11、求函数v(x)的表达式.(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=xv(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/时)【解题提示】(1)根据已知条件,确定0 x200时v(x)的表达式.(2)确定0 x20及20 x200时,v(x)的分段函数,根据函数的性质确定f(x)=xv(x)的最大值.【规范解答】(1)由题意，当0 x20时，v(x)60；当20 x200时，设v(x)axb，再由已知得 解得 故函数v(x)的表达式为v(x)200ab0,20ab60,1a,3200b.3 60 0 x20,1 200 x,20 x200.3，
12、(2)依题意并由(1)可得f(x)当0 x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201 200；当20 x200时，f(x)当且仅当x200 x，即x100时，等号成立所以当x100时，f(x)在区间(20,200上 取得最大值 60 x 0 x20,1 x 200 x 20 x200.3，1 x(200 x)321 x(200 x)10 000323，10 0003 333.3综上，当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时 悟技法 一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略(1)直接考查一次函数、二次函数模型解决此类问题应注意三点：二次
13、函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题(2)以分段函数的形式考查解决此类问题应关注以下三点：实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)提醒：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域.(2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的
14、函数问题求解.通一类 1.(2015苏州模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图),为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用,则截取的矩形面积的最大值为 .【解析】依题意知：即 所以阴影部分的面积 所以当y12时，S有最大值为180.答案：180 20 xy8x24y，5x24y4，255Sxy24y y(y24y)44，2.(2015阜阳模拟)为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:如果不超过200元,则不予优惠;如果超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;如果超过500元,其中500元按第
15、条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设他们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为 .【解析】依题意，价值为x元的商品和实际付款数f(x)之间的函数关 系式为f(x)当f(x)168时，由1680.9187200，故此时x168；当f(x)423时，由4230.9470(200,500，故此时x470.所以两次 共购得价值为470168638元的商品，又5000.9(638500)0.7546.6元，即若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元 答案：546.6元 x 0 x200,0.9x,200 x500,500 0.9(x50
16、0)0.7x500.，3.(2015蚌埠模拟)有两个投资项目A,B,根据市场调查与预测,A项目的利润与投资成正比,其关系如图甲,B项目的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图乙.(注:利润与投资单位:万元)(1)分别将A,B两个投资项目的利润表示为投资x(万元)的函数关系式f(x)和g(x),求y=f(x),y=g(x)在同一坐标系内围成封闭图形的面积.(2)现将x(0 x10)万元投资A项目,10-x万元投资B项目.h(x)表示投资A项目所得利润与投资B项目所得利润之和.求h(x)的最大值,并指出x为何值时,h(x)取得最大值.【解析】(1)投资为x万元，A项目的利润为f(x)万元，B项目
17、的利润为g(x)万元.由题设f(x)=k1x,g(x)=由图知f(1)=故 又g(4)=所以 2kx，14，11k.452，25k,4 15f xx,g xx x044，1x25,yx,x0,4255y0yyx44由或，S=(2)h(x)=f(x)+g(10-x)=令 则x=10-t2,所以 当 时，此时x=3.75.答：当A项目投入3.75万元，B项目投入6.25万元时，最大利润为 万元.25250051g(x)f(x)dx(xx)dx44 3225201 101625(xx).4 322415x10 x 0 x1044，t10 x，2210t51565yt(t)(0t10).444216
18、5t2 max65h x16，6516【加固训练】1.(2015武汉模拟)在经济学中,函数f(x)的边际函数 Mf(x)定义为:Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月生产x台某种产品的收 入为R(x)元,成本为C(x)元,且R(x)=3000 x-20 x2,C(x)=500 x+4000(xN*).现已知该公司每月生产该产品不超过100台.(1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x).(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差.【解析】(1)由题意,得x1,100,且xN*.P(x)=R(x)-C(x)=(3000 x-20 x2)-(500 x+4000)=-20
19、 x2+2500 x-4000,MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-(-20 x2+2500 x-4000)=2480-40 x.(2)P(x)=+74125,当x=62或x=63时,P(x)取得最大值74120元;因为MP(x)=2480-40 x是减函数,所以当x=1时,MP(x)取得最大值2440元.故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71680元.212520(x)22.据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图像如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线
20、l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).(1)当t=4时,求s的值.(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来.(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.【解析】(1)由图像可知：当t4时，v3412(km/h)，所以(2)当0t10时，当10t20时，s 103030(t10)30t150；当20t35时，s 10301030(t20)30 (t20)2(t20)t270t550.1s4 12 24 km.2 213st 3tt22；121
21、212综上，可知 (3)沙尘暴会侵袭到N城因为t0,10时，smax 102 150650，t(10,20时，smax3020150450650，所以当 t(20,35时，令t270t550650.解得t130，t240(舍).所以沙尘暴发生后30 h会侵袭到N城.223 t,t0,10,2s30t150,t(10,20,t70t550,t(20,35.32考点2 函数 模型的应用【典例3】(2014杭州模拟)某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？
22、最大面积是多少？【解题提示】根据条件设温室的左侧边长为x m，列出种植面积 然后化简，构建“对勾函数”求解.ayxx 800yx4(2)x，【规范解答】设温室的左侧边长为x m，则后侧边长为 所以蔬菜种植面积 因为 所以y808280648.当且仅当 即x40时取等号，此时 y最大值648(m2)即当矩形温室的边长各为40 m,20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m2.800 m.x 800yx4(2)x 1 600808 2(x)4x400 x1 6001 600 x2 x80 xx，1 600 xx，80020 x ，【规律方法】应用函数 模型的关键点(1)明确对勾函数是正比
23、例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=叠加 而成的.(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=的模型，有时可 以将所列函数关系式转化为f(x)=的形式.(3)利用模型f(x)=求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件.ayxx bxbaxxbaxxbaxx【变式训练】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋 顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为 隔
24、热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值 k3x5【解析】(1)由已知条件得C(0)8，则k40，因此f(x)6x20C(x)(2)f(x)70(万元)，当且仅当 即x5时等号成立所以当隔热层厚度为 5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元 8006x0 x103x58008006x 10102 6x10103x53x5 8006x 103x5，【加固训练】1.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其 生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表 示为 已知此生产
25、线年产量最大为210吨(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低 成本.(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可 以获得最大利润？最大利润是多少？2xy48x8 0005，【解析】(1)每吨平均成本为 (万元)则 当且仅当 即x200时取等号 所以年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元 yxyx8 000 x 8 000482 48 32x5x5x ，x8 0005x，(2)设年获得总利润为R(x)万元 则R(x)因为R(x)在0,210上是增加的，所以当x210时，R(x)有最大值为 所以年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.2
26、x40 xy40 x48x8 0005 2x88x8 000521 x2201 680 0 x210521 210 2201 680 1 660.52.某旅游风景区为方便学生集体旅游，特制学生寒假旅游专用卡，每张卡60元，使用规定：不记名，每卡每次一人，每天只限一次，可连续使用一周.实验小学现有1 500 名学生，准备在寒假分若干批去此风景区旅游(来回只需一天)，除需购买若干张旅游卡外，每次都乘坐5辆客车(每辆客车最大客容量为55人)，每辆客车每天费用为500元，若使全体同学都到风景区旅游一次，按上述方案，每位同学最少要交多少钱？【解析】设买x张旅游卡,总费用为y元,依题意,购买卡需60 x元
27、,租车的次数为 ,则租车的 费用为(5005)元,所以y=60 x+5005(00,所以y =30000(元),1 500 x1 500 x1 500 x1 5002 60 x500 5x当且仅当60 x=5005,即x=250时,y取得最小值为30000元,此时,每人所 需交钱数为 =20(元),旅游所需天数 =67,每辆车所载人数为 =5055,符合要求.故每位同学至少要交20元.1 500 x30 0001 5001 5002502505考点3 指数函数与对数函数模型【典例4】某医药研究所开发的一种新药,如果 成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫 升血液中的含药量y(微克)与时间t
28、(小时)之间 近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后,y与t之间的函数关系式y=f(t).(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间是多长?【解题提示】(1)依据图象写出y=f(t).(2)令y0.25解所得不等式 即可.【规范解答】(1)由题意可设y=当t=1时,由y=4得,k=4.由 =4得,a=3.因此,y=t akt,0t1,1(),t1,2 1 a1()2t 34t,0t1,1(),t12 ，(2)由y0.25得,或 解得 t5.因此,服药一次后治疗有效的时间是 小时.0t1,4t0.25 t 3t1,1()0.25,21
29、1617951616【规律方法】应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型.(3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.【变式训练】(2015郑州模拟)为了保证信息安全,传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下:已知加密为y=ax-2(x为明文,y为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为6,再发送,接收方通过解密得到明文“3”
30、,若接收方接到密文为“14”,则原发的明文是 .【解析】依题意y=ax-2中,当x=3时,y=6,故6=a3-2,解得a=2,所以加密为y=2x-2.因此,当y=14时,由14=2x-2,解得x=4.答案:4【加固训练】1.某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利 B.略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况【解析】选B.设该股民购这支股票的价格为a,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a1.1n,经历n次跌停后的价格为a1
31、.1n(1-10%)n=a1.1n0.9n=a(1.10.9)n=0.99naa,故该股民这支股票略有亏损.2.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据道路交通安全法规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL,那么,此人至少经过 小时后才能开车.(精确到1小时)【解析】设经过x小时才能开车.由题意得0.3(1-25%)x0.09,所以0.75x0.3,xlog0.750.34.19.所以此人至少经过5小时后才能开车.答案:5 3.一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年
32、砍伐面积的百 分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 ,已知到今年为止,森林剩余面积为 原来的 (1)求每年砍伐面积的百分比.(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?142.2【解析】(1)设每年降低的百分比为x(0 x1).则 a(1-x)10=a,即(1-x)10=,解得x=1-(2)设经过m年剩余面积为原来的 ,则 a(1-x)m=,即 解得m=5.故到今年为止,已砍伐了5年.12121101().2222 a2m110211m1()()22102，(3)设从今年开始,以后砍了n年,则n年后剩余面积为 a
33、(1-x)n.令 a(1-x)n a,即(1-x)n 解得n15.故今后最多还能砍伐15年.22221424，n310211n3()()22102，4.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两 岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2 ,单位是m/s,其中Q表示 燕子的耗氧量.(1)试计算:燕子静止时的耗氧量是多少个单位?(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?Q10【解析】(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给 公式可得 解得Q10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位(2)将耗氧量Q80代入公式得 v 15(m/s)，即当一只燕子耗
34、氧量为80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.2Q0 5log 10，22805log5log 810规范解答1 利用函数模型解决实际问题【典例】(12分)(2015沈阳模拟)已知美国苹果公司生产某款 iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万 美元设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完,每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)24006x 0 x407 40040 000 x40.xx，(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式.(2)当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大？并求出
35、最大利润 解题导思 研读信息 快速破题 规范解答 阅卷标准 体会规范(1)当040时，WxR(x)(16x40)所以，4分 40 00016x7 360.x26x384x40 0 x40W40 00016x7 360 x40.x，(2)当040时，由于 10分 当且仅当 即x50(40，)时，取等号，所以W取最大值为5 760.40 000W16x7 360 x，40 00040 00016x216x 1 600 xx，40 00016xx，综合知，当x32时，W取最大值为6 104万元.12分 高考状元 满分心得 把握规则 争取满分 1.解答数学应用题的关键有两点 一是认真审题,读懂题意,理解问题的实际背景,将实际问题转化为数学问题;二是灵活运用数学知识和方法解答问题,得到数学问题中的解,再把结论转译成实际问题的答案.2.解答数学应用题的失误与防范(1)函数模型应用不当,是常见的解题错误,所以,正确理解题意,选择适当的函数模型.(2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域.(3)注意问题反馈,在解决函数模型后,必须验证这个数学解答对实际问题的合理性.